8.4.1. Konfidenzintervalle für die Monte-Carlo-Integration.

8.4.1. Konfidenzintervalle für die Monte-Carlo-Integration. In diesem Abschnitt
wird die Approximationsgenauigkeit des in Abschnitt 6.2 vorgestellten Monte-Carlo-Verfahrens
zur numerischen Integration untersucht 1 .
Sei h : [0, 1] → R eine meßbare, beschränkte Funktion und X n , n ∈ N, eine
Folge unabhängiger, in [0, 1] gleichverteilter Zufallsvariablen. Dann sind auch die
Zufallsvariablen h(X n ), n ∈ N, unabhängig und identisch verteilt mit 2
E[h(X 1 )] =
Var(h(X 1 )) =
∫ 1
0
∫ 1
0
dx h(x) = µ(h), (18)
(∫ 1 2
dx h(x) 2 − dx h(x))
= σ 2 (h) ≤ 3 ‖h‖ 2 ∞ .
0
Aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen ist es sinnvoll, die Schätzer 4 5
̂µ N (h) := 1 N
N∑
h(X n ), N ∈ N,
n=1
für ∫ t
0
dx h(x) zu verwenden. Bei der Bestimmung eines Konfidenzintervalls zum
Irrtumsniveau s ∈ (0, 1) für µ(h) können die Überlegungen aus Abschnitt 8.4 nicht
direkt angewandt werden, da neben µ(h) auch σ 2 (h) als unbekannt zu betrachten
ist 6 . Andererseits ist für σ 2 (h) die obere Schranke ‖h‖ 2 ∞ bekannt 7 . Es gilt somit 8 9 :
[
]
P µ(h) ≤ ̂µ N (h) − U(s) ‖h‖ ∞
√ oder µ(h) ≥ ̂µ N (h) + U(s) ‖h‖ ∞
√ (19)
N
N
[
(
= P ̂µ N (h) − µ(h) /∈ −U(s) ‖h‖ ∞
√ , U(s) ‖h‖ ) ]
∞
√
N N
[
( √ √ ) ]
≤ 10 σ2 (h)
P ̂µ N (h) − µ(h) /∈ −U(s)
N , U(s) σ2 (h)
N
[√
]
N
= P
σ 2 (h) (̂µ N(h) − µ(h)) /∈ (−U(s), U(s))
N→∞
∼ 11 1 − 1 √
2π
∫ U(s)
−U(s)
dx exp(−x 2 /2) = 12 s.
1 In Abschnitt 6.2 wurde mit Hilfe des schwachen Gesetzes der großen Zahlen nachgewiesen,
daß
1
NX
Z 1
h(X k ) →
P dx h(x) bei N → ∞, (∗)
N
k=1
0
falls h : [0,1] → R eine meßbare, beschränkte Funktion und X n, n ∈ N, eine Folge unabhängiger,
in [0, 1] gleichverteilter Zufallsvariablen ist.
Im folgenden wird als Anwendung der Überlegungen in Abschnitt 8.4, d.h., durch Angabe
von Konfidenzintervallen, die mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes bestimmt werden, die Geschwindigkeit
der Konvergenz in (∗) durch C/ √ N abgeschätzt.
2 Vgl. Abschnitt 6.2. Dort wird (18) begründet.
3 ‖h‖∞ = sup x∈[0,1] |h(x)|.
4 Vgl. Abschnitt 6.2.
5 Auch die Überlegungen in Abschnitt 5.9.1 über erwartungstreue Schätzung von Erwartungswerten
legen die Verwendung der Schätzer bµ N (h), N ∈ N, nahe.
6
R Wenn µ(h) = 1
dx h(x) nicht direkt berechnet werden kann, so kann offensichtlich auch
0
σ 2 (h) = R 1
0 dx h(x)2 − `R 1
0 dx h(x)´2 nicht exakt bestimmt werden.
7 Vgl. (18).
8 Für s ∈ (0, 1) ist U(s) durch (2π) −1/2 R U(s)
−U(s) dx exp(−x2 /2) = 1 − s bestimmt, vgl. (16).
9 In (19) bezeichnet P das Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Wahrscheinlichkeitsraum, auf welchem
die Zufallsvariablen X n, n ∈ N, definiert sind.
1

2
Für N → ∞ kann daher
C N (̂µ N (h)) =
[
̂µ N (h) − U(s) ‖h‖ ∞
√ , ̂µ N (h) + U(s) ‖h‖ ]
∞
√
N N
als Konfidenzintervall zum Irrtumsniveau s für µ(h) gewählt werden 13 .
Bemerkungen. (i) Es deutet sich an, daß das Monte-Carlo-Verfahren zur numerischen
Integration eine recht langsame Konvergenzgeschwindigkeit besitzt, da der
Approximationsfehler sich wie ‖h‖ ∞ / √ N verhält 14 . Im Gegensatz dazu ist bei anderen
”
klassischen“ numerischen Integrationsverfahren der Approximationsfehler
≃ ‖h (m) ‖ ∞ N −k für geeignete m = 1, 2, . . . und k ≥ 1. Solche Verfahren konvergieren
schnell für glatte Integranden h, sind aber ungeeignet, wenn h irregulär wird.
(ii) Um bessere, d.h., kleinere Konfidenzintervalle zu erhalten, kann auch die unbekannte
Varianz σ 2 (h) geschätzt werden 15 .
10 Da σ 2 (h) ≤ ‖h‖ 2 ∞, vgl. (18), und wegen der Monotonie von P.
11 Aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes für die Zufallsvariablen h(X n), n ∈ N, vgl. dazu
Abschnitt 8.4.
12 Wegen (16).
13 Dieses Konfidenzintervall ist asymptotisch bei N → ∞ evtl. größer als notwendig, weil in
der dritten Zeile von (19) “ nicht auszuschließen ist.
14 ” Um den Approximationsfehler zu halbieren, muß der Stichprobenumfang N quadriert
werden.
15 Ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 (h) wurde in Abschnitt 5.9.1 vorgestellt.
31. Januar 2008