Elektrodynamik: Kapitel 1

1 Klassische Elektrodynamik
Die elektrischen und magnetischen Felder E und B wurden ursprünglich über
die Kraftgleichung
K = q
(E + 1 )
c υ ∧ B ,
welche die ausgeübte Kraft auf eine Punktladung q im elektromagnetischen
Feld beschreibt, eingeführt.
q = Ladung,
c = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum,
υ = Teilchengeschwindigkeit
Experimente von Cavendish (1771-3) und Coulomb (1785) zur Elektrostatik
und Ampère (ca. 1820) und Faraday (ca. 1840) zum Elektromagnetismus.
Um 1864 publizierte Maxwell seine Arbeit über die dynamische Theorie des
elektromagnetischen (EM) Feldes.
Die Maxwellschen Gleichungen lauten
∇ · E = 4πρ
∇ ∧ B − 1 c
∇ ∧ E + 1 c
∂E
∂t = 4π c j
∂B
∂t = 0
∇ · B = 0.
ρ (r, t) ist die Ladungsdichte, j(r, t) ist die Stromdichte. Die Gleichungen
sind im Gauß schen CGS Einheitssystem geschrieben. Die Maxwell-Gleichungen
enthalten die Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Ladung
1

∂
∂ρ
∇ · E = 4π
∂t ∂t
oder ∇ · ∂E
∂t
= 4π
∂ρ
∂t
∇ · ∇ ∧ B − 1 c ∇ · ∂E
∂t = 4π c ∇ · j
da ∇ · ∇ ∧ B = 0,
gilt
− 4π c
∂ρ
∂t = 4π c ∇ · j
d. h.
∂ρ
∂t + ∇ · j = 0
Die klassische Beschreibung der Elektrodynamik ist eine Näherung
Klassische Elektrodynamik ↔ Quanten-Elektrodynamik
ρ (r, t) kontinuierlich
verteilte Ladungsdichte ↔ Elementarladung e ±
EM-Felder E(r, t), B(r, t) ↔ Anzahl von Photonen.
Trotzdem ist in der makroskopischen Welt die klassische Beschreibung eine
sehr gute Näherung, z. B.
a) Ein Kondensator von 1 Mikrofarad hat bei einer Spannung von 150 Volt
ca. 10 15 Elementarladungen auf jeder Elektrode.
b)Das mittlere elektrische Feld einer 100-Watt Glühbirne hat in 1 Meter
Entfernung die Größenordnung von 0.5 Volt/cm. Es befinden sich dort ca.
10 15 Photonen/cm 2 /Sek.
Die elektrische Ladung können wir nicht unmittelbar definieren. Ähnlich wie
bei der Einführung der schweren Masse müssen wir zunächst die Kraft auf
einen elektrisch geladenen Körper untersuchen. Diese Kraft werde durch eine
Federwaage kompensiert, so dass der Probekörper in Ruhe ist.
Ausserdem soll die Umgebung, von der die elektrische Kraftwirkung auf den
Körper ausgeht, in Ruhe sein. Wir finden dann für die Kraft am Ort r den
Zusammenhang (für B = 0)
K(r) = qE(r),
2

d.h. die Kraft wirkt direkt proportional zu der Feldstärke. Hier ist q nur eine
Eigenschaft des Probekörpers und E(r) enthält nur die Beschaffenheit der
Umgebung. Diesem Zusammenhang entspricht die Gleichung
K(r) = mg(r)
für die Schwerkraft im Gravitationsfeld. Die Erdbeschleunigung, die wir mit
einer Federwaage an jedem Punkt bestimmen können, ist unabhängig von
der Probemasse, die wir an der Waage befestigen.
Im Gegensatz zur Schwerkraft treten bei den elektrischen Kräften auch abstossende
Kräfte zwischen elektrisch geladenen Körpern auf (q kann positive
und negative Werte haben). Bei der Formulierung
K(r) = qE(r)
haben wir die endliche Ausdehung des Probekörpers, der die Ladung q trägt,
vernachlässigt. Dies setzt voraus, dass sich das Feld E(r) innerhalb der
Ausdehnung des Körpers nicht merklich ändert. Wir sprechen von einer
Punktladung.
2 Ladungsdichte
Bei makroskopischen Experimenten ist immer eine sehr grosse Zahl solcher
elementarer Ladungsträger beteiligt, so dass man die diskrete Struktur der
Ladung nicht bemerkt. In diesen Fällen ist es zweckmässig die Ladung kontinuierlich
zu beschreiben, d.h. eine Ladungsdichte ρ (r) zu definieren.Wir
betrachten ein kleines Volumen dV am Ort r und definieren
△q = ρ (r) dV
als die im Volumenelement dV am Ort r enthaltene Ladung. Wir integrieren
über ein Volumen V und erhalten die Gesamtladung
∫
q = ρ (r) dV.
V
3

Eine Punktladung ist ein Limes dV → 0, ρ (r) → ∞ aber so, dass q konstant
bleibt. Sie hat nur eine mathematische Bedeutung und ist mit Hilfe einer
Diracschen δ-Funktion dargestellt, d.h.
∫
q =
V
ρ (r) = q δ (r)
∫
ρ (r) dV = q δ (r) dr = q.
3 Der Erhaltungssatz für die elektrische
Ladung
Die Gesamtladung eines abgeschlossenen Systems ist vor und nach einem
beliebigen physikalischen Vorgang gleich gross.
Die Ladungsdichte hängt im allgemeinen vom Ortsvektor r und von der Zeit
t ab. Im Fall, dass der Ladungsstrom durch die Oberfläche des Volumens V
verschwindet, gilt dann für zwei beliebige Zeiten t 1 und t 2 folgende Gleichung
∫
∫
ρ (r, t 2 ) dV = ρ (r, t 1 ) dV.
4 Ladungsstromdichte
V
Die Bewegung kontinuierlich verteilter Ladungen kennzeichnen wir durch den
Vektor j der Ladungsdichte. Seine Richtung ist durch die Strömungsrichtung
der Ladung gegeben. Sein Betrag ist definiert durch
|j| = ( j 2 x + j 2 y + j 2 z
V
) 1
2
= ∂2 q
∂F ∂t ,
d.h. j ist gleich dem Differentialquotienten der Ladung nach der Zeit t und
einer Fläche F , welche zur Strömungsrichtung senkrecht steht. Diese Fläche
kann von Punkt zu Punkt und auch als Funktion der Zeit variieren.
In der Zeit dt fließt durch das Flächenelement dF der Fläche F die Ladung
|j|dF dt. Die Geschwindigkeit der Ladungen zur Zeit t ist v(r, t), v und j
sind parallel. Es gilt offensichtlich j (r, t) = ρ (r, t) v (r, t) .
4

