Aufgabe 1: Dijkstras Algorithmus

Christoph Garbe: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 09 Übungsblatt 10
Abgabe: bis 12.06.2009, 12:00 Uhr
Aufgabe 1: Dijkstras Algorithmus
25 Punkte
Gehen Sie bei der Lösung dieser Aufgabe von folgendem Dijkstra‐Algorithmus nach Cormen aus und
verwenden Sie entsprechende Bezeichnungen!
Dijkstra(G=(V,E), w(), s) { // s: Ausgangsknoten, w: Gewichtsfunktion, G: Graph
for each v V {
d[v] = ;
// Kürzester Pfad Schätzer
[v] = NULL; // Vorgänger Pointer
}
d[s] = 0;
S = ;
Q = V; // Minimum Prioritätswarteschlange
while Q {
u = EXTRACT-MIN(Q); // kleinstes Element aus Q holen (bezüglich d)
S = S {u};
for each v AdjList[u] {
if d[v] > d[u] + w(u,v) {
d[v] = d[u] + w(u,v);
[v] = u;
}
}
}
}
a) Führen Sie den Dijkstra‐Algorithmus auf dem unten dargestellten Graph aus. Starten Sie einmal bei s
und einmal bei w. Geben Sie dann jeweils den kürzesten Pfad für s w bzw. w s an! Zeichnen
Sie jeweils den Graph nach jedem Durchlauf der while‐Schleife. In den Knoten sind die d[v]
anzugeben. Markieren Sie auch jeweils (z.B. farbig) die Kante, die von jedem Knoten zu seinem
Vorgänge [v] führt!
(10 Punkte)
s
3
6
1 2 3 7 2
5 3
2
6 w
b) Dijkstra’s Algorithmus lässt sich auf potentiell unzuverlässige Netzwerke anwenden (z.B. das
Internet). Angenommen ein solches Netzwerk wird durch einen gerichteten Graphen G(V, E)
beschrieben, dessen Kanten eE ein Wert 0 ≤ r(e) ≤ 1 zugeordnet wird. Dabei entspricht r(e) der
Ausfallwahrscheinlichkeit einer Verbindung zwischen zwei Knoten (je größer r(e), desto verlässlicher
ist die Verbindung). Die Aufgabe ist nun Dijkstra’s Algorithmus so zu modifizieren, dass er

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}
1. den verlässlichsten und p min r ( e )
verlässlic
hst
Pfade
i
{ e }
2. den unverlässlichsten p max r(
e )
unverlässlichst
Pfad
ei
Pfad
Pfad e 1 , ...,e n zwischen zwei gegebenen Knoten s und w in einem solchen Netzwerk findet, also
jeweils den Pfad mit der größten bzw. kleinsten Gesamtausfallswahrscheinlichkeit
p r(
e).
Ausfall
ePfad
(Tipp: Überlegen Sie, ob es eine Transformation gibt, die einen oben beschriebenen Graphen auf
einen Standard‐Graphen für den Dijkstra‐Algorithmus abbildet)
(10+5 Punkte)
i
i
i
0
Aufgabe 2: Bellman‐Ford‐Algorithmus
10 Punkte
Wenden Sie den Algorithmus von Bellman‐Ford auf folgende Graphen an. Jeweils mit dem grau
markierten Knoten als Startknoten. Geben Sie nach jedem der vier Durchläufe der äußeren for‐Scheife
die Distanzen d(v) in den Knoten an (also wie bei Aufgabe 1a).
(5+5 Punkte)
6
6
3
1 2
3 7
0
1
‐2 5 ‐5
2
5
2
6
3
7
2
6

