Die Gerade im R2 - Edi´s Corner
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<strong>Die</strong> <strong>Gerade</strong> <strong>im</strong> <strong>R2</strong><br />
Ein einfacher Lernpfad mit Übungen<br />
In dieser Zusammenstellung erhält man Hinweise, wie man<br />
‣ <strong>Gerade</strong>n zeichnet<br />
‣ Gleichungen von <strong>Gerade</strong>n ermittelt<br />
‣ Übungen<br />
Zudem habe ich eine Zusammenstellung von Links gemacht, wo man dies sehr gut<br />
üben kann:<br />
Übung macht den Meister<br />
Hier kann man sich selbst überprüfen und zudem sehr gut üben:<br />
Beschreibung<br />
Link<br />
Beschreibung<br />
Link<br />
Beschreibung<br />
Link<br />
Beschreibung<br />
Link<br />
Steigung einer homogenen linearen Funktion ablesen<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.html<br />
Bei gegebener Gleichung zwei Punkte einer <strong>Gerade</strong>n auf ein Geogebra-Blatt<br />
eintragen<br />
http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradezeichnen.php<br />
Steigung einer homogenen <strong>Gerade</strong>n einzeichnen<br />
www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php<br />
<strong>Gerade</strong>ngleichung ablesen<br />
www.realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.html<br />
Quellen:<br />
Friederich Buckel, www.mathe-cd.de<br />
www.realmath.de<br />
BG Dornbirn<br />
Prof. Eduard Engler
BG Dornbirn<br />
Prof. Eduard Engler
12170 <strong>Gerade</strong>n für Anfänger 11<br />
Musteraufgabe 1 y=<br />
2<br />
5<br />
x+1<br />
Zeichnen einer <strong>Gerade</strong>n:<br />
1. Schritt: Berechne einen „Startpunkt“ für die Zeichnung.<br />
Günstig ist oft x = 0. Setzt man dies in die Zeichnung ein, folgt y = 1<br />
Also geht die <strong>Gerade</strong> durch diesen Punkt S0|1. <br />
2<br />
2. Schritt <strong>Die</strong> <strong>Gerade</strong> hat die Steigung m , denn wenn x um 1 zun<strong>im</strong>mt, dann<br />
5<br />
2<br />
n<strong>im</strong>mt y um zu. <strong>Die</strong>s erkennt man, wenn man nach S den Punkt<br />
5<br />
2 7<br />
T1|? berechnet: Setzt man 1 ein, folgt y<br />
11<br />
5 5<br />
2<br />
Also hat y um y<br />
zugenommen.<br />
5<br />
Wir haben gelernt, dass man bei Steigungszahlen mit Brüchen<br />
günstigere Werte findet, wenn man so vorgeht:<br />
2 y<br />
m <br />
5 x<br />
Wir nehmen also x 5 und dazu y 2.<br />
Brauchst Du eine Hilfe dazu ?<br />
Wir kennen den Punkt S0|1 (also bei x = 0), den wir oben berechnet haben.<br />
Wir gehen um x 5 weiter und kommen zu x = 5. <strong>Die</strong>s setzen wir in die<br />
2<br />
<strong>Gerade</strong>ngleichung ein und erhalten y 5121 3.<br />
5<br />
Wir erreichen also den <strong>Gerade</strong>npunkt P5|3. <br />
Das ergibt eine Zunahme der y-Werte um y 2 ! Wir müssen dies in<br />
Zukunft nicht mehr nachrechnen. <strong>Die</strong> Steigungsformel sagt uns das !)<br />
Nun die Zeichnung:<br />
P<br />
S<br />
x 5<br />
y 2<br />
Übrigens hätte man auch von S auch ein Steigungsdreieck nach links zeichnen<br />
können: 5 nach links und dann um 2 nach unten.