5 Ladungserhaltungssatz für sich bewegende
Ladungen
Für ein Teilvolumen V und dessen geschlossene Oberfläche F kommt die
Ladungserhaltung in der Gleichung
∫
∫
∫ ∫ t2
( )
ρ (r, t 2 ) dV = ρ (r, t 1 ) dV − j · dF dt.
V
zum Ausdruck.
V
F
t 1
dF
j
dF
V
dF
=
dF
^
n
Figure 1:
Die Gleichung gilt für beliebige t 2 , t 1 . Deshalb setzen wir
und entwickeln
Daraus folgt {∫
oder
t 1 = t, t 2 = t + dt
ρ (r, t + dt) = ρ (r, t) + ∂ρ dt + ....
∂t
V
} { ∫ }
∂ρ
∂t dV dt = − j · dF dt
F
∫
V
∂ρ
∂t
∫F
dV + j · dF = 0.
5

Jetzt benutzen wir den Integralsatz von Gauß
∫ ∫
j · dF = ∇ · j dV,
um die Gleichung umzuschreiben als
∫ { }
∂ρ
∂t + ∇ · j dV = 0.
V
F
Diese Gleichung gilt für ein beliebiges Teilvolumen V des Systems und daher
muss die Kontinuitätsgleichung
V
gelten.
∇ · j + ∂ρ
∂t = 0
6 Die Elektrostatik
∂ρ
j = 0, = 0 ⇒ E, B zeitlich konstant.
∂t
Wir fangen mit dem experimentell festgestellten Coulomb’schen Gesetz an
K = kq 1 q 2
(r 1 − r 2 )
|r 1 − r 2 | 3
q
1
r
q
2
r
2
K = k q O
1q 2
r ˆr Zentralkraft!! 2
Die Konstante k hängt vom Einheitssystem ab. Im Gaußschen System ist
k = 1. Das E-Feld ist durch die Kraftgleichung
r 1
6

K = qE(r)
definiert. Das elektrische Feld am Ort r, das ein Teilchen der Ladung q 1 am
Ort r 1 verursacht (Fig. 2), ist
E(r) = q 1
(r − r 1 )
|r − r 1 | 3 .
Experimentell ist auch festgestellt worden, dass sich das Gesamtfeld bei P
aus einer Überlagerung aller einzelnen Felder ergibt, d. h. die Vektorsumme
E(r) =
n∑
i=1
q i
r − r i
|r − r i | . 3
Für eine Ladungsverteilung mit Ladungsdichte ρ (r ′ ) statt einer Summe über
diskrete Ladungen, führen wir ein Integral ein
∫
E(r) = ρ (r ′ ) r − r′
|r − r ′ | dV. 3
q
1
P
E
r 1
r
O
Figure 2:
7

Bemerkung 1
Für diskrete Ladungen können wir eine Ladungsdichte als
ρ (r) =
n∑
q i δ (r − r i )
i=1
definieren.
Bemerkung 2
Die Kraftgleichung
K = qE
lehrt uns, dass ein elektrisches Feld auf eine Ladung eine Kraftwirkung
ausübt. Die Gleichung
E(r) = q 1
(r − r 1 )
|r − r 1 | 3
besagt, dass eine Ladung ein elektrisches Feld erzeugt. Das bedeutet eine
Schwierigkeit bei der Messung eines elektrischen Feldes. Wir bestimmen E
durch seine Kraftwirkung auf eine Probeladung q. Da aber ein endliches
q selbst wieder ein elektrisches Feld erzeugt, ist das ungestörte Feld nur
im Grenzfall einer verschwundenen Probeladung zu ermitteln
E = Lim
q→0
( K
/ q
)
.
8

7 Das Gauß’sche Gesetz
Wir betrachten eine Punktladung und eine geschlossene Oberfläche F (Fig.
3).
n^
V
F
r
dF
θ
E
q
dΩ
Figure 3:
Wir bilden das Skalarprodukt
aber
deshalb
E · dF = E · ˆn dF
= q q cos θ
ˆr · ˆn dF = dF
r2 r 2
dF cos θ = r 2 dΩ
E · ˆn dF = q dΩ.
Jetzt integrieren wir über die ganze Oberfläche, so erhalten wir
∫
E · ˆn dF = 4πq wenn q innerhalb von F liegt
F
= 0 wenn q ausserhalb von F liegt.
Das ist das Gauß’sche Gesetz für eine Punktladung. Für n Ladungen innerhalb
F gilt
∫
n∑
E · dF = 4π
q i
F
i=1
und für eine Ladungsverteilung ρ (r)
∫
E · dF = 4π ∫ ρ(r)dV.
F V
9

