Hydrodynamik

Hydrodynamik 

VU 815.300 

Willibald Loiskandl 

Reinhard Nolz 

Andreas Schwen 

W. Loiskandl 

Version 2011

Aufbau der Vorlesung und Unterlagen 

• Studienblätter 

Zusatzblätter in der Vorlesung 

Übungen: EXCEL Arbeitsblätter (Basic for application) 

• Wasserbaulabor ? 

Prüfung: � Abschlusstest und Belegaufgaben! 

Sprechstunden: Montag 15:30 - 17 Uhr; Muthgasse 18, Haus B, 4 Stock 

oder im Anschluss an die Vorlesung

Hydraulik und Hydromechanik 815.100 VU 

T 

E 

I 

L 

I 

T 

E 

I 

L 

II 

GRUNDLAGEN 

HYDROSTATIK 

HYDRODYNAMIK 

Kontinuität 

Bernouille 

Impuls 

ROHRHYDRAULIK 

GERINNEHYDRAULIK 

WEHRHYDRAULIK 

GEOHYDRAULIK

Hydrodynamik 815.300 VU 

Ziel der Lehrveranstaltung 

Vertiefung des Fachgebietes Hydraulik. Im speziellen sollen die mathematischen 

Beschreibungen der physikalischen Strömungsvorgänge. 

Die detaillierte Behandlung von Modellkonzepten 

� Verständnis und fachkundige Anwendung 

Inhalt der Lehrveranstaltung 

Aufbauend auf Hydraulik I. 

Inhalt: - kontinuummechanischen Behandlung der Flüssigkeitsströmung 

- hydraulisches Modellwesen und Dimensionsanalyse. 

- Abfluss in offenen Gerinnen. Erweiterung der Grundlagen, z. B. die Einbeziehung 

von Bewuchs im Vorland. 

- Instationäre Abflussvorgang Gerinne (de Saint Venant). Numerische 

Lösungsansätze werden ausgehend von einfachen Modellkonzepten bis hin zu 

Umsetzung in Berechnungsschemata durchgearbeitet. 

- Instationäre Rohrströmung - Druckstoßberechnung. 

- Spezielle Fragestellungen von Bauwerken in Gerinnen (z.B. Retentionsbecken).


GRUNDLAGEN 

HYDRAULISCHE MODELLE 

ABFLUSS IN OFFENEN GERINNEN 

DRUCKSTOSS 

RETENTIONSMASSNAHMEN 

SPEZIELLE PROBLEME 

LITERATUR


816.309 Computerunterstützte Gewässermodellierung HABERSACK 

816.317 Feststoffhaushalt und Flussmorphologie HABERSACK 

816.318 Monitoring im Flussbau HABERSACK 

816.315 Wasserbauliches Modellversuchswesen JUGOVIC 

816.305 Seminar Oberflächenhydrologie HOLZMANN 

811.310 Modelling in Sanitary Engineering (in Eng.) ERTL, 

TELEGDY, LANGERGRABER


• Materielle oder substantielle Beschleunigung 

• Bewegungsgleichung 

• Laminar – turbulent 

• Strömen – Schießen 

• Grundgesetze 

Kontinuität 

Energiegleichung 

Impuls


dv ∂ v 

= + ( v∇) v 

dt ∂ t 

substantielle Beschleunigung = lokale + konvektive Beschleunigung 

Eulersche und NAVIER-STOKES´sche Bewegungsgleichung 

∂ v 

1 

+ ( v∇ ) v= K − grad p 

∂ t 

ρ 

laminar �� turbulent 

+ Z


substantielle Beschleunigung = lokale + konvektive Beschleunigung 

Strömungsfall 

Gleichförmig und stationär 

Gleichförmig und instationär 

Ungleichförmig und stationär 

Ungleichförmig und instationär 

Beschleunigung 

total lokal konvektiv 

= 0 

0 0 0 

0 0 

0 0 

0 0 

∂ v 

∂ t 

lokale Beschleunigung, zeitliche Änderung von v an einem bestimmten Ort 

(v∇)v konvektive Beschleunigung (infolge Ortsänderung eines Teilchens)

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

μ 

= 

τ 

= 

τ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

μ 

= 

σ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

μ 

= 

τ 

= 

τ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

μ 

= 

σ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

μ 

= 

τ 

= 

τ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

μ 

= 

σ 

z 

v 

x 

v 

x 

v 

y 

v 

z 

v 

x 

v 

y 

v 

x 

v 

x 

v 

x 

z 

xz 

zx 

z 

z 

z 

y 

zy 

yz 

y 

y 

x 

y 

yx 

xy 

x 

x 

2 

2 

2 

Viskoser Spannungstensor 

Der erste Index gibt die Richtung der 

Flächennormalen an, der zweite die 

Richtung der Spannung. 

Innere Reibung 

Newton‘sches Zähigkeitsgesetz 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

σ 

τ 

τ 

τ 

σ 

τ 

τ 

τ 

σ 

z 

zy 

zx 

yz 

y 

yx 

xz 

xy 

x 

, 

, 

, 

, 

, 

, 

+ 

Reynoldsspannungstensor 

turbulente Strömung 

Normalspannungen Tangentialspannungen 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

2 

z 

______ 

y 

z 

_________ 

x 

z 

_________ 

z 

y 

_________ 

2 

y 

______ 

x 

y 

_________ 

z 

x 

_________ 

y 

x 

_________ 

2 

x 

______ 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

z 

x 

_________ 

2 

z 

______ 

z 

y 

_________ 

2 

x 

______ 

y 

x 

_________ 

2 

x 

______ 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

ρ 

− 

ρ 

− 

ρ 

− 

ρ 

− 

ρ 

− 

ρ 

− 

Scheinbare, 

turbulente Spannungen 

NAVIER-STOKES´sche Bewegungsgleichung, Spannungszustand 

Hydraulik und Hydromechanik 815.100 VU


Voraussetzungen: 

• inkompressibles Strömungsmedium 

• die Druckverteilung längs einer beliebigen Vertikalen ist 

hydrostatisch (Stromfadenkrümmung ist vernachlässigbar) 

• über einen Querschnitt ist die Geschwindigkeit konstant. 

• kleine Wasserspiegelneigung, sin α = tan α = dh/dx 

Kontinuitätsbedingung: 

Bewegungsgleichung: 

Saint Venant Gleichungen (1871) 

∂A 

∂Q 

+ 

∂t 

∂x 

= 

0 

2 

∂Q 

∂ ⎛ Q ⎞ ⎛ ∂h 

+ + gA⎜ 

− I 

t x ⎜ 

⎜β 

A ⎟ 

∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ∂x 

∂v 

∂t 

∂v 

⎛ ∂h 

+ g⎜ 

+ I 

∂x 

⎝ ∂x 

s 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ + gI 

⎠ 

+ v 

s E 

+ 

gAI 

Beschleunigungs-, Trägheits-, Schwerkraft-, Reibungsglied 

= 

0 

E 

= 

0 

∂A 

dt 

∂t 

∂Q 

Q + dx 

∂x

Hydraulik und Hydromechanik; Gerinnehydraulik 

Definition der verwendeten Variablen: 

Stationär gleichförmiger Abfluss: 

Die Wassertiefe ist konstant (Zeit und Ort). 

Stationär ungleichförmiger Abfluss: 

Die Wassertiefe ändert sich mit dem Ort (nicht mit der Zeit) 

Leicht ungleichförmige Strömung 

• Änderung der Wasserspiegellage - relativ langer Fließstrecke 

(vorwiegend Wand- und Sohlenwiderstand) 

• Beschleunigungseffekte vernachlässigbar 

• Reibungsverluste ausschlaggebend 

stark ungleichförmige Strömung 

• Änderung der Wasserspiegellage - relativ kurzer Fließstrecke 

(vorwiegend Beschleunigungen oder Verzögerungen) 

• Energieverluste pauschal berücksichtigt 

Instationär ungleichförmiger Abfluss: 

Die Wassertiefe ändert sich mit dem Ort und der Zeit.

