Die Gerade im R2 - Edi´s Corner

Die Gerade im R2
Ein einfacher Lernpfad mit Übungen
In dieser Zusammenstellung erhält man Hinweise, wie man
‣ Geraden zeichnet
‣ Gleichungen von Geraden ermittelt
‣ Übungen
Zudem habe ich eine Zusammenstellung von Links gemacht, wo man dies sehr gut
üben kann:
Übung macht den Meister
Hier kann man sich selbst überprüfen und zudem sehr gut üben:
Beschreibung
Link
Beschreibung
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Beschreibung
Link
Beschreibung
Link
Steigung einer homogenen linearen Funktion ablesen
http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.html
Bei gegebener Gleichung zwei Punkte einer Geraden auf ein Geogebra-Blatt
eintragen
http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradezeichnen.php
Steigung einer homogenen Geraden einzeichnen
www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php
Geradengleichung ablesen
www.realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.html
Quellen:
Friederich Buckel, www.mathe-cd.de
www.realmath.de
BG Dornbirn
Prof. Eduard Engler

BG Dornbirn
Prof. Eduard Engler

12170 Geraden für Anfänger 11
Musteraufgabe 1 y=
2
5
x+1
Zeichnen einer Geraden:
1. Schritt: Berechne einen „Startpunkt“ für die Zeichnung.
Günstig ist oft x = 0. Setzt man dies in die Zeichnung ein, folgt y = 1
Also geht die Gerade durch diesen Punkt S0|1.
2
2. Schritt Die Gerade hat die Steigung m , denn wenn x um 1 zunimmt, dann
5
2
nimmt y um zu. Dies erkennt man, wenn man nach S den Punkt
5
2 7
T1|? berechnet: Setzt man 1 ein, folgt y
11
5 5
2
Also hat y um y
zugenommen.
5
Wir haben gelernt, dass man bei Steigungszahlen mit Brüchen
günstigere Werte findet, wenn man so vorgeht:
2 y
m
5 x
Wir nehmen also x 5 und dazu y 2.
Brauchst Du eine Hilfe dazu ?
Wir kennen den Punkt S0|1 (also bei x = 0), den wir oben berechnet haben.
Wir gehen um x 5 weiter und kommen zu x = 5. Dies setzen wir in die
2
Geradengleichung ein und erhalten y 5121 3.
5
Wir erreichen also den Geradenpunkt P5|3.
Das ergibt eine Zunahme der y-Werte um y 2 ! Wir müssen dies in
Zukunft nicht mehr nachrechnen. Die Steigungsformel sagt uns das !)
Nun die Zeichnung:
P
S
x 5
y 2
Übrigens hätte man auch von S auch ein Steigungsdreieck nach links zeichnen
können: 5 nach links und dann um 2 nach unten.

12170 Geraden für Anfänger 13
1 3
Musteraufgabe 3 y= - x+
2 2
1. Schritt: Den y-Achsenabschnitt
3
2
ablesen und den Schnittpunkt
3
der Geraden mit der y-Achse eintragen: S 0|
y 2
1
2. Schritt: Die Steigung m ablesen und dann ein oder zwei
2
Steigungsdreiecke einzeichnen, z. B. mit x 2 und y1
S y
5
Musteraufgabe 4 y= - x+2
1. Schritt:
4
3
Den y-Achsenabschnitt
2
den Schnittpunkt der Geraden mit der
y-Achse eintragen: Sy
0|2
2. Schritt:
ablesen und
S x 4
y
1
Die Steigung m ablesen und
2
dann ein oder zwei Steigungsdreiecke
einzeichnen, z. B.
mit x 4 und y 5
y 5
Wichtig:
Das Steigungsdreieck muss
man nicht einzeichnen.
Es genügt das Abzählen der Kästchen,
um den nächsten Punkt zu finden !