Wir können sofort den Integralsatz von Gauß benutzen
∫ ∫
E · dF = ∇ · E dV.
F
V
Das Gauß’sche Gesetz umschreiben wir als
∫
∫
∇ · EdV = 4π ρ(r)dV.
V
V
Da dieses Gesetz für beliebige Volumen V gilt, erhalten wir
∇ · E = 4πρ
Die erste Maxwell’sche Gleichung.
und eine Differentialform des Gauß’schen Gesetzes.
Bemerkung
Wir haben lediglich das Coulombsche Gesetz benutzt
E ∝ 1 r 2
ˆr.
8 Das Coulombsche Gesetz
∫
E(r) =
Wir können aber zeigen, dass
r − r ′
|r − r ′ | 3 = −∇ r
ρ (r ′ ) r − r′
|r − r ′ | 3 dr′ .
( 1
)
|r − r ′ |
deshalb können wir schreiben
E(r) = −∇ r
∫
ρ (r ′ )
1
|r − r ′ | dr′ .
Aber jetzt ist das Integral eine skalare Grösse
∫
Φ(r) ≡ ρ (r ′ 1
)
|r − r ′ | dr′ .
10

d. h. E(r) = −∇ r Φ(r)
oder ∇ ∧ E = −∇ ∧ ∇Φ = 0
∇ ∧ E = 0 Noch ein Maxwell’sches Gesetz.
Da die Coulombkraft zwischen zwei geladenen Teilchen zentral ist folgt
∇ ∧ E = 0
deshalb E(r) = −∇Φ(r).
Die Skalarfunktion
Potential, aber
Φ (r) (ein Skalarfeld) nennen wir das elektrostatische
da
ist
∫
E = −∇ r ρ (r ′ 1
)
|r − r ′ | dr′
∫
Φ(r) ≡ ρ (r ′ 1
)
|r − r ′ | dr′ .
Das Potential Φ(r) hat eine physikalische Bedeutung. Wir zeigen, dass sich
qΦ(r) als die Potentielle Energie ε einer Probeladung q im Feld E = −∇φ
interpretieren lässt. Die Kraft ist
K = qE,
und die durch die Kraft K geleistete Arbeit zwischen zwei Punkten A und
B ist (Fig. 4)
W =
∫ B
A
∫ B
K · dl = +q
= −q
A
∫ B
A
E · dl
∇Φ · dl
= q (Φ A − Φ B ) ≡ ε A − ε B
so ist
∫ B
A
E · dl = (Φ A − Φ B )
11

B
q
dl
E
K
A
Figure 4:
und für einen geschlossenen Weg
∮
E · dl = 0.
Jetzt benutzen wir den Satz von Stokes
∮ ∫
∫
E · dl = (∇ ∧ E) · ̂n dF = (∇ ∧ E) · dF = 0
F
F
und wir erhalten wieder
∇ ∧ E = 0 .
12

9 Oberflächenladung (Fig. 5)
Oberflächenladungsdichte σ (Ladung/Fläche)
n
E 2
E
1
Figure 5:
∫
∫
E · dF = 4π
ρ(r ′ )dV ′
(E 2 − E 1 ) · dF = 4πσ (r) dF
(E 2 − E 1 ) · ̂n = 4πσ (r)
E ⊥ 2 − E⊥ 1 = 4πσ,
d.h. die Normalkomponente des Feldes ändert sich um 4πσ. Die Tangentialkomponente
bleibt konstant, da
∮
E · dl = 0
( )
E ‖ 2 − E ‖ 1 dl = 0, d.h. E ‖ 1 = E ‖ 2 .
Da es kein Feld innerhalb eines Leiters gibt (Potential = konstant), gibt es
an einer Metalloberfläche nur eine Normalkomponente von E mit
|E| = 4πσ(r).
13

10 Die Poisson’sche und Laplace’sche
Gleichungen
Wir haben gezeigt, dass
∇ · E = 4πρ (1)
∇ ∧ E = 0 ⇒ E = −∇Φ (2)
und wir erhalten durch die Einsetzung (2) in (1)
∇ 2 Φ = −4πρ
die POISSON’SCHE Gleichung.
Wo es keine Ladungsdichte gibt, reduziert sich die Gleichung zu der
Laplace’schen Gleichung
∇ 2 Φ = 0.
Aber wir haben schon eine Lösung der Poisson’schen Gleichung gefunden:
∫
Φ(r) = ρ(r ′ 1
)
|r − r ′ | dr′ .
Jetzt operieren wir zweimal mit ∇(≡ ∇ r !)
∫
∇ 2 Φ(r) = ρ(r ′ )∇ 2 1
r
|r − r ′ | dr′ = −4πρ(r).
D. h.
Da
∇ 2 r
1
|r − r ′ | = −4πδ(r − r′ ) .
1
|r − r ′ | symmetrisch in r, r′ ist, erhalten wir auch
∇ 2 r ′ 1
|r − r ′ | = −4πδ(r − r′ ).
Wir erkennen eine Green’sche Funktion
∇ 2 G (r, r ′ ) = −4πδ (r − r ′ ) .
14