12170 <strong>Gerade</strong>n für Anfänger 13<br />
1 3<br />
Musteraufgabe 3 y= - x+<br />
2 2<br />
1. Schritt: Den y-Achsenabschnitt<br />
3<br />
2<br />
ablesen und den Schnittpunkt<br />
3<br />
der <strong>Gerade</strong>n mit der y-Achse eintragen: S 0|<br />
<br />
y 2<br />
1<br />
2. Schritt: <strong>Die</strong> Steigung m ablesen und dann ein oder zwei<br />
2<br />
Steigungsdreiecke einzeichnen, z. B. mit x 2 und y1<br />
S y<br />
5<br />
Musteraufgabe 4 y= - x+2<br />
1. Schritt:<br />
4<br />
3<br />
Den y-Achsenabschnitt<br />
2<br />
den Schnittpunkt der <strong>Gerade</strong>n mit der<br />
y-Achse eintragen: Sy<br />
0|2<br />
2. Schritt:<br />
ablesen und<br />
S x 4<br />
y<br />
1<br />
<strong>Die</strong> Steigung m ablesen und<br />
2<br />
dann ein oder zwei Steigungsdreiecke<br />
einzeichnen, z. B.<br />
mit x 4 und y 5<br />
y 5<br />
Wichtig:<br />
Das Steigungsdreieck muss<br />
man nicht einzeichnen.<br />
Es genügt das Abzählen der Kästchen,<br />
um den nächsten Punkt zu finden !
12170 <strong>Gerade</strong>n für Anfänger 14<br />
Musteraufgabe 5<br />
y=-6x+18<br />
1. Schritt:<br />
Der y-Achsenabschnitt ist mit +18 außerhalb des<br />
Zeichenblattes. Daher müssen wir einen anderen<br />
Punkt berechnen. Günstig ist hier z. B. x = 3 ,<br />
denn dazu erhält man y 63 18 0 . Der<br />
Startpunkt für die Zeichnung ist daher S3|0. <br />
2. Schritt:<br />
S<br />
<strong>Die</strong> Steigung ist m = -6 . Damit kann man vom<br />
Startpunkt S aus ein Steigungsdreieck nach rechts<br />
zeichnen ( 1 Kästchen nach rechts, 6 Kästchen<br />
= 3 cm nach unten) oder nach links (3 cm nach<br />
oben).<br />
MERKE:<br />
y 6<br />
x 1<br />
Wenn der y-Achsen-Abschnitt<br />
nicht mehr auf das Zeichenblatt passt,<br />
muss man sich einen anderen<br />
Startpunkt berechnen.<br />
Musteraufgabe 6 y=<br />
7<br />
x-10<br />
3<br />
1. Schritt:<br />
Der y-Achsenabschnitt ist mit -10 außerhalb<br />
des Zeichenblattes. Daher müssen wir einen<br />
anderen Punkt berechnen. Günstig ist hier<br />
z. B. x = 3 , denn dazu erhält man<br />
7<br />
y 310710 3. Der Startpunkt<br />
3<br />
S3| 3.<br />
für die Zeichnung ist daher <br />
2. Schritt:<br />
S<br />
<strong>Die</strong> Steigung ist m = 7 . Damit kann man vom<br />
3<br />
Startpunkt S aus ein Steigungsdreieck nach<br />
rechts zeichnen ( x<br />
3 Kästchen<br />
und<br />
y 7K.<br />
oder nach links unten).<br />
AUFGABE 1: Zeichne die <strong>Gerade</strong>n mit diesen Gleichungen:<br />
3<br />
g:y<br />
1<br />
4x 5, g<br />
2<br />
: y x 2, g<br />
4<br />
3<br />
: y x 1, g<br />
4<br />
: y 2x, g<br />
5<br />
: y 3x6<br />
3<br />
g : y x 2, g<br />
7<br />
: y x 3 und g<br />
8<br />
: y 4,2<br />
6 7
12170 <strong>Gerade</strong>n für Anfänger 16<br />
Sonderfälle für <strong>Gerade</strong>ngleichungen<br />
a) <strong>Die</strong> <strong>Gerade</strong> mit der Gleichung g<br />
4<br />
: y 2x hat den y-Achsenabschnitt 0.<br />
Zu ihr gehört eine Ursprungsgerade.<br />
<strong>Die</strong>s ist bereits bei den Proportionalitäten besprochen worden<br />
b) <strong>Die</strong> <strong>Gerade</strong> mit der Gleichung y = 1,5 hat eigentlich die Gleichung<br />
y = 0x + 1,5. Man erkennt, dass die Steigung 0 vorliegt, also<br />
verläuft die <strong>Gerade</strong> parallel zur x-Achse. (Siehe Abbildung unten links).<br />