Gerinnehydraulik 

Fließformeln I E =I W (I p ) = I 0


Fließformeln 

F sinθ = A dl ρ g sinθ 

G 

I = h / l = sinθ 

E v 

θ


Fließformeln 

1 

⎛ k C ⎞ 

=− C1 

log + 

λ λ 

S 

3 

⎜ ⎟ 

⎝C2R 4Re ⎠ 

2 

v 

1 

I = λ ⇒ v = 2 g 4 RI 

2 g 4 R 

λ 

“universelle Fließformel” 

⎛ ksC ⎞ 3 

v =− C1log ⎜ + ⎟ 2 2 g RI 

⎝C 2 R 4Re λ ⎠ 

C1 C2 C3 2.0 

14.83 

2.52


Leicht ungleichförmiger Abfluss 

Stationäre Bewegung Q = const.


Leicht ungleichförmiger Abfluss 

Energiehorizont 

2 2 2 

v v ⎛ v ⎞ 

Io dx + h + = h + dh + + d IE dx 

2g 2g ⎜ + 

2g 

⎟ 

⎝ ⎠


Stark ungleichförmiger Abfluss 

Würzburg 

Main 

•Wehre 

• Wechselsprung 

• plötzliche Änderungen 

Keine hydrostatische Druckverteilung 

� v m nicht mehr gültig

Wasserbauliches Modellversuchswesen 

• Modellieren 

– Problem aus der Natur im Modell reproduzieren 

• Kalibrieren 

– Anpassen des Modells an die Natur mit in der Natur 

gemessenen Daten. 

• Verifizieren 

– Modell testen mit in der Natur gemessenen Daten, die jedoch 

noch nicht zur Kalibrierung verwendet wurden 

• Interpretieren


Modell 

Problem 

Modellierung 

Fragestellung 

PROTOTYP 

Lösung 

Keine direkte Lösung möglich 

Umweg über Modell 

X 

Modell 

Ergebnis 

Interpretation 

Ergebnis 

PROTOTYP

Wasserbauliches Modellversuchswesen


Warum Modellversuche? 

● Überprüfung und Korrektur von Berechnungsformeln z.B. Überprüfung von 

Rauhigkeitsbeiwerten 

● Untersuchung von mehrdimensionalen Vorgängen, die schwer theoretisch 

fassbar sind. 

● Optimierung von Bauwerken für die Grossausführung


Arten von Modellen 

● Mathematische Modelle 

– Wenn Problemstellung mathematisch genügend beschrieben werden kann 

– z.B. HW-Abflussmodellierung 1D, 2D 

● Physikalische Modelle 

– Physikalische Modelle aus der Natur können genügend genau in verkleinertem 

Maßstab nachgebildet werden. 

– z.B. Hydraulischer Modellversuch


Modellverzerrungen 

• Höhenverzerrungen 

• Gefälleverzerrungen 

• Froudeverzerrungen durch unterschiedliche Abflüsse in Modell und Natur 

• Verzerrungen des Korndurchmessers 

• Verzerrungen der relativen Dichte


Modellarten bzgl. der Länge 

• Kurze Modelle: 

Reibungskräfte sind gegenüber Schwerund 

Trägheitskräften vernachlässigbar 

klein. 

Wasserspiegellängsgefälle von 

untergeordneter Bedeutung 

Hier gilt das Froudsche Ähnlichkeitsgesetz 

Strömungsvorgang Funktion von: Fr, 

Geometrie


Modellarten bzgl. der Länge 

• Lange Modelle: 

Reibungskräfte sind nicht mehr 

vernachlässigbar. 

Bei gleichem Fluid in Natur und Modell 

kann man nicht Fr und Re konstant halten 

Froudsches Ähnlichkeitsgesetz maßgeblich 

für die Ähnlichkeit. 

Strömungsvorgang Funktion von: Fr, Re, 

Ie, k/R,Geometrie


Modell mit starrer Sohle


Modell mit beweglicher Sohle


Beginn des Feststofftransportes (Shields) 

Der Einfluss des Korns verschwindet für Re * = 200 bis 500 ! 

Beziehung zwischen 

Fr * =1 und Re * =1


Beispiel: Sportboothafen Spitz


Beispiel Sportboothafen Spitz








Maßstab = Prototyp/Modell >1 

Maßstabsgesetz (Scale law) Maßstabsbedingung (Scale condition) 

z.B. “Reynold’sches Ähnlichkeitsgesetz 

n 

Re 

= 

Re 

Re 

p 

m 

= 

v 

p 

ν 

D 

p 

p 

ν m 

v D 

m 

m 

= 

n 

v 

n 

n 

ν 

L 

= 1


n 

Maßstab = Prototyp/Modell >1 

H 

= 

H 

H 

p 

m 

= 

h 

h 

p 

m 

+ 

+ 

hg 

hg 

p 

m 

= 

n 

h 

1+ 

+ 

hg 

hg 

m 

p 

h 

h 

m 

m 

= 

n 

h 

+ 

1+ 

Bernoulli H = h + 

n 

hg 

hg 

( hg h ) 

m 

m 

h 

m 

m 

2 

v 

� 

hg 

2g 

��

Dimensionsanalyse 

Grundeinheiten in der Hydraulik ist r 3 (Länge, Masse, Zeit) 

( a, 

b, 

c, 

) 0 

f … = 

( π , π , π , …) 

= 0 

Potenzregeln: 

F 1 2 3 

π 1 

π2 usw. 

x y z v 

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 

x1 y1 z1 

= a b c 

x2 y2 z2 

= a b c 

π = A B C N = 1 

π 

2 

= a a a a = a 

x y z 1 x+ y+ z+ 

1 

und 

( x+ y+ z+ 

1) 

a = 1 

wenn x + y + z + 1= 0 ist.

Dimensionsanalyse 

Dimensionslose Produkte 

Froude Zahl 

Reynolds Zahl 

Euler Zahl 

Weber Zahl 

Strouhal Zahl 

Kavitations Zahl 

Cauchy-Mach'sche Zahl 

v 

Fr = 

gL 

ρvL 

vL 

Re = = 

μ ν 

v v 

Eu = 

Pa gL 

pv : Dampfdruck 

ρ 2 2 

, 

vL 

We = ρ 2 

6 

L L 

St = 

v vT 

ω , 

P − P 

Ca = v 

ρv 2 

v 

Ma = 

E ρ 

2 

Trägheit 

Gravitation 

Trägheit 

Reibungskräfte 

Trägheit 

Druckkraft 

Trägheit 

Kapillarkräfte 

Oszillation 

Mittlere Geschwindigkeit 

Druckkraft 

Trägheit 

Trägheit 

elast . Formänderungskräfte

Fehlerfortpflanzung 

Mittelwert 

Standardabweichung 

Messreihe 

∂X 

Fehler aus Messwerten 

Summe 

σ 

x 

= 

x 

σ i 

= 

= 

1 

n 

n 

∑ xi 

i= 

1 

∑ fi 

2 

n 

∑ 

− 1 

= 

f 

∂ X i n( 

n 1) 

2 

i 

σ = 

− 

2 2 

( a σ ) + ( a σ ) + 

1 

1 

2 

x i Messwert 

N Anzahl der Messungen 

2 2 

⎛ ∂ X ⎞ ⎛ ∂ X ⎞ 

σx= ⎜ σ1⎟ + ⎜ σ2⎟ 

+ … 

⎝∂ X1 ⎠ ⎝∂ X2 

⎠ 

2 

Produkt 

σ 

X 

= 

X 

⎛ σ 

⎜ 

⎜p1 

⎝ x 

1 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

⎛ σ 

+ ⎜ 

⎜p 

2 

⎝ x 

2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

+

Fehlerfortpflanzung 

σ 

x 

x= 

x 

cv 

h 

= 

⎛ ∂x 

⎜ 

⎝ ∂x 

X = aX X 

∂X 

∂X 

∂X 

∂X 

σ 

r 

= 

= 

= 

1 

1 5/2 

cv h 

σ 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

⎛ ∂x 

+ ⎜ 

⎝ ∂x 

2 

σ 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

cv 

2 

+ … 

∂X 

= σ = 

∂X n n− 

2 

∑ fi 

r = 

[ 100% ] 

( 1 

x 

) 

σ

Kontinuumskonzept 

Molekülebene ⇒ große Komplexität ⇒ großer Aufwand 

Δm 

ρ= lim 

= 

ΔV 

ΔV→0 

dm 

dV


Geschwindigkeit 

N 

1 

u = ui N 

∑ 

i= 

1 

cos Θ1 

1) Molekülbewegung - kleinster makroskopischer Maßstab 

Fläche und Zeitintervall genügend groß zur Mittelbildung 

⇒ Fluidgeschwindigkeit 

2) Vergrößerung des makroskopischen Maßstabes (Turbulenz ). 

uu ≠ u u 

i j i j 

= uu+ uu ′′ ( + 

weitere Glieder) 

i j i j


3) Mittelwertbildung über die Tiefe 

makroskopische Variable: 

- Dichte 

- Geschwindigkeit 

4) Mittelwertbildung über den Fließquerschnitt 

-Druck 

-Temperatur 

- Viskosität 

- Entropie 

- Diffusion usw.