11 Die Eindeutigkeit der Lösungen der
Poisson’schen Gleichung
Wir fragen nach den Randbedingungen der Poissonschen Gleichung. Wir
verlangen, dass unsere Lösung innerhalb eines Gebietes eindeutig und
physikalisch ist. Normalerweise müssen wir eine Lösung nach bestimmten
Randbedingungen aussuchen. Entweder können wir das Potential, die sogenannten
Dirichlet’schen Randbedingungen, auf der Oberfläche bestimmen,
oder das Feld, die sogenannten Neumann’schen Randbedingungen, spezifizieren.
Beide Methoden liefern eine eindeutige Lösung. Wir beweisen diese
Eigenschaft mit Hilfe eines Satzes von George Green (1824) dem Green’schen Satz.
Wir beginnen mit Divergenz Satz (Satz von Gauß)
∫
∫
∇ · A dV = A · n dF
V
für ein beliebiges ”genügend glattes” Vektorfeld A innerhalb eines Volumens
V mit Oberfläche F . Wir setzen
F
A = φ∇ψ,
wobei φ, ψ beliebige Skalarfelder sind. Dann gilt
weiter ist
∇ · A = ∇ · (φ∇ψ) = φ∇ 2 ψ + ∇φ · ∇ψ
A · ̂n = φ∇ψ · ̂n.
Mit diesem Skalarprodukt wählen wir die Komponente des Gradienten in
Richtung ̂n, d. h. normal zu der Oberfläche. Dann schreiben wir
A · ̂n = φ ∂ψ
∂n
ist eine Skalargröße. Jetzt erhalten wir die erste Identität von Green
∫
(
φ∇ 2 ψ + ∇φ · ∇ψ ) ∫
dV = φ ∂ψ
∂n dF.
V
Wir können auch ψ und φ vertauschen
∫
(
ψ∇ 2 φ + ∇ψ · ∇φ ) ∫
dV =
V
15
F
F
ψ ∂φ
∂n dF

und subtrahieren
⇒ ∫ V (φ∇2 ψ − ψ∇ 2 φ) dV = ∫ F
(
φ ∂ψ
∂n − ψ ∂φ )
dF
∂n
die zweite Identität von Green oder der Green’sche Satz.
Jetzt setzen wir φ ≡ Φ (r) das elektrostatische Potential und ψ ≡ 1/|r − r ′ |
(der inverse Abstand zwischen Ladung bei r ′ und Beobachter bei r). Wir
benutzen
∇ 2 r ′Φ = −4πρ (r′ )
und
∇ 2 1
|r − r ′ | = −4πδ(r − r′ ).
Den Green’schen Satz schreiben wir (wir integrieren dV ≡ d 3 r ′ )
∫ [
]
−4πΦ (r ′ ) δ(r − r ′ 1
) +
|r − r ′ | 4πρ (r′ ) d 3 r ′
V
∫
=
F
[
Φ ∂ ( ) 1
−
∂n ′ |r − r ′ |
]
1 ∂Φ
dF.
|r − r ′ | ∂n ′
Wir schreiben R ≡ |r − r ′ | und erhalten für r innerhalb des Volumens V
∫
ρ (r ′ )
Φ (r) =
R d3 r ′ + 1 ∫ [ 1 ∂Φ
− Φ ∂ ( )] 1
dF.
4π R ∂n ′ ∂n ′ R
V
F
Oben haben wir die differentielle Poisson’sche Gleichung ∇ 2 Φ = −4πρ in eine
Integralgleichung umgeschrieben. Für r ausserhalb von V ist δ (r − r ′ ) = 0
innerhalb von V und Φ (r) verschwindet. Das bedeutet
∫
V
ρ (r ′ )
R d3 r ′ + 1
4π
∫
F
[ 1
R
∂Φ
∂n ′ − Φ ∂
∂n ′ ( 1
R
)]
dF = 0
für r ausserhalb V.
Wenn wir V unendlich groß machen, und das Feld auf der Oberfläche F
schneller als R −1 verschwindet, können wir zeigen, dass das Oberflächenintegral
verschwindet. So reduziert sich die Gleichung oben zu
∫
Φ (r) =
V
16
ρ (r ′ )
|r − r ′ | dV

WICHTIG:
Man kann zeigen (siehe Seite 42, Jackson), dass wenn wir das Potential
überall auf der Oberfläche spezifizieren (Dirichlet’sches Problem) oder das
Feld (normale Ableitung des Potentials) überall auf der Oberfläche spezifizieren
(Neumann’sches Problem), dann ist das Potential innerhalb von V
eindeutig bestimmt.
Deshalb können wir nicht das Ergebnis von oben direkt benutzen, da das
Oberflächenintegral Φ und ∂Φ enthält. Jetzt sehen wir wie wir weiter gehen
∂n
können.
Wir betrachten wieder die zweite Identität von Green.
Jetzt setzen wir,
mit
φ ≡ Φ (r) und ψ ≡ G(r, r ′ ) =
∇ 2 r ′G (r, r′ ) = −4πδ (r − r ′ )
1
|r − r ′ | + f (r, r′ )
∇ 2 r ′f (r, r′ ) = 0
und erhalten
∫
V
∫
(
Φ∇
2
r ′G − G∇ 2 r ′Φ) dV =
F
(
Φ ∂G − G ∂Φ )
dF
∂n ′ ∂n ′
∫
−
V
[4πΦ (r ′ ) δ (r − r ′ ) − 4πG (r, r ′ ) ρ (r ′ )] dr ′
∫
=
F
(
Φ (r ′ ) ∂G − G (r, r ′ ) ∂Φ )
dF
∂n ′ ∂n ′
∫
Φ(r) = G (r, r ′ ) ρ (r ′ ) dr ′ + 1 ∫ (
G (r, r ′ ) ∂Φ
V
4π F ∂n − Φ ′ (r′ ) ∂G )
dF.
∂n ′
Jetzt können wir die Funktion f so wählen, dass
G D (r, r ′ ) = 0
für r ′ auf F
eine sehr einfache Randbedingung. Dann erhalten wir
17

