Selbstständigkeitsorientierter Unterricht mit Modellierungsaufgaben

ISTRON-Gruppe
Selbständigkeitsorientierter Unterricht
mit Modellierungsaufgaben
Stanislaw Schukajlow
ISTRON-Tagung, Wien, 6.11.2009

Gliederung
1. Einleitung: Selbständiges Lernen
2. Einstimmung auf die Modellierungsaufgaben mit der Aufgabe Riesenschuhe
3. Modellierungskompetenz
4. Forschungsprojekt DISUM: Unterrichtliche Behandlung von
Modellierungsaufgaben
5. Reflexionsphasen nach der Bearbeitung von Modellierungsaufgaben
6. Zusammenfassung und Ausblick

1. Einleitung: Selbständiges Lernen
• Leitfrage: Warum ist es schwer, das selbständige Lernen im
Unterricht zu realisieren?
• Beim selbständigen (selbstregulierten) Lernen sollen Lernende ihre
eigenen Ziele setzen und ihr Verhalten bei der Zielerreichung
steuern
• Im Schulalltag ist es eine Herausforderung, sowohl individuelle
Zielsetzungen (Lehrplan, Bildungsstandards) als auch individuelle
Steuerung (viele Schüler, feste Unterrichtszeiten, Lehreranleitung)
umzusetzen
• Ein Weg zur Realisierung der Schülerselbständigkeit führt über die
Kombination von Individualisierung und Kooperation

Zwei Beispiele aus dem Mathematikunterricht:
• Diagnosebögen (vgl. R. Reiff, Friedrichsjahresheft 2006)
Im Vordergrund:
- Selbsteinschätzung eigenen Könnens
- Individualisiertes Angebot von Übungsaufgaben mit Lösungen
- Selbstkontrolle und Kontrolle durch den Partner (kooperatives
Element)
• Operativ-strategische Lernumgebung im DISUM-Projekt (Leiter:
Prof. W. Blum, Prof. R. Messner, Prof. R. Pekrun)

2. Einstimmung
Riesenschuhe
Florentino Anonuevo Jr. poliert in einem Sportzentrum auf
den Philippinen das laut Guiness Buch der Rekorde
weltgrößte Paar Schuhe mit einer Breite von 2,37 m und einer
Länge von 5,29 m.
Wie groß wäre der Riesenmensch ungefähr, dem dieses Paar
Schuhe passen würde? Beschreibe deinen Lösungsweg.

Lösung der Aufgabe „Riesenschuhe“

Lösung der Aufgabe „Riesenschuhe“

Lösung der Aufgabe „Riesenschuhe“

3. Mathematische Kompetenz Modellieren
6 mathematische Kompetenzen:
• Mathematisch argumentieren
• Probleme mathematisch lösen
• Mathematisch modellieren
Im engeren Sinn: substanzielle
Übersetzungsleistungen zwischen Realität
und Mathematik.
• Mathematische Darstellungen verwenden
• Mit Mathematik symbolisch/technisch
umgehen
• Mathematisch kommunizieren

Modellierungskompetenz: Aufgabe Feuerwehr (Leiss 2006)
Feuerwehr
Die Münchner Feuerwehr hat sich im Jahr 2004 ein neues
Drehleiter-Fahrzeug angeschafft. Mit diesem kann man über
einem am Ende der Leiter angebrachten Korb Personen aus
großen Höhen retten. Dabei muss das Feuerwehrauto laut
einer Vorschrift 12 m Mindestabstand vom brennenden Haus
einhalten.
Die technischen Daten des Fahrzeugs sind:
Fahrzeugtyp: Daimler Chrysler AG Econic 18/28 LL - Diesel
Baujahr: 2004
Leistung: 205kw ( 279 PS )
Hubraum:
6374 cm³
Maße des Fahrzeug: Länge 10m Breite 2,5m Höhe 3,19m
Maße der Leiter: 30m Länge
Leergewicht: 15540kg
Gesamtgewicht: 18000 kg
Aus welcher maximalen Höhe kann die Münchner Feuerwehr mit diesem Fahrzeug Personen retten?
Schreibe deinen Lösungsweg auf.

Modellierungskreislauf (nach Blum/Leiss, 2007)
der Aufgabe Feuerwehr:
Reales Modell
3
Math. Modell
1 Verstehen
2 Vereinfachen/
Strukturieren
Realsituation
1
7
2
Situations
-modell
4
3 Mathematisieren
4 Mathematisch
arbeiten
5 Interpretieren
6
6 Validieren
Reale
Resultate
Math.
Resultate
7 Darlegen/
Erklären
5
Rest der Welt
Mathematik
Aus welcher maximalen
Höhe kann die Münchner
Feuerwehr mit diesem
Fahrzeug Personen
retten?