Advektion �� Diffusion 

t t + Δt 

u Δt 

Advektion 

Diffusion 

x


Kontinuität oder Transportgleichung 

EIN –AUS = ΔS 

∂A 

∂t 

c = c(x,t) 

∂c 

∂t 

∂Q 

+ =0 

∂x 

+ 

u 

∂c 

∂x 

= 

0

Kontinuumskonzept


F = m a 

s 

s 

∫Fds = m∫ads 

= 

s 

2 

∫ 

s 

1 

2 

1 

F ds = 

s 

s 

2 

1 

1 

m 

2 

( 2 2 ) v − v 

2 

1 

t 

t 

∫Fdt = m∫adt 

= m 

t 

2 

∫ 

t 

1 

2 

1 

F dt = 

t 

t 

2 

1 

( v − v ) 

2 

1

Abfluss in offenen Gerinnen





Abfluss in offenen Gerinnen 

Profilkennwerte 

Profil 1 

h 

U (h) 

Profil 2 

A (h) 

R (h) 

Profil n


Einteilige Abflussprofile 

Kompaktes Profil 

Breites Profil 

⎛ h 1 ⎞ 

⎜ < , Rh →h⎟ 

⎝B30 ⎠


Mehrteilige Abflussprofile 

A s ´ A = A s ´+ A s


Unterschiedliche Querschnittsrauhigkeiten 

Einstein und Horton äquivalenter Rauhigkeitsbeiwert 

Querschnittfläche in n-Teile geteilt Ui und kSTi Teilflächen gleiche mittlere Geschwindigkeit 

k 

⎛ ⎞ 

⎜ U ⎟ 

= ⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

STä n 

3/2 

⎜∑⎡Ui k ⎤ ST i ⎟ 

⎝ 

⎣ ⎦ 

i= 

1 

⎠ 

λ = ∑ 

a 

( λ U ) 

U 

i i 

23



Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 

Q = k A R I + k A R I + k A R I 

2/3 1/2 2/3 1/2 2/3 1/2 

ST vl vl vl STs s s ST vr vr vr



Bewuchs in Vorländer (DVWK-Merkblatt; Entwurf 1990) 

Allgemeine Wasserwirtschaft 

Hydrodynamik



Spiegelliniengleichung für kompakte, prismatisch angenommene Gewässer 

Δx 

h = h −( z − z ) + β ( h − h ) + ( I + I ) + h 

2 

i+ 1 i i i−1 k, j k, j− 1 E, j+ 1 E, j v, örtl. 

h 

k 

2 

v 

= 

2g 

2 2 

Q Q 

I E = oder 

2 2 

K A (1/ λ)8 

gR 

Einzelnen Größen der Energiehöhe für die gegliederten Querschnitte mit den 

Teilquerschnitten i die Wassertiefe für die Stationierung j+1 

⎡ ⎤ 

n n 

3 3 

v 2 2 

j, iAj, i vj 1, iA − − 

⎢∑ ∑ + j+ 1, i⎥ 2 ⎡ n n 

R 1 1 

ji , R 

⎤ 

i= i= 

Q Δx ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

j+ 1, i 

i+ 1 = i −( i − i− 1 ) + β ⎢ − ⎥+ ⎢⎜ ji , ⎟ + ⎜ j+ 1, i⎟ ⎥+ 

vörtl , . 

2gQ 2gQ 16g⎜∑ 

i= 1 λ ⎟ ⎜∑ ⎢ ji , i= 

1 λ ⎟ 

j+ 1, i ⎥ 

h h z z 

⎢ 

⎢⎣ ⎥ 

⎥⎦ 

⎣⎝ A 

⎠ ⎝ 

A 

⎠ ⎦ 

h 

Geschwindigkeitshöhe nach Naudascher 

n 

∑ 

h Q 

1 

h v A 

ki , i n 

i= 

1 

3 

k = = ∑ i i 

Q 2gQ 

i= 

1


Annahmen: 

Energiegefälle in allen Teilquerschnitten gleich ist. 

Der ß-Wert berücksichtigt eventuelle Verluste in Erweiterungen oder Verengungen und ist bei 

v j ≥ v j+1 mit β= 1 und 

v j < v j+1 mit β= 2/3 für allmähliche Aufweitungen kleiner als 1:7 anzusetzen. 

Plötzlichen Erweiterungen über örtliche Verluste zu berücksichtigen (z.B. Bordasche 

Verlusthöhengleichung). 

� Arbeitsgleichung für Wasserspiegelverlauf für gegliederte Profile 

⎡ 

⎢ 

⎤ 

⎥ 

h h z z ⎣ ( h ) ( h ) ⎦ 

2g 3/2 

n ⎛R⎞ i ∑ Ai 

⎜ 

i 1 λ 

⎟ 

= i 

α( 

h) 

= 

⎝ ⎠ 

1/2 

3 

⎡ n ⎛R⎞ ⎤ 

i ⎢∑Ai⎜ i 1 λ 

⎟ ⎥ 

⎢ = ⎣ ⎝ i ⎠ ⎥⎦ 

16g 

⎢⎛ ⎢⎜∑Aji , 

⎢⎣⎝ i= 1 

⎞ 

Rji , / λji , ⎟ 

⎠ 

⎛ 

⎜∑Aj+ 1, i 

⎝ i= 

1 

⎞ 

Rj+ 

1, i/ λj+ 

1, i ⎟ 

⎠ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

h 

2 2 

Q Q Δx 1 1 

i+ 1 = i −( i − i− 1) + β ⎡α j − α j+ 1 ⎤ + ⎢ + ⎥+ 

2 2 vörtl , . 

n n

Instationärer Abfluss in offenen Gerinnen 

Aus „Turbulence in Open-Channel Flows; Royal Library Windsor -Castle”


• Natürliche Prozesse finden im dreidimensionalen Raum statt 

• mehrdimensionale Betrachtung zwar logisch, aber nicht immer möglich und 

zweckmäßig. 

• Fliessgewässer sind dadurch gekennzeichnet, dass die geometrischen Skalen 

über den Fliessquerschnitt meist erheblich kleiner sind als in Fliessrichtung 

• Maßstabsdefinition: direkte Repräsentation der Turbulenz, 

LES (large eddy Simulation) 

oder genügt es die Reibung auf die Sohle zu beziehen? 

• Die mathematischen Beschreibung des Strömungsvorganges liefert den 

Abbildungsgrad der Natur in Form einer 1-, 2- oder 3-D Betrachtung. 

• Übersicht der mathematischen Ansätze für die Fliessgewässermodellierung. 

• Inkompressible Strömungen


Turbulente Strömung im Fliessgewässer


Schritte der Modellentwicklung 

?