12170 Geraden für Anfänger 14
Musteraufgabe 5
y=-6x+18
1. Schritt:
Der y-Achsenabschnitt ist mit +18 außerhalb des
Zeichenblattes. Daher müssen wir einen anderen
Punkt berechnen. Günstig ist hier z. B. x = 3 ,
denn dazu erhält man y 63 18 0 . Der
Startpunkt für die Zeichnung ist daher S3|0.
2. Schritt:
S
Die Steigung ist m = -6 . Damit kann man vom
Startpunkt S aus ein Steigungsdreieck nach rechts
zeichnen ( 1 Kästchen nach rechts, 6 Kästchen
= 3 cm nach unten) oder nach links (3 cm nach
oben).
MERKE:
y 6
x 1
Wenn der y-Achsen-Abschnitt
nicht mehr auf das Zeichenblatt passt,
muss man sich einen anderen
Startpunkt berechnen.
Musteraufgabe 6 y=
7
x-10
3
1. Schritt:
Der y-Achsenabschnitt ist mit -10 außerhalb
des Zeichenblattes. Daher müssen wir einen
anderen Punkt berechnen. Günstig ist hier
z. B. x = 3 , denn dazu erhält man
7
y 310710 3. Der Startpunkt
3
S3| 3.
für die Zeichnung ist daher
2. Schritt:
S
Die Steigung ist m = 7 . Damit kann man vom
3
Startpunkt S aus ein Steigungsdreieck nach
rechts zeichnen ( x
3 Kästchen
und
y 7K.
oder nach links unten).
AUFGABE 1: Zeichne die Geraden mit diesen Gleichungen:
3
g:y
1
4x 5, g
2
: y x 2, g
4
3
: y x 1, g
4
: y 2x, g
5
: y 3x6
3
g : y x 2, g
7
: y x 3 und g
8
: y 4,2
6 7

12170 Geraden für Anfänger 16
Sonderfälle für Geradengleichungen
a) Die Gerade mit der Gleichung g
4
: y 2x hat den y-Achsenabschnitt 0.
Zu ihr gehört eine Ursprungsgerade.
Dies ist bereits bei den Proportionalitäten besprochen worden
b) Die Gerade mit der Gleichung y = 1,5 hat eigentlich die Gleichung
y = 0x + 1,5. Man erkennt, dass die Steigung 0 vorliegt, also
verläuft die Gerade parallel zur x-Achse. (Siehe Abbildung unten links).
Dies findet man aber auch noch anders heraus:
y = 3 ist eine Gleichung ohne x. Das heißt zu jedem x gehört y = 3.
x kann also beliebig sein ! So kommt man also z. B. zu diesen Geradenpunkten:
A 2 | 1, 5 ; B 0 | 1, 5 ; C 1 | 1, 5 usw.
c) Die Gleichung x = 2 hat gar nicht die Form y = mx + n.
denn y fehlt ganz. Dennoch findet man schnell heraus, dass sie
eine Gerade darstellt, die parallel zur y-Achse verläuft:
x = 2 ist eine Gleichung ohne y . Das heißt zu jedem y gehört x = 2.
Jetzt kann y beliebig sein, weil y nicht in der Bedingung vorkommt.
A 2| 1 ;B 2|0 ;C 2|3
usw. Und sie liegen alle auf einer Geraden parallel zur y-Achse (siehe
Abbildung unten rechts).
So erhält man also z. B. zu diese Punkten:
d) 3x+5y=2 ist eine Geradengleichung, die man zuerst noch nach y
umstellen muss, bevor man sie zeichnen kann. Dies wird als nächstes
besprochen.
C
y 1,5
A B C
x 2
B
A

12170 Geraden für Anfänger 17
Die allgemeine Gleichung ax + by + c = 0
Da für a, b und c beliebige Zahlen (Parameter) verwendet werden dürfen, sollten wir
uns zuerst einige Beispiele ansehen, die zu diesem Gleichungstyp gehören:
1. 2x – 5y + 3 = 0 mit a = 2, b = - 5 und c = 3
2. x + y = 5 mit a = 1, b = 1 und c = - 5 (Achtung: 5 steht rechts !)
3. 2x + 8 = 0 mit a = 2, b = 0 und c = 8
4. y +1 = 0 mit a = 0, b = 1 und c = 1
5. 2 = 0 mit a = 0, b = 0 und c = 2.
6. 0 = 0 mit a = 0, b = 0 und c = 0.
Nun analysieren wir diese Gleichungen der Reihe nach.
1. 2x – 5y + 3 = 0 lösen wir nach y auf und erhalten 5y 2x 3 also
2 3
y x . Diese Gleichung stellt eine Gerade mit der Steigung 2 dar. 5
5 5
2. x + y = 5 ergibt y = - x + 5 und stellt eine Gerade mit m = -1 dar.
3. 2x + 8 = 0 enthält kein y, also löst man nach x auf und erhält x = - 4.
Diese Gleichung stellt auch eine Gerade dar, und zwar eine Parallele zur
y-Achse.
4. y +1 = 0 liefert uns y = - 1 . Die ergibt eine Parallele zur x-Achse.
5. 2 = 0 enthält weder x noch y und kann somit keine Gerade darstellen.
Da die Gleichung zudem einen unlösbaren Widerspruch darstellt, gibt es
gar keine Lösung für sie.
6. Die Gleichung 0 = 0 wird von allen Punkten erfüllt, also stellt sie die ganze
Zeichenebene dar.
Aufgabe 2:
Stelle die folgenden Gleichungen um, bestimme die Lage der zugehörigen Geraden
und zeichne sie in ein gemeinsames Achsenkreuz:
g:x
1
2y6 0, g
2
:3x2y2 0,
g
3
: x4y 0, g
4
: 2y7 0,
g : 5x120
5

