Aufgabe 1: Dijkstras Algorithmus

Christoph Garbe: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 09 Übungsblatt 11
Abgabe: bis 25.06.2009, 16:00 Uhr
Aufgabe 1: Bipartite Graph-Matchings
20 Punkte
a) Führen Sie den Ford-Fulkerson-Algorithmus (FFA) auf dem abgebildeten Graphen aus und zeigen Sie
jeden Zwischenschritt. Wählen Sie in jeder Iteration jenen flussvergrößernden Pfad
(Erweiterungspfad) aus, der lexikographisch der kleinste ist.
(10 Punkte)
1
6
Q
2
3
7
8
S
3
4
9
5
b) Sei G=(V,E) ein bipartiter Graph mit einer Knotenpartitionierung V = L ⋃ R. Sei weiterhin G‘ das
korrespondierende Flussnetzwerk. Geben Sie eine gute obere Schranke für die Länge eines
beliebigen Erweiterungspfades in G‘ an, der während der Ausführung des FFA gefunden wird.
(10 Punkte)
Aufgabe 2: Flussgraphen mit mehreren Quellen/Senken
20 Punkte
a) Erweitern Sie die Flusseigenschaften- und Definitionen auf das Problem mehrerer Quellen und
Senken. (Kapazitäts-Bedingung, Versatzsymmetrie, Flusserhaltung, Wert)
(8 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass für jeden Fluss in einem Netzwerk mit mehreren Quellen und Senken ein Fluss mit
identischem Wert im Netzwerk mit einer Quelle und einer Senke gefunden werden kann, indem
man eine „Superquelle“ und eine „Supersenke“ einfügt. Zeigen Sie auch, dass der umgekehrte Fall
gilt.
(12 Punkte)

Christoph Garbe: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 09 Übungsblatt 11
Abgabe: bis 25.06.2009, 16:00 Uhr
Aufgabe 3: Das Flucht-Problem
20 Punkte
Ein n*n-Gitter ist ein ungerichteter Graph bestehend aus n Zeilen und n Spalten:
Der Knoten in Zeile i und Spalte j heiße (i,j). Alle Knoten haben vier Nachbarn, außer jener am Rand.
Gegeben seien m ≤ n 2 Anfangspunkte (x 1 ,y 1 )…(x m ,y m ) (hier schwarz). In dem Flucht-Problem ist zu
bestimmen, ob es m nicht-überlappende Pfade zum Rand gibt (siehe Bild a).
a) Angenommen nicht nur Kanten haben Kapazitäten, sondern auch Knoten. D.h. in einen Knoten darf
nicht mehr hineinfließen, als seine Kapazität zulässt. Zeigen Sie, dass das daraus resultierende
Maximum-Flow-Problem in ein normales Maximum-Flow-Problem (mit vergleichbarer Größe)
umgewandelt werden kann, das lediglich Kanten mit Kapazitäten enthält.
(10 Punkte)
b) Geben Sie einen effizienten Algorithmus an (mindestens O(n 6 )), der ein Flucht-Problem löst, d.h. für
ein gegebenes Gitter mit Startpunkten „ja“ oder „nein“ ausgibt. Tipp: Verwenden Sie das Ergebnis
aus Teilaufgabe (a)!
(10 Punkte)
Aufgabe 4: Max-Fluss-Aktualisierung
Sei G=(V,E) ein Flussnetzwerk mit Quelle q, Senke s und Integer-Kapazitäten.
20 Punkte
a) Angenommen eine Kantenkapazität wird um 1 erhöht. Geben Sie einen Algorithmus an, der mit Zeit-
Komplexität O(V+E) den maximalen Fluss aktualisiert!
(10 Punkte)
b) Angenommen eine Kantenkapazität wird um 1 verringert. Geben Sie einen Algorithmus an, der mit
Zeit-Komplexität O(V+E) den maximalen Fluss aktualisiert!
(10 Punkte)