Modellierungskreislauf
der Aufgabe Feuerwehr:
Länge:
30 m
Fahrzeug: Daimler Chrysler
Baujahr: 2004
Leistung: 205kw (279PS)
Hubraum: 6374 cm
Maße: 10mx2,5mx3,19m
…
Reales Modell
1
7
2
6
Realsituation
Situationsmodell
3
Math. Modell/
Problem
Abstand:
min. 12 m
4
1 Verstehen
2 Vereinfachen/
Strukturieren
Höhe: 3 Mathematisieren
3,19 m
4 Mathematisch
arbeiten
5 Interpretieren
6 Validieren
Reale
Resultate
Math.
Resultate
7 Darlegen/
Erklären
5
Rest der Welt
Mathematik

Modellierungskreislauf
der Aufgabe Feuerwehr:
Reales Modell
3
Math. Modell
1 Verstehen
2 Vereinfachen/
Strukturieren
Realsituation
1
7
2
Situations
-modell
4
3 Mathematisieren
4 Mathematisch
arbeiten
5 Interpretieren
6
30 m
6 Validieren
Reale
Resultate
gesucht
Math.
Resultate
7 Darlegen/
Erklären
Rest der Welt
5
12 m
3,20 m
Mathematik

Modellierungskreislauf
der Aufgabe Feuerwehr:
Reales Modell
3
Math. Modell
1 Verstehen
2 Vereinfachen/
Strukturieren
Realsituation
H
h
1
7
2
30 m
6
3,2 m 12 m
Reale
Resultate
Situations
-modell
5
4
Math.
Resultate
3 Mathematisieren
4 Mathematisch
arbeiten
5 Interpretieren
6 Validieren
7 Darlegen/
Erklären
Rest der Welt
Mathematik

Modellierungskreislauf
der Aufgabe Feuerwehr:
2
2
( 30m) −( 12m) + 3,2m ≈ 27,5m + 3,2m ≈ 31m
Reales Modell
3
Math. Modell
1 Verstehen
2 Vereinfachen/
Strukturieren
Realsituation
1
7
2
Situations
-modell
4
3 Mathematisieren
4 Mathematisch
arbeiten
5 Interpretieren
6
6 Validieren
Reale
Resultate
Math.
Resultate
7 Darlegen/
Erklären
5
Rest der Welt
Mathematik

Modellierungskreislauf
der Aufgabe Feuerwehr:
Realsituation
Reales Modell/
Problem
1
7
2
6
Reale
Resultate
Situations
-modell
3
5
Math. Modell/
Problem
4
Math.
Resultate
1 Verstehen
2 Vereinfachen/
Strukturieren
3 Mathematisieren
4 Mathematisch
arbeiten
5 Interpretieren
6 Validieren
7 Darlegen/
Erklären
Die Münchener Feuerwehr kann Personen
aus einer Höhe von ca. 31 Metern retten.
Rest der Welt
Mathematik

Modellierungskreislauf
der Aufgabe Feuerwehr:
?
?
Länge genau
30 m ?
Wie herum?
Reales Modell
3
Math. Modell/
Problem
1 Verstehen
2 Vereinfachen/
Strukturieren
Realsituation
1
7
2
Situations
-modell
Abstand wirklich
immer 12 m ?
4
3 Mathematisieren
Höhe genau
3,19 m 4?
Mathematisch
arbeiten
5 Interpretieren
6
6 Validieren
Reale
Resultate
Math.
Resultate
7 Darlegen/
Erklären
5
Rest der Welt
Mathematik

Modellierungskreislauf
der Aufgabe Feuerwehr:
Reales Modell
3
Math. Modell/
Problem
1 Verstehen
2 Vereinfachen/
Strukturieren
Realsituation
1
7
2
Situations
-modell
4
3 Mathematisieren
4 Mathematisch
arbeiten
5 Interpretieren
6
6 Validieren
Reale
Resultate
Math.
Resultate
7 Darlegen/
Erklären
5
Rest der Welt
Mathematik

Fazit:
Modellierungskompetenz ist eine
komplexe Fähigkeit, die andere
Kompetenzen und Fertigkeiten
miteinschließt
Leitfrage:
Wie kann Modellierungskompetenz
im Unterricht (optimal) vermittelt
werden?
Forschungsprojekt „DISUM“
Leiter: Prof. Dr. W. Blum (Kassel),
Prof. Dr. R. Messner (Kassel) und
Prof. Dr. R. Pekrun (München)