<strong>Die</strong>s findet man aber auch noch anders heraus:<br />
y = 3 ist eine Gleichung ohne x. Das heißt zu jedem x gehört y = 3.<br />
x kann also beliebig sein ! So kommt man also z. B. zu diesen <strong>Gerade</strong>npunkten:<br />
A 2 | 1, 5 ; B 0 | 1, 5 ; C 1 | 1, 5 usw.<br />
<br />
c) <strong>Die</strong> Gleichung x = 2 hat gar nicht die Form y = mx + n.<br />
denn y fehlt ganz. Dennoch findet man schnell heraus, dass sie<br />
eine <strong>Gerade</strong> darstellt, die parallel zur y-Achse verläuft:<br />
x = 2 ist eine Gleichung ohne y . Das heißt zu jedem y gehört x = 2.<br />
Jetzt kann y beliebig sein, weil y nicht in der Bedingung vorkommt.<br />
A 2| 1 ;B 2|0 ;C 2|3<br />
usw. Und sie liegen alle auf einer <strong>Gerade</strong>n parallel zur y-Achse (siehe<br />
Abbildung unten rechts).<br />
So erhält man also z. B. zu diese Punkten: <br />
d) 3x+5y=2 ist eine <strong>Gerade</strong>ngleichung, die man zuerst noch nach y<br />
umstellen muss, bevor man sie zeichnen kann. <strong>Die</strong>s wird als nächstes<br />
besprochen.<br />
C<br />
y 1,5<br />
A B C<br />
x 2<br />
B<br />
A
12170 <strong>Gerade</strong>n für Anfänger 17<br />
<strong>Die</strong> allgemeine Gleichung ax + by + c = 0<br />
Da für a, b und c beliebige Zahlen (Parameter) verwendet werden dürfen, sollten wir<br />
uns zuerst einige Beispiele ansehen, die zu diesem Gleichungstyp gehören:<br />
1. 2x – 5y + 3 = 0 mit a = 2, b = - 5 und c = 3<br />
2. x + y = 5 mit a = 1, b = 1 und c = - 5 (Achtung: 5 steht rechts !)<br />
3. 2x + 8 = 0 mit a = 2, b = 0 und c = 8<br />
4. y +1 = 0 mit a = 0, b = 1 und c = 1<br />
5. 2 = 0 mit a = 0, b = 0 und c = 2.<br />
6. 0 = 0 mit a = 0, b = 0 und c = 0.<br />
Nun analysieren wir diese Gleichungen der Reihe nach.<br />
1. 2x – 5y + 3 = 0 lösen wir nach y auf und erhalten 5y 2x 3 also<br />
2 3<br />
y x . <strong>Die</strong>se Gleichung stellt eine <strong>Gerade</strong> mit der Steigung 2 dar. 5<br />
5 5<br />
2. x + y = 5 ergibt y = - x + 5 und stellt eine <strong>Gerade</strong> mit m = -1 dar.<br />
3. 2x + 8 = 0 enthält kein y, also löst man nach x auf und erhält x = - 4.<br />
<strong>Die</strong>se Gleichung stellt auch eine <strong>Gerade</strong> dar, und zwar eine Parallele zur<br />
y-Achse.<br />
4. y +1 = 0 liefert uns y = - 1 . <strong>Die</strong> ergibt eine Parallele zur x-Achse.<br />
5. 2 = 0 enthält weder x noch y und kann somit keine <strong>Gerade</strong> darstellen.<br />
Da die Gleichung zudem einen unlösbaren Widerspruch darstellt, gibt es<br />
gar keine Lösung für sie.<br />
6. <strong>Die</strong> Gleichung 0 = 0 wird von allen Punkten erfüllt, also stellt sie die ganze<br />
Zeichenebene dar.<br />
Aufgabe 2:<br />
Stelle die folgenden Gleichungen um, best<strong>im</strong>me die Lage der zugehörigen <strong>Gerade</strong>n<br />
und zeichne sie in ein gemeinsames Achsenkreuz:<br />
g:x<br />
1<br />
2y6 0, g<br />
2<br />
:3x2y2 0,<br />
g<br />
3<br />
: x4y 0, g<br />
4<br />
: 2y7 0,<br />
g : 5x120<br />
5
12170 <strong>Gerade</strong>n für Anfänger 20<br />
§ 4 <strong>Die</strong> Gleichung einer <strong>Gerade</strong>n ermitteln<br />
Übersicht:<br />
Wenn eine <strong>Gerade</strong> nicht parallel zur x- oder y-Achse ist, hat sie eine<br />
Gleichung der Form<br />
y= mx n<br />
Steigung<br />
y Achsen Abschnitt<br />
