Kreis - mathematik-meyer.de
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J. MEYER, Hameln <strong>Kreis</strong>berechnung 1<br />
0. <strong>Kreis</strong>berechnung: Reichen nicht die Formeln?<br />
Natürlich müssen die Lernen<strong>de</strong>n mit <strong>de</strong>n Formeln A r und U 2 r umgehen<br />
können; für <strong>de</strong>n weiteren Fortschritt im Mathematikunterricht ist aber min<strong>de</strong>stens ebenso<br />
wichtig, dass bei <strong>de</strong>r <strong>Kreis</strong>berechnung das Grundprinzip <strong>de</strong>r Analysis <strong>de</strong>utlich wird:<br />
Wenn man etwas nicht kann (wie die Berechnung einer krummlinig beran<strong>de</strong>ten<br />
Fläche), dann mache man etwas Ähnliches, das man kann (wie die Berechnung<br />
von geradlinig beran<strong>de</strong>ten Flächen) und sorge dafür, dass <strong>de</strong>r Unterschied<br />
zwischen <strong>de</strong>m, was man will, und <strong>de</strong>m, was man kann, gegen null geht.<br />
<strong>Kreis</strong>e kann man nicht berechnen, wohl aber ein- o<strong>de</strong>r umbeschriebene n-Ecke. Kein n-Eck ist<br />
ein <strong>Kreis</strong>, auch nicht, wenn n ganz groß ist. Aber <strong>de</strong>r Unterschied zwischen Flächeninhalt <strong>de</strong>s<br />
<strong>Kreis</strong>es und Flächeninhalt <strong>de</strong>s n-Ecks geht mit größer wer<strong>de</strong>n<strong>de</strong>m n gegen null.<br />
Entsprechen<strong>de</strong>s gilt für <strong>de</strong>n Umfang.<br />
Solche Annäherungen (<strong>de</strong>r <strong>Kreis</strong> wird durch n-Ecke angenähert) gibt es allüberall in <strong>de</strong>r<br />
Analysis: Die Tangente wird durch Sekanten angenähert, die Pyrami<strong>de</strong> durch Treppenkörper,<br />
...<br />
Kurz: Sowohl die Differential- als auch die Integralrechnung besteht aus Annäherungen.<br />
2<br />
1. <strong>Kreis</strong>umfang und -fläche: Ein einfacher Weg<br />
Dem <strong>Kreis</strong> wird ein regelmäßiges n-Eck<br />
umbeschrieben.<br />
Warum regelmäßig? Rechenvereinfachung!<br />
Rechts ist UVW eines <strong>de</strong>r n Teildreiecke.<br />
Man teilt UVW in zwei rechtwinklige<br />
Dreiecke auf; letzteres hat <strong>de</strong>n Winkel<br />
180<br />
am <strong>Kreis</strong>mittelpunkt.<br />
n<br />
Wegen s<br />
r tan<br />
hat <strong>de</strong>r Umfang <strong>de</strong>s n-Ecks die Länge<br />
180<br />
U 2n s 2r n tan , n<br />
und <strong>de</strong>r Flächeninhalt <strong>de</strong>s n-Ecks <strong>de</strong>n Wert<br />
1 2 180<br />
An<br />
2n r s r n tan .<br />
2 n<br />
n<br />
Der Taschenrechner liefert<br />
also<br />
Un<br />
180<br />
n tan , n<br />
2r<br />
und<br />
An<br />
r<br />
2<br />
.<br />
(Die Konvergenz ist schnell, wenn man für n erst 10, dann 100, dann 1000, ... einsetzt.)
J. MEYER, Hameln <strong>Kreis</strong>berechnung 2<br />
Selbstverständlich ist die Metho<strong>de</strong> – mit leichten Modifikationen - auch für einbeschriebene<br />
n-Ecke anwendbar.<br />
Dass tatsächlich Umfang und <strong>Kreis</strong>fläche <strong>de</strong>n gleichen Faktor haben, ist anschaulich<br />
plausibel:<br />
2. Die Beziehung zwischen <strong>Kreis</strong>fläche und <strong>Kreis</strong>umfang<br />
Dieser Abschnitt verknüpft das Thema „<strong>Kreis</strong>“ mit lokalen Än<strong>de</strong>rungsraten.<br />
2<br />
Die Flächeninhaltsfunktion A mit Ar r gibt <strong>de</strong>n Flächeninhalt eines <strong>Kreis</strong>es mit <strong>de</strong>m<br />
Radius r an und Ur<br />
2 r <strong>de</strong>ssen Umfang.<br />
Offenbar gilt A' r Ur. Ist das Zufall? Steckt etwas dahinter?<br />
Die Ableitung ist als Limes von lokalen Än<strong>de</strong>rungsraten <strong>de</strong>finiert.<br />
A r h A r <strong>de</strong>r mittleren Än<strong>de</strong>rungsrate ist die <strong>Kreis</strong>ringfläche (im Bild<br />
Der Zähler <br />
blau).<br />
Zerschnei<strong>de</strong>t man <strong>de</strong>n <strong>Kreis</strong>ring, so bekommt man (etwa) ein Rechteck:<br />
Die Höhe <strong>de</strong>s Rechtecks ist h. Die Breite <strong>de</strong>s Rechtecks ist <strong>de</strong>r Umfang<br />
Daher gilt für kleine h:<br />
Ar h Ar h Ur<br />
und damit nach Division durch h (auf bei<strong>de</strong>n Seiten):<br />
Ar h Ar<br />
Ur<br />
.<br />
h<br />
Für h 0 A' r U r und somit<br />
ist also <br />
Ur <strong>de</strong>s <strong>Kreis</strong>es.
J. MEYER, Hameln <strong>Kreis</strong>berechnung 3<br />
Ur<br />
2 r .<br />
Tragend bei dieser Argumentation ist die Grundvorstellung <strong>de</strong>r Ableitung als Grenzwert von<br />
mittleren Än<strong>de</strong>rungsraten; es reicht nicht, sich die Ableitung nur als Tangentensteigung<br />
vorzustellen.