4. Unterrichtliche Behandlung von
Modellierungsaufgaben
Modellierungsaufgaben in DISUM
• Modellierungsaufgaben zum Inhaltsbereich „Lineare Funktionen“
Beispielaufgabe: „Tanken“
• Modellierungsaufgaben zum Inhaltsbereich Satz des Pythagoras
Beispielaufgabe: „Feuerwehr“

Lernumgebungen im DISUM-Projekt
• „Direktive“ Lernumgebung
• Selbständigkeitsorientierte, „operativstrategische“
Lernumgebung
• Autonome Aufgabenbearbeitung durch Schüler
ohne Lehrer

Unterricht
- 10 Stunden Unterricht, der auf Modellierungskompetenz abzielt
- Inhaltsbereiche Pythagoras & Lin. Funktionen (Voraussetzung: Themen
wurden bereits im Unterricht behandelt)
- Identische Aufgaben in gleicher Reihenfolge in beiden Unterrichtsformen
Pre-
Test
Einführung
AB Kannst du
das lösen?
Salzberg
Tanken
Tanken 2*
Reiterhof
Wäscheleine
Zuckerhut
Zuckerhut 2*
Eichen
Drucker
Feuerwehr
Fahrschule
Zirkel
Tarzan
Reise
Post-
Test
1./2. Stunde 3./4. Stunde 5./6. Stunde 7. Stunde 8./9. Stunde 10. Stunde
Ablauf der UE (mit Anweisungen und Verboten) wurde
den Lehrern nochmals in Form von Regiebüchern
mitgeteilt.

Operativ-strategischer Unterricht
Individuelles selbständiges lehrergestütztes Lernen in Gruppen,
mit Plenumsphasen
Lehrer:
Orientiert am individuellen
Leistungsniveau des
Einzelschülers werden minimale
adaptive Hilfestellungen
gegeben
Schüler:
Individuelle Entwicklung von
Lösungswegen und -strategien
im Rahmen kooperativer
Gruppenarbeit

Direktiver Unterricht
Klar strukturiertes und zielgerichtetes fragend-entwickelndes Lernen im
Plenum, mit Einzelarbeitsphasen
Lehrer:
Orientiert am durchschnittlichen
Leistungsniveau der Klasse
werden zielgerichtet
Bearbeitungsmuster präsentiert
Schüler:
Aktiver Mitvollzug der von der
Lehrperson präsentierten Bearbeitungsmuster;
aktive Einzelbearbeitung
von Aufgaben

Ergebnisse:
Modellieren und technisches Arbeiten
Leistungszuwächse sind signifikant höher bei der
selbständigkeitsorientierten operativstrategischen
Lernumgebung

Ergebnisse: Modellieren
Deutliche Vorteile des operativ-strategischen
Unterrichts insbesondere bei
Modellierungskompetenz

Befragung: Interesse
Günstigere Werte im op.-str. Unterricht für Interesse
(SD .96)
(SD .96)
(SD .85)
(SD 1.06)
(SD .80)
(SD .98)
(SD 1.00)
(SD 1.00)
Interesse an Mathematik
Interesse an Mathematikunterricht
stimmt gar nicht (1), stimmt kaum (2), stimmt teilweise (3), stimmt überwiegend (4), stimmt genau (5)

Fazit: Operativ-strategische Lernumgebung fördert besser als direktive
die Modellierungskompetenz der Schüler und beeinflusst positiv
Schüler-Einstellungen zu Mathematik
Frage: Wie läuft der operativ-strategische Unterricht genau ab?
1. Individuelle Arbeit in der Gruppe
- Individuelle Arbeitsphase
- Ko-konstruktive Austauschphase
- Individuelle Aufschreibphase
2. Reflexion im Plenum

Individuelle Arbeit in der Gruppe

Zuckerhut
Aus einer Zeitungsmeldung:
Die Zuckerhutbahn benötigt für die Fahrt von
der Talstation bis zum Gipfel des als Zuckerhut
bekannten Berges rund 3 Minuten. Dabei fährt
sie mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h und
überwindet einen Höhenunterschied von ca.
180 m. Der Cheftechniker Giuseppe Pelligrini
würde viel lieber zu Fuß gehen. So wie früher,
als er Bergsteiger war und erst von der
Talstation über die ausgedehnte Ebene zum
Berg rannte und diesen dann in zwölf Minuten
bestieg.
Wie weit ist die Strecke ungefähr, die Giuseppe von der Talstation bis zum
Fuß des Berges rennen musste? Schreibe deinen Lösungsweg auf.
Arbeitsablauf:
• Jeder-für-sich-Phase
• Murmelphase
• Aufschreibphase

Diskussionsfragen
• Was haben Sie bei der Arbeit in der Gruppe empfunden?
• Welche Elemente des Unterrichtsablaufs finden Sie gut, welche
weniger gut?