Φ (r) = ∫ (
G ∫
V D (r, r ′ ) ρ (r ′ ) dr ′ − 1 Φ (r ′ ) ∂G )
D (r, r ′ )
4π F
∂n ′
die Lösung mit Dirichlet’scher Randbedingung
Für Neumann’sche Randbedingungen erwarten wir
∂G N
∂n ′ = 0 für r ′ auf F.
Aber, wenn wir den Gauß’schen Satz benutzen, d. h.
∫
V
∇ 2 G(r, r ′ ) = −4πδ (r − r ′ )
∫
∫
∂G
∇ · ∇G dV = ∇G · ̂n dF = dF = −4π.
∂n
′
Deshalb genügt
∂G N
= 0
∂n ′
dieser Gleichung nicht. Wir können aber
F
∂G
∂n ′ = − 4π S = Konstante
setzen, wobei S die Gesamtfläche ist, so dass
∫
∂G
∂n dF ′ = − 4π ∫
dF ′ = −4π ist.
′ S
F
F
F
dF
So erhalten wir, für die Neumann’sche Randbedingungen
Φ (r) = ∫ G V N (r, r ′ ) ρ (r ′ ) dr ′ + 1
4π
∫F G N (r, r ′ ) ∂Φ
∂n dF + 〈Φ〉 ′ F
wobei 〈Φ〉 F
der Mittelwert des Potentials auf der Oberfläche F ist, d.h.
〈Φ〉 F
= 1 ∫
Φ(r ′ )dF.
S
F
18

12 Methode der Spiegel- oder Bildladungen
Die Methode der Spiegelladungen benutzt man zur Lösung von Problemen,
bei denen sich eine oder mehrere Punktladungen in der Nähe von Randflächen,
die geerdet oder auf festem Potential gehalten werden, befinden. Die Ersetzung
des tatsächlichen Randwertproblems durch ein äquivalentes
Problem mit einem erweiterten Gebiet mit Spiegelladungen, aber ohne
Randflächen heisst Methode der Spiegelladungen.
Beispiel 1
Φ=0
q
d
q
−
d
d
−q
− r
Figure 6:
Eine Punktladung gegenüber einer unendlich ausgedehnten, leitenden Ebene,
die sich auf dem Potential Null befindet (Fig. 6).
Beispiel 2
Φ (r) =
q
|r − d| − q
|r + d|
Eine Punktladung gegenüber einer geerdeten leitenden Kugel (Fig. 7).
Wir suchen das Potential Φ (r) , das der Bedingung Φ (|r| = a) = 0 genügt
Befindet sich die Ladung q ausserhalb der Kugel, dann liegt s ′ innerhalb der
19

P
Φ( r)
Φ( a)=0
s
q
a
s’
q’
Figure 7:
Kugel. Das Gesamt-Potential ist
für r = a
Φ (r) =
Φ (r) =
q
|r − s| + q′
|r − s ′ |
q
r|ˆr − s r ŝ| + q ′
s ′ | r ˆr − ŝ|
s
′
q
Φ (a) =
a|ˆr − s + q ′
aŝ| s ′ | a ˆr − ŝ|
s
′
q
Φ (a) =
a
(1 + s2
a − 2 s ) 1
+
2 a ˆr · ŝ 2
Die Bedingungen
q ′
s ′ (
1 + a2
s ′2 − 2 a s ′ ˆr · ŝ ) 1
2
.
q
a = −q′ s ′
und
s
a = a s ′ bedeutet Φ(a) = 0,
20

d.h.
Bemerkung: (Fig. 8)
q ′ = − q a s′ = − q a
a 2
s = −q a s
s ′ = a2
s , s′ = a2
s ŝ = a2
s 2 s.
Die Lösung des Problems ist
für s → ∞, q ′ → 0, s ′ → 0
für s → a, s ′ → a, q ′ → −q
Φ(r) =
q q( a
|r − s| − s )
( ) a
2
.
|r − s|
s 2
Die auf der Kugeloberfläche induzierte Ladungsdichte berechnet sich aus dem
Wert der Normalableitung von Φ an der Oberfläche (siehe Honerkamp &
Römer S. 229, Jackson S. 46).
σ = − 1
4π
∂Φ
∣
∂r
⎧
∣
r=a
= − q ∂
⎪⎨
1
4π ∂r (r ⎪⎩
2 + s 2 − 2sr cos γ) 1 2
mit ˆr · ŝ = cos γ.
⇒ σ = −
q ( a
)
4πa 2 s
d.h. σ = −
q ( a
)
f .
4πa 2 s
21
−
a
s
(r 2 + a4
s − 2a2 r
cos γ
2 s
[1 − a2
s 2 ]
[1 + a2
s 2 − 2a s cos γ ] 3 2
,
) 1
2
⎫
⎪⎬
⎪⎭
r=a

3
2
a/s=1/2
(s=2a)
f(a/s)
1
a/s=1/4 (s=4a)
0
0 π/2 π
γ
Figure 8:
Bemerkung:
Durch Integration kann man zeigen, dass die gesamte, auf der Oberfläche
induzierte Ladung gleich dem Betrag −q( a ) der Spiegelladung ist.
s
Bemerkung:
a
für s → ∞ d. h.
s → 0
( a
f →
s)
a s
σ = −
q ( a
) ∫
( a
; σdF = −q .
4πa 2 s F
s)
a
Für s → a,
s → 1 verhält sich s ( a
)
a f wie eine δ-Funktion.
s
13 Green’sche Funktion der Kugel (Fig. 9)
G (r, r ′ ) =
1
|r − r ′ | + f (r, r′ ) .
In diesem Beispiel liegt das Volumen V ausserhalb der Kugel. Eine Einheitsladung
q = 1 befindet sich am Ort P ′ = (r ′ , θ ′ , φ ′ ). Die Variable r = (r, θ, φ)
ist die Ortskoordinate des Aufpunktes P. Für Φ = 0 auf der Oberfläche der
22

z
P’
a
φ’
θ’
r’
r
P
y
x
Figure 9:
Kugel ist das Potential durch
Φ (r) =
q q( a
|r − s| − s )
( ) a
2
|r − s|
s 2
gegeben. Deshalb setzen wir für Dirichlet’sche Randbedingungen G D = 0,
q = 1, s = r ′ , d. h.
a
G D (r, r ′ 1
) =
|r − r ′ | − (
r ′
a
) 2
= 0 für a = 1
r
|r − r′ |
′
r ′
oder
G D (r, r ′ ) =
G D (r, r ′ ) =
1
(r ′2 + r 2 − 2rr ′ cos γ) 1 2
1
(r ′2 + r 2 − 2rr ′ cos γ) 1 2
−
(a/r ′ )
(r 2 + a4
r ′2 − 2 ( a
r ′ ) 2
rr′ cos γ
− ( (rr
′
a
) 1
2
1
1
) 2 2
+ a 2 − 2rr ′ cos γ)
23