12170 Geraden für Anfänger 20
§ 4 Die Gleichung einer Geraden ermitteln
Übersicht:
Wenn eine Gerade nicht parallel zur x- oder y-Achse ist, hat sie eine
Gleichung der Form
y= mx n
Steigung
y Achsen Abschnitt
Wir müssen also die Steigung m ermitteln und den y-Achsenabschnitt.
1. Fall: Geraden mit erkennbarem y-Achsen-Abschnitt !
Musterbeispiel 1
Wir lesen die Koordinaten zweier Punkte ab.
A 0| 1 B3|1
und
Für die Steigung einer Geraden gilt die Formel:
y
m
x
A
x
B
y
y 2
Darin ist y die Differenz der y-Koordinaten
und x die Differenz der x-Koordinaten.
Es gibt nun zwei verschiedene Möglichkeiten, diese Differenzen zu berechnen.
1. Möglichkeit: Man subtrahiert immer den A-Wert vom B-Wert:
y y
ByA
1 1 11 2 und x xBxA
30 3.
Daraus folgt dann
m
x 3
2. Möglichkeit: Man subtrahiert immer den B-Wert vom A-Wert:
y yA
yB
11 2 und x xA xB
033
Daraus folgt dann
y 2 2
m
x 3 3
Die Steigung ist also davon unabhängig, welche Reihenfolge man bei der
Differenz-Berechnung wählt. Man darf nur die Reihenfolge nicht ändern, denn
DAS WÄRE FALSCH: y y y 11 2 und x x x 303
A B
B A
Denn daraus würde eine negative Steigung folgen:
Jetzt fehlt noch der y-Achsenabschnitt. Nein ! Er fehlt nicht, denn er ist ja durch
A 0| 1 bereits gegeben, also ist n = - 1.
den Punkt
y 2 2
m
x
3 3
2
Ergebnis: Die Gerade (AB) hat die Gleichung y
x1
3

12170 Geraden für Anfänger 21
Musterbeispiel 2
Wir lesen die Koordinaten zweier Punkte ab.
B4|0
A0|3 und
Für die Steigung einer Geraden gilt die Formel:
A
x
m
y y y 03 3
x x x 4 0 4
B A
B A
y
Weil der Punkt A auf der y-Achse liegt, kann man
seine y-Koordinate sofort als y-Achsenabschnitt n
für die Gerade verwenden.
B
3
Aus y mx n folgt daher: y x 3 als Geradengleichung.
4
Musterbeispiel 3
Wir lesen die Koordinaten zweier Punkte ab.
B3,5| 5,5 7 |
11
A0|0 und
2 2
Für die Steigung einer Geraden gilt die Formel:
A
y
y y 0
m
7
x x x 0
11
B A 2
7
B A 2
11
2
2
11
7
y
Weil der Punkt A der Ursprung ist, liegt eine
Ursprungsgerade vor. Also ist n = 0 !
Eine Ursprungsgerade hat y mx .
11
Daher folgt y x als Geradengleichung.
7
x
B
Musterbeispiel 4
Wir lesen die Koordinaten zweier Punkte ab.
A 0| 2 B2| 2
und
Für die Steigung einer Geraden gilt die Formel:
y y
B
yA
2 2 0
m 0
x x x 20 2
B
A
Diese Rechnung ist unnötig, denn, da beide
Punkte die gleiche y-Koordinate -2 haben lautet
die Geradengleichung y = - 2.
A
x
B
Es ist eine Parallele zur x-Achse.
(Man könnte aber auch m = 0 und n = - 2 in die allgemeine Gleichung y = mx + n
einsetzen, nur ist das sehr umständlich und zeugt nicht von Durchblick !)