Wir müssen also die Steigung m ermitteln und den y-Achsenabschnitt.<br />
1. Fall: <strong>Gerade</strong>n mit erkennbarem y-Achsen-Abschnitt !<br />
Musterbeispiel 1<br />
Wir lesen die Koordinaten zweier Punkte ab.<br />
A 0| 1 B3|1<br />
<br />
und <br />
Für die Steigung einer <strong>Gerade</strong>n gilt die Formel:<br />
y<br />
m<br />
x<br />
A<br />
x<br />
B<br />
y<br />
<br />
y 2<br />
Darin ist y die Differenz der y-Koordinaten<br />
und x die Differenz der x-Koordinaten.<br />
Es gibt nun zwei verschiedene Möglichkeiten, diese Differenzen zu berechnen.<br />
1. Möglichkeit: Man subtrahiert <strong>im</strong>mer den A-Wert vom B-Wert:<br />
y y <br />
ByA<br />
1 1 11 2 und x xBxA<br />
30 3.<br />
Daraus folgt dann<br />
<br />
m <br />
x 3<br />
2. Möglichkeit: Man subtrahiert <strong>im</strong>mer den B-Wert vom A-Wert:<br />
y yA<br />
yB<br />
11 2 und x xA xB<br />
033<br />
Daraus folgt dann<br />
y 2 2<br />
m <br />
x 3 3<br />
<strong>Die</strong> Steigung ist also davon unabhängig, welche Reihenfolge man bei der<br />
Differenz-Berechnung wählt. Man darf nur die Reihenfolge nicht ändern, denn<br />
DAS WÄRE FALSCH: y y y 11 2 und x x x 303<br />
A B<br />
B A<br />
Denn daraus würde eine negative Steigung folgen:<br />
Jetzt fehlt noch der y-Achsenabschnitt. Nein ! Er fehlt nicht, denn er ist ja durch<br />
A 0| 1 bereits gegeben, also ist n = - 1.<br />
den Punkt <br />
y 2 2<br />
m <br />
x<br />
3 3<br />
2<br />
Ergebnis: <strong>Die</strong> <strong>Gerade</strong> (AB) hat die Gleichung y<br />
x1<br />
3
12170 <strong>Gerade</strong>n für Anfänger 21<br />
Musterbeispiel 2<br />
Wir lesen die Koordinaten zweier Punkte ab.<br />
B4|0<br />
A0|3 und <br />
Für die Steigung einer <strong>Gerade</strong>n gilt die Formel:<br />
A<br />
x<br />
m<br />
y y y 03 3<br />
x x x 4 0 4<br />
B A<br />
<br />
<br />
B A<br />
<br />
y<br />
Weil der Punkt A auf der y-Achse liegt, kann man<br />
seine y-Koordinate sofort als y-Achsenabschnitt n<br />
für die <strong>Gerade</strong> verwenden.<br />
B<br />
3<br />
Aus y mx n folgt daher: y x 3 als <strong>Gerade</strong>ngleichung.<br />
4<br />
Musterbeispiel 3<br />
Wir lesen die Koordinaten zweier Punkte ab.<br />
B3,5| 5,5 7 | <br />
11<br />
A0|0 und <br />
2 2<br />
Für die Steigung einer <strong>Gerade</strong>n gilt die Formel:<br />
A<br />
y<br />
y y 0<br />
m <br />
7<br />
x x x 0<br />
11<br />
B A 2<br />
7<br />
B A 2<br />
11<br />
2<br />
2<br />
11<br />
<br />
7<br />
y<br />
Weil der Punkt A der Ursprung ist, liegt eine<br />
Ursprungsgerade vor. Also ist n = 0 !<br />
Eine Ursprungsgerade hat y mx .<br />
11<br />
Daher folgt y x als <strong>Gerade</strong>ngleichung.<br />
7<br />
x<br />
B<br />
Musterbeispiel 4<br />
Wir lesen die Koordinaten zweier Punkte ab.<br />
A 0| 2 B2| 2<br />
<br />
und <br />
Für die Steigung einer <strong>Gerade</strong>n gilt die Formel:<br />
y y<br />
<br />
B<br />
yA<br />
2 2 0<br />
m 0<br />
x x x 20 2<br />
B<br />
A<br />
<strong>Die</strong>se Rechnung ist unnötig, denn, da beide<br />
Punkte die gleiche y-Koordinate -2 haben lautet<br />
die <strong>Gerade</strong>ngleichung y = - 2.<br />
A<br />
x<br />
B<br />
Es ist eine Parallele zur x-Achse.<br />
(Man könnte aber auch m = 0 und n = - 2 in die allgemeine Gleichung y = mx + n<br />
einsetzen, nur ist das sehr umständlich und zeugt nicht von Durchblick !)