Bemerkung
1) G D (r, r ′ ) ist symmetrisch unter Austausch r ↔ r ′
2) G D = 0 für r = a oder r ′ = a.
Wir müssen ∂G ∣
D ∣∣∣r
berechnen.
∂n ′ ′ =a
Da V ausserhalb der Kugel liegt und n ′ die vom interessierenden Volumen
nach aussen gerichtete Normale ist, zeigt n ′ entlang r ′ in Richtung des Ursprungs.
V
∂G D
∂n ′
= − ∂G D
∂r ′
∂G D
∂n ′ ∣ ∣∣∣r ′ =a
= − 1 a
(r 2 − a 2 )
(r 2 + a 2 − 2ra cos γ) 3 2
(proportional zu der induzierten Ladung auf der Oberfläche).
Das Potential kann jetzt berechnet werden
∫
Φ (r) = G D (r, r ′ ) ρ (r ′ ) dr ′ − 1 ∫
Φ (r ′ ) ∂G D (r, r ′ )
4π
∂n ′
mit,
und
− 1 ∫
4π F
Einfaches Beispiel
Φ (r ′ ) ∂G D (r, r ′ )
dF ′
∂n ′
= 1 ∫ ∫
4π
a 2 sin θ ′ dθ ′ dφ ′
} {{ }
dF =r ′2 dΩ ′
F
dF
Φ (a, θ ′ , φ ′ ) 1 (r 2 − a 2 )
a (r 2 + a 2 − 2ar cos γ) 3 2
cos γ = cos θ cos θ ′ + sin θ sin θ ′ cos (φ − φ ′ ) .
Lösung der Laplace Gleichung in V
ρ = 0 in V ;
Φ = A = konstant auf der Kugeloberfläche
wir setzen
ˆr = ẑ, d. h. θ = 0, cos γ = cos θ ′ ≡ µ
24

Φ (r) = A 4π a ( r 2 − a 2) ∫ 2π ∫ 1
dφ ′ dµ ( r 2 + a 2 − 2arµ ) − 3 2
0
−1
[
]
= A 1
a (r 2 − a 2 ) 1
2 ar (r 2 + a 2 − 2arµ) 1 2
−1
= A [
(r 2 − a 2 ) 1
2 r r − a − 1 ]
r + a
Φ(r) = Aa
r
⇒
E r = − ∂Φ
∂r = Aa
r 2
E r (a) = A a = 4πσ
σ ist die Oberflächenladungsdichte.
Die Gesamtladung
∫
Q = σdF = 1 A
4π a 4πa2 = Aa,
d.h. Φ (r) = Q , das Potential einer Punktladung Q!
r
25

14 Lösung der Poisson’schen oder
Laplace’schen Gleichung mit Hilfe einer
Entwicklung nach Basisfunktionen
Entwicklungen nach orthogonalen Funktionen
1) Wir betrachten ein abgeschlossenes Intervall (a,b) einer Variablen x mit
einem Satz (reeller oder komplexer) Funktionen u n (x) , n = 0, 1, 2..., die im
angegebenen Intervall quadratintegrabel und orthonormal seien, d.h
∫ b
a u∗ n (x) u m(x) dx = δ nm = 1 m = n
= 0 m ≠ n
oder 〈u n |u m 〉 = δ nm .
2) Eine beliebige auf dem Intervall (a, b) quadratintegrable Funktion lässt
sich in eine Reihe entwickeln
∫ b
a
f (x) =
∞∑
a m u m (x)
m=1
u ∗ n f(x) dx = ∑ m
∫ b
a m u ∗ n(x)u m (x) dx
a
= ∑ m
a m δ nm
= a n
a n = 〈u n |f〉 .
3) Vollständigkeit
f (x) = ∑ m
a m u m (x)
f (x) =
= ∑ m
∫ b
a
{∫ b
}
u ∗ m (x′ )f(x ′ ) dx ′ u m (x)
a
{ ∑
m
}
u ∗ m (x′ )u m (x) f(x ′ ) dx ′
26

oder
Beispiel:
∑
u ∗ m (x′ )u m (x) = δ (x − x ′ ) .
Die trigonometrischen Funktionen:
m
Im Intervall (− a 2 , a ) sind die entsprechenden orthonormalen Funktionen
2
√
2
a sin ( 2πmx
a
)
,
√
2
a
cos
2πmx
a
und die Entwicklung heisst Fourier-Reihe
f (x) = 1 2 a 0 +
∞∑
m=1
{
a m cos
( ) ( )}
2πmx
2πmx
+ b m sin
a
a
oder
f (x) =
∞ ∑
m=−∞
c m e
i(
2πmx
a ) .
27

