Dynamische Prozesse in der Physik, Chemie und Biologie

Übungen zur Vorlesung
“Dynamische Prozesse in der Physik, Chemie und Biologie”
Wintersemester 2009/10
Aufgabenblatt 11 - 18.01.2010
Aufgabe 1:
Betrachte den Hamiltonoperator
H = E 0 |0〉〈0| + ∑ α
(E α |α〉〈α| + V 0α |0〉〈α| + V α0 |α〉〈0|).
Die Übergangsamplituden zwischen den Zuständen |ν〉 und |µ〉 sind
wobei Θ(t) die Heaviside-Sprungfunktion ist.
A νµ (t) = Θ(t)〈ν| exp(−iHt/)|µ〉,
Leite aus der Schrödingergleichung eine Gleichung für die A νµ (t) her (siehe VL). Verwende
hierbei, dass die Zustände ν vollständig und orthonormiert sind, d.h. 〈ν|µ〉 = δ νµ und
|ν〉〈ν| = 1.
∑
ν
Mit Hilfe der Fourier-Transformation
lässt sich diese Gleichung lösen.
A νµ (ω) =
∫ ∞
−∞
dt e iωt A νµ (t)
Bestimme nun A 00 (ω). Erweitere A 00 (ω) in die komplexe Ebene zu
[
A 00 (ω) = i ω − E 0 − ∑ ]
|V 0α | 2
−1
ω − E
α
α + iɛ + iɛ ,
wobei ɛ ≪ 1 ist und am Ende der Rechnung der Limes ɛ → 0 genommen wird.
Zeige weiterhin, dass
lim
ɛ→0
|V 0α | 2
ω − E α + iɛ = |V 0α| 2
ω − E α
− iπ|V 0α | 2 δ(ω − E α )

schreiben lässt (verwende: πδ(x) = lim ɛ→0 ɛ/(x 2 + ɛ 2 )). Somit folgt für die Selbstenergie
Σ(ω) ≡ ∑ α
|V 0α | 2
ω − E α + iɛ
≡ ∆Ω(ω) − iΓ.
Löse (analytisch oder numerisch) nun die inverse Fourier-Transformation
P 0 (t) ≡ |A 00 (t)| 2 =
1
∣2π
∫ ∞
−∞
dω e −iωt A 00 (ω)
∣
unter der Annahme, dass ∆Ω und Γ festgehalten werden (bei ω = E 0 /).
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