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Aufgabe 3: Arbitrage
20 Punkte
Arbitrage bezeichnet das Ausnutzen von Preisunterschieden für gleiche Waren auf verschiedenen
Märkten. Ein einfaches Beispiel ist das Ausnutzen von Wechselkursen, also das handeln mit Währungen.
Angenommen ein Händler startet mit 1$. Damit kauft er zunächst 95,739¥. Pro Yen erhält man 0,0063
britische Pfund. Schließlich kauft man zum Kurs 1,6583 $/Pfund wieder Dollar und hat jetzt:
95,739 0,0063 1,6583 = 1,0002131 Dollar (Wechselkurse vom 2.6.2009). Ingesamt ergab sich also ein
Gewinn von 0,021%, nicht viel aber immerhin ;‐)
Für diese Aufgabe gilt nun: Es gebe n Währungen c 1 ,...,c n . Außerdem seien die nn‐n Wechselkurse R(i,j)
vorgegeben.
Die allgemeine Fragestellung ist: Wie kann man bei den oben gegebenen Daten Wechselzyklen c 1 , c 2
...,c k‐1 , c 1 von Währungen finden, sodass folgende Ungleichung gilt und das dortige Produkt maximal ist:
R(c 1 , c 2 ) R(c 2 , c 3 ) ... R(c k‐1 , c 1 ) > 1.
a) Finden Sie einen möglichst effizienten Algorithmus, der angibt, ob mit den gegebenen Daten
Arbitrage‐Geschäfte möglich sind. Geben Sie die Laufzeit ihres Algorithmus an.
(10 Punkte)
b) Geben Sie einen Algorithmus an, der ein solches Arbitrage Geschäft ausdruckt, falls eines existiert!
Geben Sie die Laufzeit ihres Algorithmus an.
(10 Punkte)
Aufgabe 4: Routenplanung
25+10 Punkte
Dijkstras Algorithmus für kürzeste Pfade kann auch für die Routenplanung in einem Navigationssystem
eingesetzt werden. In dieser Aufgabe sollen Sie ein solches Routenplanungssystem in C++
implementieren. Dazu gehen wir von einer List von 154 deutschen Städten aus, die mit jeweils den
Distanzen zu einigen Umliegenden Städten in der Datei entfernungen.txt gespeichert sind (keine Angst,
für das Einlesen der Datei wird Code zur Verfügung gestellt). Daraus lässt sich ein Graph dieser Städte
mit den Entfernungen als Gewichten erzeugen. Ein Code‐Template finden Sie auf der Homepage. Da
diese Aufgabe viele Klassen der C++‐Standardbibliothek nutzt, seien hier noch einmal einige Links zu
deren Dokumentation angegeben:
std::list: http://www.cplusplus.com/reference/stl/list/
std::map: http://www.cplusplus.com/reference/stl/map/
std::vector: http://www.cplusplus.com/reference/stl/vector/
Gehen Sie bei der Bearbeitung dieser Aufgabe wieder von dem Algorithmus in Aufgabe 1 aus!
a) Implementieren Sie nun im gegebenen Code‐Template Dijkstra’s Algorithmus in der Funktion
dijkstra() und eine Methode zum Ausgeben des kürzesten Pfades zu einer gegebenen Stadt nach
dem Aufruf von dijkstra() in print_route(). Zum extrahieren des kleinsten Elements aus der Schlange
Q können Sie die Funktion getMinimum() benutzen (siehe Aufgabe b).
Geben Sie mit ihrem Programm in main() die kürzesten Routen für folgende Städte‐Paare zusammen
mit der Gesamtstrecke der Route aus (rufen Sie dijkstra() so selten wie möglich auf):
München – Hamburg
München – Augsburg
Ulm – Rostock
Heidelberg – Stuttgart

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Abgabe: bis 12.06.2009, 12:00 Uhr
Heidelberg – Karlsruhe
Mannheim – Schweinfurt
(20 Punkte)
b) In obiger Implementation sollten Sie eine ineffiziente Methode getMinimum() verwenden. Erläutern
Sie kurz (!!!), wie diese implementiert ist und geben Sie ihre Laufzeit an. Wie könnte man die
Implementation verbessern? Beschreiben Sie an welchen Stellen welche Änderungen am Code
vorgenommen werden müssen und welche Datenstruktur Sie evtl. anwenden würden. (1+4 Punkte)
c) Bonusaufgabe: Implementieren Sie ein effizienteres getMinimum() Verfahren (10 Bonuspunkte)