∂ 

∂x 


NAVIER-STOKES´sche Bewegungsgleichung 

Impulsbilanz 

∂v 

∂t 

∂v 

x 

y 

∂t 

∂v 

∂t 

∂v 

y 

+ 

∂y 

z 

+ v 

+ v 

x 

x 

∂v 

∂x 

∂v 

x 

y 

∂x 

+ v 

+ v 

Kontinuitätsgleichung 

Massenerhaltung 

y 

y 

∂vx 

+ v 

∂y 

∂v 

y 

∂y 

+ v 

z 

z 

∂v 

∂z 

∂v 

x 

y 

∂z 

2 

1 ∂p 

⎛ ∂ v 

= X − + ν ⎜ 

ρ∂x 

⎝ ∂x 

2 

1 ∂p 

⎛ ∂ v 

= Y − + ν⎜ 

ρ∂y 

⎜ 

⎝ ∂x 

x 

2 

y 

2 

2 

∂ v 

+ 

∂y 

2 

∂ v 

+ 

∂y 

x 

2 

y 

2 

2 

∂ v ⎞ x + ⎟ 2 

∂z 

⎠ 

2 

∂ v 

+ 2 

∂z 

2 2 2 

∂v 

⎛ 

⎞ 

z ∂vz 

∂vz 

1 ∂p 

∂ vz 

∂ vz 

∂ vz 

+ v 

⎜ 

⎟ 

x + vy 

+ vz 

= Z − + ν + + 

2 2 2 

∂x 

∂y 

∂z 

�� 

� � 

ρ ∂z 

�⎝ 

∂x 

∂y 

∂z 

��⎠ ∂v 

+ 

∂z 

v x 

z 

Advektion Kraft Druck Zähigkeit 

= 

div 

4 Gleichungen - 4 Unbekannte v x , v y , v z , p 

� 

v 

= 

0 

Kraftwirkung viskoser Spannungen 

∂σ 

∂x 

x 

+ 

∂τ 

xy 

∂y 

y 

∂τ 

+ 

∂z 

xz 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ 2 

⎜ 

∂ v 

= μ 

⎜ 2 

⎝ ∂x 

KRAFT: K(X,Y,Z) 

Schwerkraft 

Corioliskraft 

Windeinfluss 

x 

+ 

∂ 

2 

v 

∂y 

y 

2 

ν 

2 

∂ v 

+ 2 

∂z 

= 

z 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

μ 

ρ

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

μ 

= 

τ 

= 

τ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

μ 

= 

σ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

μ 

= 

τ 

= 

τ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

μ 

= 

σ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

μ 

= 

τ 

= 

τ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

μ 

= 

σ 

z 

v 

x 

v 

x 

v 

y 

v 

z 

v 

x 

v 

y 

v 

x 

v 

x 

v 

x 

z 

xz 

zx 

z 

z 

z 

y 

zy 

yz 

y 

y 

x 

y 

yx 

xy 

x 

x 

2 

2 

2 

Viskoser Spannungstensor 

Der erste Index gibt die Richtung der Flächennormalen an, der 

zweite die Richtung der Spannung. 

Innere Reibung 

Newton‘sches Zähigkeitsgesetz 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

σ 

τ 

τ 

τ 

σ 

τ 

τ 

τ 

σ 

z 

zy 

zx 

yz 

y 

yx 

xz 

xy 

x 

, 

, 

, 

, 

, 

, 

+ 

Reynoldsspannungstensor 

tubulente Strömung 

Normalspannungen Tangentialspannungen 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

2 

z 

______ 

y 

z 

_________ 

x 

z 

_________ 

z 

y 

_________ 

2 

y 

______ 

x 

y 

_________ 

z 

x 

_________ 

y 

x 

_________ 

2 

x 

______ 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

z 

x 

_________ 

2 

z 

______ 

z 

y 

_________ 

2 

x 

______ 

y 

x 

_________ 

2 

x 

______ 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

' 

v 

ρ 

− 

ρ 

− 

ρ 

− 

ρ 

− 

ρ 

− 

ρ 

− 

Scheinbare 

turbulente Spannungen 

Spannungszustand 

Instationärer Abfluss in offenen Gerinnen


Turbulente Rohrströmung 

Stromleiter 

Wasserstoffblasen 

Rohr


Vollständiges Gleichungssystem 

Bewegungsgleichung 

Randbedingung 

freie Oberfläche 

Freie Oberfläche 

Teil der Lösung 

Bewegung durch zeitliche Änderung 

der geodätischen Höhe bestimmt 

� 

� � 

dv 1 � 

∂v ∂v 

x y ∂vz 

� 

= K − gradp 

+ νΔv 

Kontinuität + + = div v = 0 

dt ρ 

∂x 

∂y 

∂z 

∂ξ � ∂ξ � 

v z = + v v 

s 

x + s 

ys 

∂t 

∂x 

� 

p n 

Untere Berandung 

Stoke‘sche Wandhaftung 

v B = 0 starre Sohle 

v s = v 1) bewegliche Sohle 

1) v der Wasserschicht über Boden 

s 

s 

� � 

− n P = p n 

s 

a 

s 

Dynamische 

Randbedingung 

∂ξ 

∂y 

2 ⎛ ∂ ξ � 

− σ ⎜ + v 2 

⎝ ∂x 

xs 

2 

∂ ξ ⎞ ρ 

v + 2 

y ⎟ 

∂ ⎠ ρ 

kinematisch und dynamisch 

A 

C 

D 

( z) 

Untere Berandung 

� � � � 

( v ( z) 

− v )( v ( z) 

− v ) 

A 

z 

s 

A 

Freie Oberfläche 

z 

s 

Dynamische 

Randbedingung


Anmerkungen zur Turbulenz 

• Turbulenz - räumlich und zeitlich irregular 

rotationsbehaftet 

keine eigenständige Bewegungsform 

keine Materialeigenschaft 

• μ t (x,t) > μ 

• Energiekaskade - Energiedissipation von großen zu kleinen Wirbel, 

die schließlich aufgelöst werden. 

• Aufgabe der Turbulenzmodellierung: Ansätze für die turbulente Viskosität 

zu finden: 

• direkte Simulation 

• LES (Large Eddy Simulation) 

kleine Wirbel vernachlässigt, Effekte in sub-grid Model berücksichtigt 

(kleine Wirbel isotrop), Diskretisierung bestimmt Turbulenzauflösung 

Diskretisierung fein genug um anisotrope Wirbelstrukturen darzustellen 

• Reynoldsmittelung (Statistische Turbulenzmodellierung) 

Mischungswegmodell k-ε Modell


Statistische Turbulenzmodellierung 

Mittelung der Navier-Stokes-Gleichungen Reynoldsgleichungen 

v i = v i + v i ‘ 

p = p + p‘ 

ρ = ρ + ρ‘ , wenn Dichte nicht konstant 

Mittelwert + Fluktuation 

• Reynoldsgleichungen enthalten mehr Unbekannte als Gleichungen 

• stochastische Modellierung 

• Wirbelviskosität 

• Bestimmung der turbulenten Viskosität 

⎛ 

⎜ 

∂v 

⎜ 

⎝ ∂ x 

“Wenn ich in den Himmel komme sollte”, sagte im Jahre 1932 Horace Lamb, „erhoffe 

ich Aufklärung über zwei Dinge: Quantenelektrodynamik und Turbulenz. Was den 

ersteren Wunsch betrifft bin ich ziemlich zuversichtlich.” (Vogel 1995). 

τ 

ij 

= 

− ρ 

_________ 

v ' 

i 

v ' 

j 

= 

ρν 

t 

zeitliche Mittelung 

i 

j 

+ 

∂v 

∂x 

j 

i 

⎞ 

⎟ 

⎠

) 