12170 <strong>Gerade</strong>n für Anfänger 22<br />
2. Fall: <strong>Gerade</strong>n mit unklarem y-Achsen-Abschnitt !<br />
Musterbeispiel 5<br />
Wir lesen die Koordinaten zweier günstiger<br />
A 3 |<br />
1 B1|2<br />
Punkte ab. und <br />
2 2<br />
Für die Steigung einer <strong>Gerade</strong>n gilt die Formel:<br />
B<br />
y<br />
y y 2 <br />
m <br />
5<br />
x x x 1 <br />
1<br />
B A 2<br />
3<br />
B A <br />
2<br />
<br />
3<br />
2<br />
2<br />
<br />
3<br />
5<br />
A<br />
x<br />
y<br />
Zur Kontrolle: Von A muss man 5 Kästchen<br />
nach rechts und drei nach oben, dann ist man bei B!<br />
Da es jetzt nicht möglich ist, einen genauer Wert für den y-Achsenabschnitt<br />
abzulesen, geht man einen der beiden folgenden Wege<br />
1. Lösungsweg (für Klasse 8 bis 9 empfohlen):<br />
Von der allgemeinen <strong>Gerade</strong>ngleichung y mx n kennen wir jetzt<br />
3<br />
3<br />
die Steigung m , also wissen wir: y x n.<br />
5<br />
5<br />
Um n zu berechnen nützen wir aus, dass wir ja zwei Punkte der <strong>Gerade</strong>n<br />
kennen. Wir wählen einen davon aus, etwa B1|2 und setzen seine<br />
Koordinaten in diese Gleichung ein. (<strong>Die</strong>s ist erlaubt, denn er ist ja ein<br />
Lösungspaar dieser Gleichung - wir machen also die Probe mit diesem<br />
Zahlenpaar , man sagt auch „Punktprobe“ dazu !)<br />
y x n n2 1<br />
3 <br />
3 7<br />
5 5 5<br />
yB<br />
2<br />
xB<br />
1<br />
3 7<br />
Setzen wir dieses Ergebnis ein, folgt y<br />
x<br />
5 5<br />
7 14<br />
Es gibt eine optische Kontrolle dazu: 1, 4 st<strong>im</strong>mt als y-Achsen-<br />
5 10<br />
Abschnitt mit der Zeichnung überein !<br />
Hinweis: <strong>Die</strong> Verwendung von A statt B führt zum selben Ergebnis für n !<br />
2. Lösungsweg mit Verwendung der Punkt-Steigungsform (Oberstufe)<br />
<strong>Die</strong>ses Verfahren wird <strong>im</strong> Text der Datei 20010 ausführlich besprochen.<br />
<strong>Die</strong> Punkt-Steigungsform lautet y y m x x <br />
.<br />
1 1<br />
7<br />
Dort setzen wir ein: m , y<br />
5 1 yB<br />
2 und x1<br />
xB<br />
1 und erhalten<br />
y2 3 x1<br />
y 3 x 3 2 y 3 x 7 .<br />
5 5 5 5 5
12170 <strong>Gerade</strong>n für Anfänger 24<br />
Musterbeispiel 8<br />
3 7<br />
2<br />
Gegeben sind die Punkte A | und <br />
2 2<br />
Stelle die Gleichung der <strong>Gerade</strong>n (AZ) auf.<br />
1. Schritt: Berechnung der Steigung:<br />
Z4| .<br />
3<br />
y<br />