5. Reflexion nach der Bearbeitung von Modellierungsaufgaben
Feuerwehr
Die Münchner Feuerwehr hat sich im Jahr 2004
ein neues Drehleiter-Fahrzeug angeschafft.
Mit diesem kann man über einem am Ende der
Leiter angebrachten Korb Personen aus großen
Höhen retten. Dabei muss das Feuerwehrauto
laut einer Vorschrift 12 m Mindestabstand vom
brennenden Haus einhalten.
Die technischen Daten des Fahrzeugs sind:
Fahrzeugtyp: Daimler Chrysler AG Econic 18/28 LL - Diesel
Baujahr: 2004
Leistung: 205kw ( 279 PS )
Hubraum:
6374 cm³
Maße des Fahrzeug: Länge 10m Breite 2,5m Höhe 3,19m
Maße der Leiter: 30m Länge
Leergewicht: 15540kg
Gesamtgewicht: 18000 kg
Aus welcher maximalen Höhe kann die Münchner Feuerwehr mit diesem Fahrzeug Personen retten?
Schreibe deinen Lösungsweg auf.

Modellierungskreislauf
der Aufgabe Feuerwehr:
Realsituation
Rest der Welt
Reales Modell/
Problem
1
7
2
6
Reale
Resultate
Situations
-modell
3
gesucht
5
Math. Modell/
Problem
4
Math.
Resultate
12 m
30 m
3,20 m
Mathematik
1 Verstehen
2 Vereinfachen/
Strukturieren
3 Mathematisieren
4 Mathematisch
arbeiten
5 Interpretieren
6 Validieren
7 Darlegen/
Erklären

Modellierungskreislauf
der Aufgabe Feuerwehr:
Reales Modell/
Problem
3
Math. Modell/
Problem
1 Verstehen
2 Vereinfachen/
Strukturieren
Realsituation
H
h
1
7
2
30 m
6
3,2 m 12 m
Reale
Resultate
Situations
-modell
5
4
Math.
Resultate
3 Mathematisieren
4 Mathematisch
arbeiten
5 Interpretieren
6 Validieren
7 Darlegen/
Erklären
Rest der Welt
Mathematik

Modellierungskreislauf
der Aufgabe Feuerwehr:
?
?
Länge genau
30 m ?
Wie herum?
Reales Modell/
Problem
3
Math. Modell/
Problem
1 Verstehen
2 Vereinfachen/
Strukturieren
Realsituation
1
7
2
Situations
-modell
Abstand wirklich
immer 12 m ?
4
3 Mathematisieren
Höhe genau
3,19 m 4?
Mathematisch
arbeiten
5 Interpretieren
6
6 Validieren
Reale
Resultate
Math.
Resultate
7 Darlegen/
Erklären
5
Rest der Welt
Mathematik

Reflexionsphase: Umgang mit Fehlern
Ausschnitt 1
Ist es sinnvoll Fehler im Plenum thematisieren?

Reflexionsphase: Sinnvolles Runden
Ausschnitt 2
Wie genau würden Sie in diesem Fall runden?

6. Zusammenfassung und Ausblick
Zusammenfassung:
- Modellierungskompetenz lässt sich gut (wenn auch normativ nicht
befriedigend) im selbständigkeitsorientierten Unterricht vermitteln
- direktive Plenumsphasen als mögliche Ergänzung (bei denen der
Lehrer die Lösung an der Tafel vormacht)
- Reflexion im Plenum als notwendiger Bestandteil der selbständigen
Arbeit
Ausblick:
- Mathematisches Lesen
- Strategien bei der Bearbeitung von Modellierungsaufgaben
(Unterstreichen, Zeichnen einer Skizze, Problemlösestrategien)
- Lösungsplan als Hilfe in Schülerhand
- Vergleich einer traditionellen Gruppenarbeit mit der individuellen Arbeit
in der Gruppe

Vielen Dank
für Ihre Aufmerksamkeit.