z 

( 

g 

p 

p 

z 

y 

x 

1 

y 

p 

1 

Y 

z 

v 

v 

y 

v 

v 

x 

v 

v 

t 

v 

z 

y 

x 

1 

x 

p 

1 

X 

z 

v 

v 

y 

v 

v 

x 

v 

v 

t 

v 

0 

z 

v 

y 

v 

x 

v 

o 

yz 

y 

yx 

y 

z 

y 

y 

y 

x 

y 

xz 

xy 

x 

x 

z 

x 

y 

x 

x 

x 

z 

y 

x 

+ 

ξ 

ρ 

+ 

= 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

τ 

∂ 

+ 

∂ 

σ 

∂ 

+ 

∂ 

τ 

∂ 

ρ 

+ 

∂ 

∂ 

ρ 

− 

= 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

τ 

∂ 

+ 

∂ 

τ 

∂ 

+ 

∂ 

σ 

∂ 

ρ 

+ 

∂ 

∂ 

ρ 

− 

= 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

= 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

Vertikale Schubspannungen vernachlässigbaren Einfluss auf 

horizontale Geschwindigkeit 

3 Gleichungen - 3 Unbekannte 

Spannungstensor und Randbedingungen vereinfacht 

Flachwasserapproximation 



2D - tiefengemittelte, hydrodynamische Gleichungen 

∂v 

x ∂v 

x ∂v 

x ∂ξ τ bx 1 ⎡ ∂ ∂ ⎤ 

+ v x + v y + g + − 

xx 

xy = 

∂t 

∂x 

∂y 

∂x 

ρh 

ρh 

⎢ 

x y 

⎥ 

⎣ ∂ ∂ ⎦ 

∂v 

∂t 

y 

+ 

v 

x 

∂v 

y 

∂x 

+ 

v 

y 

∂v 

y 

∂y 

( hv ) ( ) x hvy 

0 

∂ξ ∂ ∂ 

+ + = 

∂t ∂ x ∂ y 

∂ξ τ by 

+ g + − 

∂x 

ρh 

1 

ρh 

⎡ ∂ 

⎢ 

⎣ ∂x 

( hτ 

) + ( hτ 

) 0 

∂ ⎤ 

( hτ 

) + ( hτ 

) = 0 

xy 

∂y 

yy 

⎥ 

⎦ 

vx Geschwindigkeit in x-Richtung 

vy Geschwindigkeit in y-Richtung 

ξ Wasserspiegellage ξ = zb + h 

zb Lage der Sohlen 

h Wassertiefe 

τbi Sohlenschubspannung 

τii Schubspannung 

= über die Tiefe gemittelte Werte 

Die 3 Gleichungen beinhalten die 3 Unbekannten u,v, ξ.


Sohlschubspannung 

Effektive Schubspannung nach Oking (1985) 

(Schubspannung in x-Richtung) 

⎛∂v∂v⎞ x y 

τxy = ρνt⎜ 

+ ⎟ 

⎜ ∂ y ∂ x ⎟ 

⎝ ⎠ 

Dynamische Austauschgröße υ t beinhaltet 

Zähigkeits-, Turbulenz- und Streuungs-(Dispersions-) Komponenten. 

Wird vorerst zur Betrachtung der Schubspannung 

- gleichförmiger Abfluss 

- kompaktes Profil 

angenommen so vereinfacht sich die Bewegungsgleichung in x-Richtung 

Für h = const. folgt die Sohlschubspannung 

∂ξ τbx 1 ∂ 

g + − ( hτxy 

) = 0 

∂ x ρh ρh ∂ y 

∂ 

τ = ρghI + h τ 

∂ y 

( ) 

bx o xy



Geschwindigkeitsverteilung im Querprofil


Voraussetzungen: 

• inkompressibles Strömungsmedium 

• die Druckverteilung längs einer beliebigen Vertikalen ist 

hydrostatisch (Stromfadenkrümmung ist vernachlässigbar) 

• über einen Querschnitt ist die Geschwindigkeit konstant. 

• kleine Wasserspiegelneigung, sin α = tan α = dh/dx 


Saint Venant 

Gleichungen (1871) 


∂ A ∂ Q 

+ = 

∂t ∂ x 

0 

2 

∂Q 

∂ ⎛ Q ⎞ ⎛ ∂h 

+ + gA⎜ 

− I 

t x ⎜ 

⎜β 

A ⎟ 

∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ∂x 

∂v ∂v ⎛∂h ⎞ 

+ v + g⎜ + Is⎟+ g IE 

= 

∂t ∂ x ⎝∂ x ⎠ 

s 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

+ 

gAI 

Beschleunigungs-, Trägheits-, Schwerkraft-, Reibungsglied 

0 

E 

= 

0 

∂A 

dt 

∂t 

∂Q 

Q + dx 

∂x


Weitere Strömungsmodelle 



∂A 

∂Q 

+ 

∂t 

∂x 

= 

0 

X 

2 

∂Q 

∂ 

X 

⎛ Q ⎞ 

X 

⎛ ∂h 

⎞ 

+ + gA⎜ 

− Is 

⎟ 

t x ⎜ 

⎜β 

A ⎟ 

∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ∂x 

⎠ 

Vollständige dynamische Welle 

Quasi stationäre Welle, 

Näherung dynamische Welle 

Diffusive Welle 

kinematische Welle 

Q 

Stationär gleichförmiger Abfluss 

= 

f ( h) 

⇒ 

+ 

∂h 

∂t 

gAI 

E 

+ c 

* 

= 0 

∂h 

∂x 

− I + I = 0 

s E 

oder IE = 

2 

Q 

2 mit K = ksT 23 

R A 

K 

= 

0 

mit 

23 12 

fol g t Q = ksT R I A 

c 

* 

= 

dQ 

dh 

/ B


DNS 

Direct numerical Simulation 

LES 

(Large-eddy Simulation) 

RANS 

Reynolds averaged NS 

3D hydrostatische Simulation 

Tiefenintegriert 

2-D Simulation 

Querschnittsintegrierte 1-D 

Simulation 

Raumdimensionen 

Differentialgleichungen 

3 4 1 mm 

3 4 1 cm 

3 4 1 dm 

3 3 1 m 

2 3 10 m 

1 2 100 m 

Auflösung Anwendung 

Feinstrukturen der Turbulenz, kohärente Strukturen, 

Stark idealisiert, kleine Re-Zahlen, Massstabspektrum eng 

Grossskalige Turbulenzbewegung, 

kohärente Strukturen 

k-ε Modelle 

Statististischer Turbulenzmodellierung 

Flachwasserapproximation. Küstengewässer 

Fliessgewässermodellierung, Morphologie, gegliederte 

Querschnitte 

Klassische instationäre Fliessgewässermodellierung 

Saint Venant 

Nach Malcherek und Nezu & Nakagawa


• Grundlagen schon wesentlich älter als Simulationskonzepte 

• Historisch führte der Weg von der allgemeinen 3-D Formulierung 

zu Saint-Venant 

• 1-D instationäre Simulationsmodelle sehr gut eingeführt 

• Moderne Rechentechnologie erlaubt die Lösung immer 

komplexerer Aufgaben --> 3-D Turbulenzmodellierung 

• Praktiker so komplex als notwendig und so einfach als möglich 

• Mathematische Grundlagen essentiell für Modellverständnis

Methode der finiten Differenzen 

Schnitt t-h Ebene 

Schnitt x-h Ebene

Methode der finiten Differenzen 

Projektion in x-t Ebene Schnitt x-h Ebene 

Δ t Δ t 

n-1 n n+1 

t 

x

Methode der finiten Differenzen

Lösungsansätze der 1-D Instationären Grundgleichungen 

Schwere Welle 

12 

Wellengeschwindigkeit w v ( gh) 

oder 

1 

= + w = v−( gh) 

FROUDE-Zahlen Fr < 1 strömender Abfluss (Störung stromaufwärts) 

Fr > 1 schießender Abfluss (Störung in Fließrichtung). 

Reibungskräfte vernachlässigt � Wasserwelle, die keinerlei Dämpfung unterliegt. 

Kinematische Welle 

Trägheitsterme (∂v/∂t und ∂v/∂x) und das Druckglied (∂h/∂x) vernachlässigt. 

Q (h) eindeutige Funktion der Wasserspiegellage (Pegelschlüssel).. 

Die Schnelligkeit (celerity) w der Welle ist von der FROUDE-Zahl unabhängig und ergibt sich zu w = 

1,5v (v = Fließgeschwindigkeit). In Fließrichtung und Störung keine Dämpfung. 

Diffusionswelle 

Trägheitsterme (∂v/∂t und ∂v/∂x) mit Kontinuitätsbedingung folgt �Diffusionsgleichung. 

Diffusionswellen wie kinematische Wellen in der Fließrichtung fort, flachen mit der Zeit ab. 

Die Stärke der Dämpfung ist eine Funktion der Wellenlänge. 

Dynamische Welle 

Lösung vollständiges Gleichungssystems. 

Welle kann sich entlang zweier Wege fortpflanzen. 

Bei Fr < 1 Primärwelle flussabwärts, die Sekundärwelle flussaufwärts. 

Fr > 1 beide Wellen in gleicher Richtung. Ausmaß der Abflachung bei dynamischen Welle von 

FROUDE-Zahl und Länge der Welle abhängig. 

2 

12

Berechnungsmethoden 

Verfahren der Charakteristiken 

Umformung der beiden partiellen Differentialgleichungen nach DE SAINT VENANT in vier 

gewöhnlichen Differentialgleichungen. 

