8.4.1. Konfidenzintervalle für die Monte-Carlo-Integration.

2
Für N → ∞ kann daher
C N (̂µ N (h)) =
[
̂µ N (h) − U(s) ‖h‖ ∞
√ , ̂µ N (h) + U(s) ‖h‖ ]
∞
√
N N
als Konfidenzintervall zum Irrtumsniveau s für µ(h) gewählt werden 13 .
Bemerkungen. (i) Es deutet sich an, daß das Monte-Carlo-Verfahren zur numerischen
Integration eine recht langsame Konvergenzgeschwindigkeit besitzt, da der
Approximationsfehler sich wie ‖h‖ ∞ / √ N verhält 14 . Im Gegensatz dazu ist bei anderen
”
klassischen“ numerischen Integrationsverfahren der Approximationsfehler
≃ ‖h (m) ‖ ∞ N −k für geeignete m = 1, 2, . . . und k ≥ 1. Solche Verfahren konvergieren
schnell für glatte Integranden h, sind aber ungeeignet, wenn h irregulär wird.
(ii) Um bessere, d.h., kleinere Konfidenzintervalle zu erhalten, kann auch die unbekannte
Varianz σ 2 (h) geschätzt werden 15 .
10 Da σ 2 (h) ≤ ‖h‖ 2 ∞, vgl. (18), und wegen der Monotonie von P.
11 Aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes für die Zufallsvariablen h(X n), n ∈ N, vgl. dazu
Abschnitt 8.4.
12 Wegen (16).
13 Dieses Konfidenzintervall ist asymptotisch bei N → ∞ evtl. größer als notwendig, weil in
der dritten Zeile von (19) “ nicht auszuschließen ist.
14 ” Um den Approximationsfehler zu halbieren, muß der Stichprobenumfang N quadriert
werden.
15 Ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 (h) wurde in Abschnitt 5.9.1 vorgestellt.
31. Januar 2008