12170 Geraden für Anfänger 22
2. Fall: Geraden mit unklarem y-Achsen-Abschnitt !
Musterbeispiel 5
Wir lesen die Koordinaten zweier günstiger
A 3 |
1 B1|2
Punkte ab. und
2 2
Für die Steigung einer Geraden gilt die Formel:
B
y
y y 2
m
5
x x x 1
1
B A 2
3
B A
2
3
2
2
3
5
A
x
y
Zur Kontrolle: Von A muss man 5 Kästchen
nach rechts und drei nach oben, dann ist man bei B!
Da es jetzt nicht möglich ist, einen genauer Wert für den y-Achsenabschnitt
abzulesen, geht man einen der beiden folgenden Wege
1. Lösungsweg (für Klasse 8 bis 9 empfohlen):
Von der allgemeinen Geradengleichung y mx n kennen wir jetzt
3
3
die Steigung m , also wissen wir: y x n.
5
5
Um n zu berechnen nützen wir aus, dass wir ja zwei Punkte der Geraden
kennen. Wir wählen einen davon aus, etwa B1|2 und setzen seine
Koordinaten in diese Gleichung ein. (Dies ist erlaubt, denn er ist ja ein
Lösungspaar dieser Gleichung - wir machen also die Probe mit diesem
Zahlenpaar , man sagt auch „Punktprobe“ dazu !)
y x n n2 1
3
3 7
5 5 5
yB
2
xB
1
3 7
Setzen wir dieses Ergebnis ein, folgt y
x
5 5
7 14
Es gibt eine optische Kontrolle dazu: 1, 4 stimmt als y-Achsen-
5 10
Abschnitt mit der Zeichnung überein !
Hinweis: Die Verwendung von A statt B führt zum selben Ergebnis für n !
2. Lösungsweg mit Verwendung der Punkt-Steigungsform (Oberstufe)
Dieses Verfahren wird im Text der Datei 20010 ausführlich besprochen.
Die Punkt-Steigungsform lautet y y m x x
.
1 1
7
Dort setzen wir ein: m , y
5 1 yB
2 und x1
xB
1 und erhalten
y2 3 x1
y 3 x 3 2 y 3 x 7 .
5 5 5 5 5

12170 Geraden für Anfänger 24
Musterbeispiel 8
3 7
2
Gegeben sind die Punkte A | und
2 2
Stelle die Gleichung der Geraden (AZ) auf.
1. Schritt: Berechnung der Steigung:
Z4| .
3
y
y y
m
x x x 4
25 2 5
m
6 5 3
2 7 4 21 25
Z A 3 2 6 6 6
3 8 3 5
Z A 2 2 2 2
A
x
y
2. Schritt : Damit lautet die Geradengleichung:
5
y x n.
3
Bestimmung von n durch Einsetzen z. B. des
2
Punktes Z4|
3
:
y
6
Z
x
3 Z
n ergibt
2
3
4
2 5 2 20 18
3 3 3 3 3
4n n 6
Z
5
Ergebnis: y
x6
3
Musterbeispiel 9
Schwer
1 87 4 27
Gegeben sind die Punkte A | ,
B | .
2 8 3 4
Stelle die Gleichung der Geraden (AB) auf.
1. Schritt: Berechnung der Steigung:
y
y y
m
x x x
27 87 54 87 33
B A 4 8 8 8 8
4 1 8 3
11
B A 3 2 6 6 6
A
x
m
3
3
33 6
8 4 11
9
4
y
2. Schritt : Damit lautet die Geradengleichung:
9
y x n.
4
Bestimmung von n durch Einsetzen z. B. des
4 27
Punktes B |
3 4
:
y
9
B
x
4 Z
n ergibt
27
4
4 3
Z
3
27 9 4
4 4
27 12 39
n
n
3
4 4 4
9 39
Ergebnis: y
x
4 4

12170 Geraden für Anfänger 25
Aufgabe 3
Stelle die Gleichung der Geraden auf, die durch die angegebenen Punkte
gehen. Zeichne dann die Gerade auf Grund der Gleichung und trage in a) bis e)
die gegebenen Punkte ein. (Dies ist dann eine Kontrolle darüber, ob die Gleichung
stimmt.)
a) A3|2 ; B5|6
b) C7| 2;D1|3
Gemeinsames Achsenkreuz.
c) E2| 3 ; F8| 1
d) P3 1 |5;Q 2| 1
3
3
e) R 7 | ; S 4 | 5
4 2 3
Gemeinsames Achsenkreuz
13
f) P1| ; Q 16 | 1
5
7
y
x4
7
5
3 34
7 3
g) R | ; S |
5 15
15
h) 2 5
4 3 6
y
x
2 8
4 2
3 3
5 5
T8| ; U | y
x
8 4
Gemeinsames Achsenkreuz
1 14
y
x
i) V 3 | 53 ; W3|
31
2 12 6
6 3