� Gleichungen der Charakteristik. 

Methode der finiten Differenzen (FDM) 

Bei direkten Differenzenverfahren werde die Differentialquotienten der DE SAINT VENANT - 

Gleichungen zu Differenzenquotienten umgeformt . 

Anfangs- und Randbedingungen gelöst. 

Transportgleichung 

Die Differentialgleichung beschreibt den Transport eines Mediums mit der Geschwindigkeit c. 

Aussage über einen bestimmten Punkt der Lösungsebene (eine infinitesimale kleine Region).


Calculation of backwater 

curves In a bifurcated river


Calculation of backwater curves In a bifurcated river

Methode der finiten Differenzen, Beispiele 

5 m 

Behälter A 

10.000 m 2 

Behälterausgleich 

1 m 2 

ΔH 

Behälter B 

5.000 m 2 

2 m

Instationärer Abfluss im Gerinne 

Transportgleichung 

∂h 

∂t 

∂h 

+ c∗ 

=0 c 

∂x 

∗= 

Differenzengleichung 

dQ 

dh b


Kontinuitätsgleichung: 

∂Q 

∂ 

b 

∂x 

∂ 

h 

+ =0 (1) 

t 


A1 

A2 

j 

Q 

j 

Q 

∂Q 

∂ ⎛ 

+ ⎜β 

∂t 

∂x⎝ 

n+ 

1 

j 

n+ 1 

j 

+ B1 

+ 

j 

B2 

h 

j 

n+ 

1 

j 

h 

n+ 

1 

j 

2 

Q 

A 

∂ 

gA 

∂ 

h ⎞ ⎛ 

⎟ + ⎜ + I 

⎠ ⎝ x 

+ C1 

1 

+ C2 

Q 

1 

n+ 1 

j+ 

1 

Q 

n+ 1 

j+ 

1 

j 

s 

+ D1 

h 

+ 

D2 

⎞ gQQ 

⎟ + 

⎠ 2 = 0 (2) 

C AR 

n+ 1 

j+ 

1 

j 

h 

n+ 1 

j+ 

1 

= E1 

= 

j 

E2 

j 

(3) 

(4) 

n+1 

ΨΔx 

Preismann 

n j j+1 

ΘΔt 

→≤Ψ≥


TE = O(Δt,Δx) 

Δt 

r = u 

Δx 

n+1 

Δt 

n+1 

n 

n-1 

n 

n-1 

n 

n 

C.P. 

j 

j-1 

n+1 

j-1 

j-1 j 

Δx 

j+1 

j 

C.P. 

C.P. 

C.P. 

n j j+1 

j C.P. j+1 

Explizite Schematas: 

rückwärts in x 

vorwärts in t 

r = 1........................genaue Lösung 

r ≤ 1........................stabil 

vorwärts in x 

rückwärts in t 

r = 1........................genaue Lösung 

r ≥ 1........................stabil 

rückwärts in x und t 

r = -1 ......................genaue Lösung 

r ≥ 0........................stabil 

celerity +/- r ≥ -1....stabil 

vorwärts in x und t 

r = 1 .......................genaue Lösung 

r ≥ -1.......................instabil 

r ≤ -1.......................Dämpfung der Lösung 

zentriert in x 

vorwärts in t 

r = 1/6 ....................beste Lösung 

r ≤ 1/2 ....................stabil 

TE = O(Δt,Δx 2 ) 

Δt 

r = D ⋅ 2 

Δx 

n+1 

n 

j-1 

n+1 

Preismann 

ΨΔx 

n j j+1 

ΘΔt 

→≤Ψ≥ 

Abbott - Ionesco 

j C.P. j+1 

r 

ΘΔt 

Implizite Schematas 

Rundungsfehler = 0 

stabil 

ψ = 0,5 ® Θ < 0,5 instabil 

stabil für Θ = 0,5 

* 

c 

= 

Δx Δt 

Θ = 0,5 genaueste Lösung 

Θ > 0,5 dissipativ


Implizit 

Vorteile: 

• Durch bessere Zentrierung in Raum und Zeit normalerweise 

größere Genauigkeit 

• Stabilität 

• größere Zeitschritte Δt 

2 2 ( , ) 

TE= O ΔtΔx Vorteile: 

Explizit 

• Einfacher Lösungsalgorithmus, neuer Wert direkt aus vorhergehenden 

Zeitschritt berechenbar 

• schnell 

• Unabhängig von der Reihenfolge und der Richtung der Berechnung 

• Für bestimmte Fälle genaue Lösung reproduzierbar 

Nachteile: Nachteile: 

• Zwei oder mehrere Unbekannte im folgenden Zeit- • bedingt stabil 

schritt sind in den 

• eingeschränkt durch die Courent-Friedrich-Lewy Bedingung 

Lösungsalgorithmus einbezogen 

TE= O( Δt, Δx) 

• Abhängig von der Reihenfolge und der Richtung 

der Berechnung 

• Benötigt gut definierte Randbedingungen (obere 

und untere)

Retention, Reservoir routing 

1. Introduction 

2. Reservoir layout and reservoir routing 

3. Example of flood retention basin 

4. Side step to simulation philosophy 

Partial differential solver 

Transport equation 

5. Setting up a simple model and use it for simulation 

6. Real word case from the Austrian Alps 

7. Related topics and literature


Why? Increase of flood peak 

What are the reasons for increased peak runoff? 

in catchment 

surface sealing 

forest clearings (e.g. skiing slopes) 

in river 

training works 

cut-off of floodplains 

increase of flow velocity 

⇒ Input hydrograph 

⇒ 

Hydrograph shape 

“Retention reservoirs” are a way of giving back what was taken away from the water course


Channel Routing 

• Time dependent change of flood height and shape of hydrograph at different locations in a river 

• Dependent on: retention capacity and transient flow conditions (flow acceleration) 

• Characteristic values: flow velocity v=f(x,t) and water depth h =f(x,t) 

Flood Routing 

Goal: Forecasting from a given hydrograph h1 (t) at gauging station P1 of hydrograph at station P2. Needed information: 

channel geometry, boundary conditions h1 (t) and initial conditions h (x, t=0). 

Solving methods: 

Hydrological (e.g. Muskingum) and hydraulic methods (Saint Venant equations) 

Hydraulic methods are utilizing the method of characteristics or 

numerical methods such as the method of finite differences.


Reservoir-Routing 

There is a distinction between artificial retention and natural retention basins 

but the impact on the water course is the same. 

Natural retention basins are: 

•lakes 

•ponds 

•swamps and peat areas 

•flood plains 

Assumptions: flow velocity v negligible, hence the water level in the reservoir is nearly horizontal. 

As a result the full hydrodynamic flow equations are reduced to 

Continuity equation and 

out flow characteristics

Retention, Reservoir routing


Occurrence of Storage 

Flood plain 

Channel 

Channel routing 

Flood plain boundary 

Utilisation of Storage (Retention reservoirs) 

Dividing dam 

Channel 

optional 

Retention 

reservoir 

Outlet structure 

no channel flow through reservoir 

Retention 

reservoir 

Channel 

Reservoir routing 

Flood plain boundary (dam) 

Dividing dam 

Channel 

Retention reservoir 

Reservoir routing 


flow through reservoir 


and flow control


Cross-section through reservoir 

Storage zones 

Surcharge storage 

Useful storage 

Dead storage 

Dam 

Maximum flood level 

Spillway crest level 

Low outlet level 

Outlet 

Control structure


Reservoir routing is based on a fundamental storage equation and Continuity equation 

The retention characteristic R follows from the difference Qin –Qout which is equal to 

the time dependent change of the storage volume V. 