15 Laplace’sche Gleichung
Trennung der Variablen
Die Laplace’sche Gleichung lässt sich in elf Koordinatensystemen separieren
(Morse and Feshbach, Methods of Theoretical Physics, S. 509 - S. 655).
Kartesische Koordinaten
∇ 2 Φ = 0
∂ 2 Φ
∂x + ∂2 Φ
2 ∂y + ∂2 Φ
2 ∂z = 0 2
Separationsansatz Φ (x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) :
⇒ 1 ∂ 2 X
X(x) ∂x + 1
2 Y (y)
1
Φ ∇2 Φ = 0
∂ 2 Y
∂y + 1
2 Z(z)
∂ 2 Z
∂z 2 = 0.
Soll die Gleichung für beliebige Werte der Variablen gelten, dann muss jeder
Term gleich einer Konstanten sein. Wir setzen
1 ∂ 2 X
X ∂x = 2 −α2 ; Separationskonstante − α 2
1 ∂ 2 Y
Y ∂y = 2 −β2 ; Separationskonstante − β 2
1 ∂ 2 Z
Z ∂z = 2 γ2
mit γ 2 − β 2 − α 2 = 0
oder γ 2 = α 2 + β 2 ist positiv
für α 2 , β 2 positiv
(da die Summe aller Konstanten gleich Null ist, muss mindestens einer positiv
sein).
Das Potential setzt sich zusammen aus dem Produkt
Φ = e ±iαx e ±iβy e ± √α 2 +β 2z .
Wir spezifizieren jetzt die Randbedingungen.
Beispiel:
28

z
V(x,y)
c
b
y
a
x
Figure 10:
Potential innerhalb eines Hohlquaders.
Fünf Flächen sind auf dem Potential Φ = 0 gehalten. Die Fläche z = c ist
auf dem Potential V (x, y) gehalten.
1. Randbedingung:
Φ = 0 für x = 0, y = 0, und z = 0
X = sin (α x)
Y = sin (β y)
(√ )
Z = sinh α2 + β 2 z .
2. Randbedingung:
Φ = 0 bei x = a und y = b
⇒ αa = nπ, βb = mπ
wir definieren
α n = nπ a , β m = mπ
b
( ) 1
n
2
γ nm = π
a + m2 2
2 b 2
⇒ Φ nm = sin(α n x) sin (β m y) sinh (γ nm z)
die Basisfunktionen.
29

3. Randbedingung:
Φ (x, y, c) = V (x, y)
Die Randbedingung erfüllen wir mit der Entwicklung
für z = c gilt
Φ (x, y, z) =
V (x, y) =
=
∞∑
A nm Φ nm (x, y, z)
n,m=1
∞∑
A nm sin(α n x) sin (β m y) sinh (γ nm z)
n,m=1
∞∑
A nm sin(α n x) sin (β m y) sinh (γ nm c)
n,m=1
eine doppelte Fourier-Reihe für die Funktion V . Daher ergibt sich für die
Koeffizienten
Bemerkung
A nm =
4
ab sinh(γ nm c)
∫ a
0
dx
∫ b
Da die allgemeine Lösung
∫
Φ (r) = ρ (r ′ ) G D (r, r ′ )dr ′ − 1 ∫
4π
V
0
dy V (x, y) sin (α n x) sin (β m y)
F
Φ (r ′ ) ∂G D
∂n ′ dF
ist, und in dem Beispiel ρ ≡ 0, entspricht die Lösung oben einer Darstellung
des Oberflächenintegrals.
16 Laplace’sche Gleichung in Kugelkoordinaten
In Kugelkoordinaten (r, θ, φ) lautet die Gleichung
1 ∂ 2
r ∂r (rΦ) + 1 (
∂
sin θ ∂Φ )
1 ∂ 2 Φ
+
2 r 2 sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ = 0 2
Ansatz
Φ = U(r) P (θ)Q(φ)
r
30

⇒ P Q d2 U
dr + UQ (
d
sin θ dP )
+ UP d 2 Q
2 r 2 sin θ dθ dθ r 2 sin 2 θ dφ = 0 2
multiplizieren mit
r 2 sin 2 θ
P QU
[ 1
r 2 sin 2 d 2 U
θ
U dr + 1 (
1 d
sin θ dP )]
+ 1 d 2 Q
2 r 2 sin θ P dθ dθ Q dφ = 0. 2
Der letzte Term hängt nur von φ ab und muss daher gleich einer Konstanten
sein. Wir wählen
1 d 2 Q
Q dφ = 2 −m2
mit Lösungen
Q = e ±imφ
Randbedingung:
oder
e imφ = e im(φ+2π)
m muss eine ganze Zahl sein.
Wir dividieren durch sin 2 θ
wir setzen
(eindeutige Lösung)
e i2πm = 1, m = 0, ± 1, ± 2 usw.
r 2 d 2 U
U dr + 1 1
2 sin θ P
r 2
U
d 2 U l (l + 1)
− U = 0
dr2 r 2
mit dem Ansatz
U(r) ∼ r n
(
d
sin θ dP )
− m2
dθ dθ sin 2 θ = 0
d 2 U
= l (l + 1) eine Konstante
dr2 n(n − 1)r n−2 − l(l + 1)r n−2 = 0
n = l + 1 oder n = −l,
d.h. U(r) = Ar l+1 + Br −l
31

17 Die θ-Gleichung
(
1 d
sin θ dP )
]
+
[l(l + 1) − m2
sin θ dθ dθ
sin 2 P = 0
θ
mit µ = cos θ, dµ = − sin θdθ erhalten wir
[
d (1 ) ]
]
− µ
2 dP (µ)
+
[l (l + 1) − m2
P (µ) = 0
dµ
dµ
(1 − µ 2 )
Diese Gleichung heißt die zugeordnete Legendresche Differentialgleichung.
Für den Spezialfall m 2 = 0 reduziert sich die Gleichung auf
[
d (1 ) ]
− µ
2 dP (µ)
+ l (l + 1) P (µ) = 0.
dµ
dµ
die gewöhnliche Legendresche Differentialgleichung.
Die Lösungen dieser Gleichung sind Potenzreihen und heißen Legendre-
Polynome P l (µ), wobei man zeigen kann (Jackson S. 115 oder Magnus -
Oberhettinger: ”Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der mathematischen
Physik”), dass l gleich Null oder eine positive ganze Zahl ist.
[l/2]
∑
P l (µ) = (−1) k (2l − 2k)!
2 l k!(l − k)!(l − 2k)! µl−2k
k=0
wobei [l/2] = l/2, l gerade
Formel von Rodrigues
= (l − 1)/2, l ungerade
P l (µ) = 1 d l (
µ 2 − 1 ) l
2 l l! dµ l
mit P 0 (µ) = 1
folgt P 1 (µ) = µ
P 2 (µ) = 1 (
3µ 2 − 1 )
2
P 3 (µ) = 1 (
5µ 3 − 3µ )
2
Parität P l (−µ) = (−1) l P l (µ)
32