y y <br />
m <br />
x x x 4 <br />
25 2 5<br />
m <br />
6 5 3<br />
2 7 4 21 25<br />
Z A 3 2 6 6 6<br />
3 8 3 5<br />
Z A 2 2 2 2<br />
A<br />
x<br />
y<br />
2. Schritt : Damit lautet die <strong>Gerade</strong>ngleichung:<br />
5<br />
y x n.<br />
3<br />
Best<strong>im</strong>mung von n durch Einsetzen z. B. des<br />
2<br />
Punktes Z4| <br />
3<br />
:<br />
y<br />
<br />
6<br />
Z<br />
x<br />
3 Z<br />
n ergibt<br />
2<br />
3<br />
4<br />
2 5 2 20 18<br />
3 3 3 3 3<br />
4n n 6<br />
Z<br />
5<br />
Ergebnis: y<br />
x6<br />
3<br />
Musterbeispiel 9<br />
Schwer<br />
1 87 4 27<br />
Gegeben sind die Punkte A | , <br />
B | .<br />
2 8 3 4<br />
Stelle die Gleichung der <strong>Gerade</strong>n (AB) auf.<br />
1. Schritt: Berechnung der Steigung:<br />
y<br />
y y <br />
m <br />
x x x<br />
<br />
27 87 54 87 33<br />
B A 4 8 8 8 8<br />
4 1 8 3<br />
11<br />
B A 3 2 6 6 6<br />
A<br />
x<br />
m <br />
3<br />
3<br />
33 6<br />
<br />
8 4 11<br />
<br />
9<br />
4<br />
y<br />
2. Schritt : Damit lautet die <strong>Gerade</strong>ngleichung:<br />
9<br />
y x n.<br />
4<br />
Best<strong>im</strong>mung von n durch Einsetzen z. B. des<br />
4 27<br />
Punktes B |<br />
3 4<br />
:<br />
y<br />
<br />
9<br />
B<br />
x<br />
4 Z<br />
n ergibt<br />
27<br />
4<br />
4 3<br />
Z<br />
3<br />
27 9 4<br />
<br />
4 4 <br />
27 12 39<br />
n<br />
n <br />
3<br />
4 4 4<br />
9 39<br />
Ergebnis: y<br />
x<br />
4 4
12170 <strong>Gerade</strong>n für Anfänger 25<br />
Aufgabe 3<br />
Stelle die Gleichung der <strong>Gerade</strong>n auf, die durch die angegebenen Punkte<br />
gehen. Zeichne dann die <strong>Gerade</strong> auf Grund der Gleichung und trage in a) bis e)<br />
die gegebenen Punkte ein. (<strong>Die</strong>s ist dann eine Kontrolle darüber, ob die Gleichung<br />
st<strong>im</strong>mt.)<br />
a) A3|2 ; B5|6<br />
b) C7| 2;D1|3 <br />
Gemeinsames Achsenkreuz.<br />
c) E2| 3 ; F8| 1<br />
d) P3 1 |5;Q 2| 1<br />
3<br />
3<br />
e) R 7 | ; S 4 | 5<br />
4 2 3<br />
Gemeinsames Achsenkreuz<br />
13<br />
f) P1| ; Q 16 | 1<br />
5<br />
7<br />
y<br />
x4<br />
7<br />
<br />
5<br />
3 34<br />
7 3<br />
g) R | ; S | <br />
5 15<br />
15<br />
h) 2 5<br />
<br />
4 3 6<br />
y<br />
x<br />
2 8<br />
<br />
4 2<br />
3 3<br />
5 5<br />
T8| ; U | y<br />
x<br />
8 4<br />
Gemeinsames Achsenkreuz<br />
1 14<br />
y<br />
x<br />
i) V 3 | 53 ; W3|<br />
31 <br />
2 12 6<br />
6 3