Q R = Q in − Q out 

= 

dV 

dt 

or in finite difference form 

( − Q ) Δ t = ΔV 

Q in out 

Second relation needed is the out flow characteristic


Inlet (side weir) 

Inlet (side weir) 

Cross-section 

Design of reservoir 

uncontrolled outlet 

channe 

l 

Retention reservoir 

Emergency spillway 

Max. storage level 

Elevation W 

Outlet (Pipe) 


Outlet (Pipe) 

channe 

l


V (L 3 ) 

0 

Q out 

Q out 

(L 3 /T) 

1) 2) 

Out flow characteristic 

Free outflow (no control) 

Storagevolume 

Elevation W (L) 

1) Pipe partly full 

2) Pipe full (pressurised flow) 

V (L 3 ) 

Storage volume – outflow 

relation 

Q out ti Qout ti+1 Q out,max Q out 

(L 3 /T) 

It is assumed that inflow hydrograph and the elevation W at the start of the calculation are known, 

hence the initial outflow is known as well


Q (L 3 /T) 

Q in to 

ΔV i+1 

Q in ti 

ΔV i 

t o t i 

Inflow hydrograph 

Q out ti 

t i+1 

Q in ti+1 

Q out ti+1 

lag 

Out flow characteristic - free outflow (no control) 

attenuation 

Outflow hydrograph 

Stepwise calculation of attenuation and storage capacity with 

t Δ t Q in Q in Δ t Q out 

time (T) 

( − Q ) Δt = ΔV 

Q in out 

Q out Δ t Δ V V = Σ Δ V 

s s m 3 /s m 3 m 3 /s m 3 m 3 m 3 

t o 

t i 

t i+1 

Δ t i 

Δ t i+1 

Q in to =0 

Q in ti 

Q in ti+1 

Q in ti Δt i 

Q in ti+1 Δt i=+1 

Q out to =0 

Q out ti 

Q out ti+1 

Q out ti Δt i 

Q out ti+1 Δt i=+1 

Δ V i 

Δ V i+1 

0 

V i 

V i=1


Numerical solution 

( Q Q ) − 1 2( 

Q + Q ) = ( V − V ) Δt 

1 2 in( i) + in 

out(i) out(i + 1) 

i+ 

1 i 

( i+ 

1) 

Δt is time increment between times indicated by subscripts 1 and 2 

The equation may be transformed and all unknowns are brought to the right hand side 

( Q + Q − Q ) + V t = 1 2Q 

+ V Δt 

1 2 in ( i ) in ( i+ 

1) 

out ( i) 

i Δ out ( i+ 

1) 

i+ 

1 

and with V = V(Q out ) a solution is possible. 

For example the storage volume – outflow relation 

is given as polygon (m) by equation 

( m ) ( m ) ( m ) 

( ) 

V Q = Vo + k 

out 

( m ) ( m ) 

( Δt 2)( 

Q Q − Q ) + V = ( Δt 2) 

Q + Vo + k 

in(i) 

ΔQ 

+ in(i + 1) out(i) i 

out(i + 1) 

Remark: for each calculation step m of the polygon has to be evaluated 

out 

ΔQ 

out 

ΔQ − Q 

= Qout(i+ 

1) 

out(i)


Flood retention basin with 

additional storage (overflow basin) 

Cross section 1-1 

Reference level


Q 

100 

Q 

Q 

Q 

OUT 

OUT 

OUT 

AB 

= 12,5 h 

= 12,5h 

= 12,5h 

= 100m 

= 36,5 

3/2 

A 

3/2 

A 

3/2 

A 

3 

h 

/s 

A 

− h 

B 

⇒ 

h 

h 

h 

A 

for h 

= 

4,0m 

≤ 4,0m 

A 

> 4,0m 

> 4,5m 

⎛ 35 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝12, 

5⎠ 

QOUT INITIAL = 35 m 3 / s ⇒ hA INIT = = 1, 

99 m 

B at beginning empty ⇒ h B = 0 + 4,5 (reference level) = 4,5 m 

Area of storage: A = 1,0 km 2 

B = 0,5 km 2 

Restrictions 

2/ 

3 

Qin (m3/s) 

400 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

Inflow hydrograph 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 

t (hours)


Model: 

Adh 

= ( Q − Q ) ⋅ dt or ( ) 

IN 

= QIN 

− QOUT 

dt 

dV OUT 

( Q − Q ) ⋅ dt 

Adh = IN OUT 

( Q − Q − Q ) Δt 

ΔV = A ⋅ Δh 

= 

⋅ 

A A A IN OUT AB 

ΔV = A ⋅ Δh = Q ⋅ Δt 

B B B AB 

from 1 

⇒ 

from 2 

⇒ 

n+ 

1 n ( h − h ) ⋅ A = ( Q − Q − Q ) 

A 

n+ 

1 n ( h − h ) ⋅ A = ( Q − Q − Q ) 

h 

A 

n+ 

1 

A 

n+ 

1 n ( h − h ) 

h 

B 

n+ 

1 

B 

= 

= 

A 

A 

Δt 

A 

A 

B 

Δt 

A 

B 

⋅ 

A 

A 

( Q − Q − Q ) 

⋅ A 

⋅ Q 

IN 

B 

n 

AB 

= Q 

+ h 

IN 

IN 

OUT 

n (or+ 

1/2) 

AB 

n 

B 

OUT 

OUT 

AB 

⋅ Δt 

n 

(1 

(2 

AB 

n+ 

1/2 

AB 

+ h 

n 

A 

n 

⋅ Δt 

⋅ Δt 

Q IN 

A 

B 

Euler method 

Q AB 

Q OUT 

improved Euler method


Case study in Austrian Alps


Design criterias: 

a) survey: general map, position of reservoir, cross- and transversal-sections, 

topographic map, storage characteristics 

b) Hydrology: Return period, inflow hydrograph and sediment yields for various 

precipitations, estimation of storage development (siltation) 

c) Hydraulics: desired outflow hydrograph, outflow and emergency spillway 

characteristic 

d) Geophysics: Seismic, subsurface survey 

e) Soil mechanics: soil parameter, safety evaluation


Low outlet level 1801.5 m 1) 

regular storage level 1810.5 m 

regular storage volume 12130 m³ 

surcharge storage level 1811.4 m 

surcharge flood storage 1500 m³ 

embankment 1812.0 m 

freeboard storage 600 m³ 

1) all heights are above sea level


Outflow under a sluice 

assumption: no backwater effects at outlet, supercritical flow occurs 


weir formula of POLENI 

Q = μ a b 2g 

2 

μ 

3 

Q = p 

2 g 

ho 

μ out flow coefficient 

a height of outlet 

b width of outlet 

ho water level in reservoir 

g acceleration of gravity 

μ p 

bh 

3/ 

2 

out flow coefficient 

b weir width 

h water level above weir crest 

g acceleration of gravity


Related topics: 

Transient channel flow 

Continuity equation 

Impulse-momentum equation 

Sand trap design 

∂ A 

∂t 

∂Q 

∂t 

∂ Q 

∂x 

Flow velocity vs. Fall velocity (Stokes Law) 

detention time 

+ 

= 

0 

2 

∂ ⎛ Q ⎞ ⎛ ∂h 

+ ⎜β 

⎟ + gA⎜ 

+ 

∂x 

⎜ A ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ∂x 

I 

s 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

+ 

gAI 

E 

= 

0


References 

Abbott M.B., Basco D.R.: Computational Fluid Dynamics an Introduction for Engineers, 

Longman Scientific & Technical, 1990. 

Chow Ven Te: Applied Hydrology, McGraaw Hill, 1988 

Cunge H. Jr., Verwey: Practical Aspects of Computational River Hydraulics, Pitman, 

1980. 

Vreugdenhil C. B.: Computational Hydraulics, Springer-Verlag, 1989. 

Ward D.A., Elliot J.W.: Environmental Hydrology, Lewis Publishers, 1995

Druckstoß 

Bei plötzlichen Änderungen (infolge Regelvorgänge) 

kommt es zu einer zeitlichen Änderung des 

Durchflussverhaltens ⇒ Druckstoß

Druckstoß 

Annahmen: 

� Geschwindigkeit und Druck sind über den Fließquerschnitt 

gleichmäßig verteilt 

� Geschwindigkeitshöhe

Druckstoß 

Stationär: 

Instationär: 

∂ 

∂t 

mit und 

2 Theorien: 

� starre Wassersäule 

� elastische Wassersäule 

Q −Q −Δ S = 

Ein Aus 

Q − Q − ΔS 

Ein Aus 

Q ∂ v 

≠ 0 

≠ 0 

∂ t 

0 

≠ 

0

Druckstoß 

• Theorie der starren 

Wassersäule 

• Inkompressible Flüssigkeit 

& starre Rohrleitung; 

Öffnen & Schließen 

bewirkt infolge Impulssatz 

eine Druckänderung 

• Theorie der elastischen 

Wassersäule 

• Mit Impulssatz und 

Kontinuitätsgleichung ⇒ 

• Geschwindigkeitsänderung 

• Verkürzung der Wassersäule 

(Hook´sches Gesetz) 

• Dehnung des Rohrs (⇒Δp)

Druckstoß 

Theorie der starren Wassersäule 

Schließgesetze: Sind im allg. vom Hersteller anzugeben 

AR 

0 

ARt 

ART 

t 

T 

τ 

AR0−ARt t 

= →τ 

A − A T 

R0RT Lineares Schließgesetz 

t

Druckstoß 


Ansatz gilt nur für kurze Leitungen und sehr 

langsame Regelorganänderungen 

ΔH 

H 

K 

max 

0 

= 

K 

2 

⎛ L ⋅ 0 = 

⎜ 

⎝ g ⋅ H 

± 

( ) 2 

v − v ⎞ 

0 

T 

⋅T 

K 

⎟ 

⎠ 

+ 

K 

4 

2 

+...Schließen 

- ...Öffnen

Druckstoß 


und für: 

gleichförmiges Schließen, 

Elastizität vernachlässigt, 

sehr langsame Regelorgane 

[ sek] 

Faustforme l : T = 

L 

[ m] 

300

Druckstoß 

Theorie der elastischen Wassersäule 

Gilt unter Vernachlässigung der Rohreibung und 

konstanter Leitungsdurchmesser, konst. Wandstärke 

und gleiches Material

Druckstoß

Druckstoß 


Aus der Bewegungsgleichung (Impulssatz) 

gilt: 

dv 

daher 

∑ 

m ⋅ = R 

dt 

∂v 

∂t 

= 

1 ∂p 

⋅ 

ρ ∂x 

d

Druckstoß 


Aus der Kontinuitätsbedingung: 

1) Geschwindigkeitsänderung 

∂v 

ΔV1 = r² 

⋅π 

⋅ ⋅ dx ⋅ dt 

∂x 

Wasser wird komprimiert 

Rohrleitung gedehnt 

Δ 

Δ

Druckstoß 


2) Verkürzung der Wassersäule infolge Druckerhöhung 

es gilt das Hook´sche Gesetz: 

σ = 

ε = 

ΔV 

2 

E 

w 

Δdx 

dx 

= 

⋅ε 

r² 

⋅π 

⋅∂p 

⋅dx 

⋅dt 

E ⋅∂t 

w

Druckstoß 


3) Dehnung des Rohres infolge Druckerhöhung 

(Kesselformel) 

Mit dem Hook´schen 

Gesetz erhalten wir: 

ΔV 

3 

= 

2 ⋅ 

E 

r 

⋅ r³ 

⋅ ∂p 

⋅ s ⋅ ∂t 

π Z = σs1 

⋅ dt 

⋅ dx

Druckstoß 


Somit erhalten wir: 

a Fortpflanzungsgeschw. 

des Druckes: 

(generell: a∼1000 m/s) 

Δ V =Δ V +ΔV 

1 2 3 

∂v 1 ∂p 

= ⋅ 

∂x ρ ⋅a² ∂t 

a = 

1 

⎛ 1 1 

ρ ⋅ ⎜ + 

⎝Ew s⋅Er ⎞ 

⎟ 

⎠ 

a= a E E d s 

( ρ, 

, , , ) 

w r

Druckstoß 

Schallgeschwindigkeit 

a = √(E w/ρ) / √(1 + E w/E R * D/s) 

E w = a² ρ ≈ 2 * 10 9 N/m² E r ≈ 2 * 10 11 N/m² (Stahl) 

für kaltes Wasser: √(EW / r) = 1435 m/s 

a = 1435 / √(1 + D/100s) 

Bsp: 

D = 30 cm = 0,3 m 

s = 4 mm = 0,004 m 

a = 1435 / √(1 + 0,3/0,4) = 1085 m/s

Druckstoß 

Druckentlastung 

Grundsätzliche Veränderung im System Druckentlastungseinrichtungen 

Erhöhung der Schließzeit 

Reduktion des Durchflusses 

Vergrößerung des Rohrdurchmessers 

Verringerung der Rohrlänge

Druckstoß 

Druckentlastung 

Grundsätzliche Veränderung im System Druckentlastungseinrichtungen 

Rückflussverhinderer 

Schwungrad (Pumpe) 

Druckentlastungsventil 

Luftansaugventil 

Windkessel 

By- Pass 

Wasserschloss

Druckstoß 

System - Pumpe mit Schwungrad: 

Beschreibung: 

Durch die im Schwungrad „gespeicherte“ Bewegungsenergie wird die 

Pumpenleistung durch den Ausfall des Antriebsmotor nicht sofort auf Null reduziert.

Druckstoß 

Schwungräder

Druckstoß 

System: Druckentlastungsventil 

(Sicherheitsventil): 

Beschreibung: 

Wird der Druck im System (orange) größer als 

der eingestellte Druck am Sicherheitsventil 

öffnet das Ventil und der Druck kann ins Freie 

entweichen. 

p

Druckstoß 

System - Windkessel: 

Windkessel 

Anschlussleitung 

Kolbenpumpe 

Beschreibung: Luftpolster im oberen Teil des Pumpenkörpers 

(>Windkessel) federt die Druckstöße auf die 

Förderleitung ab.

Druckstoß 

Bypass: 

Beschreibung: 

Druckanstieg 

Druckabfall 

AUSFALL der Pumpe! 

Durch den vom Pumpenausfall ausgelösten Druckstoß strömt das Medium vom 

zuvor niedrigerem Potenzial zum Höheren.

Druckstoß 

System - Wasserschloss: 

Beschreibung: 

Kommt es zu einer schnellen Schieberschließung im Krafthaus, wird die Bewegungsenergie 

des Mediums im Druckstollen (grün) über das Wasserschloss abgeleitet.

Druckstoß 

Beispiel: Druckstoß bei plötzlichem Schließen 

Ausfluss aus einem Behälter und plötzliches Schließen 

der Ausflussarmatur (z.B.: Schnellstrahlabschneider bei 

Pelton-Laufrad) 

H = 100 m 

Schließzeit T = 5 sek 

L = 1000 m 

∅ 500 mm 

z.B.: Peltonlaufrad

Druckstoß 

es gilt: 

ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ ΔH 

= − ρ ⋅ A ⋅ L ⋅ 

⇒ 

ΔH 

= 

− 

L 

g 

⋅ 

dv 

dt 

es wird LINEARE Geschwindigkeitsänderung vorausgesetzt, und 

aus 

und 

erhalten wir: 

0 → v 

dt 

0 

v 

− 

t 

dv 0 

= 

dv 

dt 

m 

v0 1 

s 

Δ 

L v 

= ⋅ 

g T 

1000 1 

= ⋅ = 

9,81 5 

= 

20,39 

0 H m 

das entspricht einem Druckstoß von 2,04 bar = 204.000 Pa = 204.000 N/m²

Druckstoß 

Mit Schließfunktion 

AR0= 0,1963 m², ARt = 0,1 m², ART = 0,05 m², 

μ = 0,2 

Q0 = μ ⋅AR0 m³ 

2⋅g⋅ H0 = Avo 

= 1,74 

s 

Qt = μ ⋅ARt⋅ m³ 

2⋅g⋅ ( H0+Δ H) = Avt 

= 0,97 

s 

QTeil = μ ⋅ART⋅ m³ 

2⋅g⋅ H0= AvT= 

0,44 

s 

vt= v0 

ΔH 

ARt 

1+ ⋅ 

H A 

m 

= 1,05 

s 

0 R0 

( ) 

2 

⎡L⋅ v0−vT⎤ = ⎢ ⎥ = 

g⋅H0⋅T K 

0, 21 

⎣ ⎦ 

ΔHmax 

K 

= ± 

H0 

2 

K² 

K + →= 0,58, 

4 

Δ H =+ 58 m, Δ H =−37m 

max,1 max,2 

bzw. 

=−0,37

Angabe: 

Schließzeit T = 4τ 

Druckschwankungen

Druckstoß

Druckstoß

Hydrodynamik

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