Rekursionsrelation z. B.
(l + 1) P l+1 (µ) − (2l + 1) µP l (µ) + lP l−1 (µ) = 0.
Die P l (µ) stellen ein vollständiges Orthogonalsystem auf dem Intervall
dar. Sie sind orthogonal
−1 ≤ µ ≤ +1 (oder π ≥ θ ≥ 0)
∫ 1
−1
P l ′ (µ) P l (µ) dµ =
2
(2l + 1) δ l ′ l.
Eine Funktion f (µ) im Intervall −1 ≤ µ ≤ 1 kann nach Legendre-Polynomen
entwickelt werden
f (µ) =
oder f (θ) =
∞∑
a l P l (µ)
l=0
∞∑
a l P l (cos θ)
l=0
mit Koeffizienten a l = 2l + 1
2
∫ 1
−1
f (µ) P l (µ)dµ.
0 ≤ θ ≤ π
18 Randwertprobleme mit Azimutalsymmetrie
Azimutale Symmetrie bedeutet m = 0. Die Lösung der Laplace’schen Gleichung
lautet
Φ (r) = U l (r)
P l (cos θ)
r
und die allgemeine Lösung
Φ (r, θ) =
∞∑ [
Al r l + B l r −(l+1)] P l (cos θ) .
l=0
Beispiel:
33

Das Potential auf der Oberfläche einer Kugel Radius R sei gleich V (θ).
Gesucht werde das Potential innerhalb der Kugel. Da V (θ) (und nicht
V (θ, φ)) bestimmt ist, hat das Problem azimutale Symmetrie
V (θ) = Φ (R, θ)
= ∑ A l R l P l (cos θ),
l
d. h., dass alle B l gleich Null sind, da das Potential endlich im Ursprung sein
muss. Die A l sind gegeben durch
∫
π
(2l + 1)
A l = V (θ) P
2R l
l (cos θ) sin θdθ.
Bemerkung
0
Wir können die Lösung von Potentialproblemen aus der Kenntnis des Potentials
auf der Symmetrieachse herleiten.
Φ (r, θ) = ∑ l
(
Al r l + B l r −(l+1)) P l (cos θ)
Φ (r, θ = 0) = ∑ l
(
Al r l + B l r −(l+1))
Beispiel:
(F ig.11)
da P l (1) = 1
Das Potential Φ (r), das von einer Einheitsladung an der Stelle r ′ herrührt,
wird entwickelt
Φ (r) =
1
|r − r ′ | = 1
.
(r 2 + r ′2 − 2rr ′ cos γ) 1 2
Man dreht die Achsen so, dass r ′ auf der z-Achse liegt, d. h. γ = θ. Dann
setzen wir θ = 0, d. h. ˆr=ˆr ′ 1
|r − r ′ | = 1
|r − r ′ | .
34

z
q=1
r’
r
γ
y
x
Figure 11:
Nehmen wir an r > r ′
1
= 1 ) −1 (1 − r′
r − r ′ r r
(
= 1 ( ) r
′
1 +
r r
+ 1 · 2
2!
) 2 (− r′
− 1 · 2 · 3
r 3!
) 3 (− r′
+ . . .)
r
1
|r − r ′ | = 1 r
oder für r < r ′
d.h.
∞∑
( r
′
l=0
1
|r − r ′ | = 1 ∑ ∞
r ′
∞
1
|r − r ′ | = ∑
l=0
l=0
r<
l
r>
l+1
r
) l
( r
r ′ ) l
,
, für Punkte auf der z − Achse.
Für Punkte ausserhalb der z−Achse braucht man nur jeden Term mit P l (cos γ)
zu multiplizieren
1
|r − r ′ | = ∑ ∞ r<
l P l (cos γ).
l=0
r l+1
>
35

19 Die zugeordneten Legendreschen Funktionen
Bisher haben wir nur Potentialprobleme mit azimutaler Symmetrie behandelt.
I. a. kann das Potential auch in azimutaler Richtung variieren. Wir
benötigen dann die Verallgemeinerung von P l (cos γ) , d. h. die endliche eindeutige
Lösung von
d
dµ
[ (1
− µ
2 ) dP
dµ
]
+
]
[l (l + 1) − m2
P = 0
(1 − µ 2 )
mit beliebigem l und m. Es lässt sich zeigen, dass für endliche Lösungen auf
dem Intervall −1 ≤ µ ≤ 1 der Parameter l entweder Null oder eine ganze
Zahl sein muss, und dass das ganzzahlige m nur die Werte −l, −(l − 1),
. . . 0 . . . (l − 1), l annehmen kann.
Die Lösungen mit diesen Eigenschaften werden zugeordnete Legendre’sche
Funktionen Pl
m (µ) genannt.
Rodriguesformel
Für m > 0,
Pl
m (µ) = (−1) m (1 − µ 2 m/2
dm
)
dµ P m l (µ)
P m
l
(µ) = (−1)m
2 l l!
(
1 − µ
2 ) m/2 d l+m
dµ l+m (
µ 2 − 1 )l .
20 Die Kugelflächenfunktion
Für festes m bilden die Pl
m (µ) auf dem Intervall −1 ≤ µ ≤ 1 einen Satz
orthogonaler Funktionen bzgl. des Index l.
Orthogonalität
∫ 1
−1
P m
l
(µ) Pl m
2
′ (µ) dµ =
2l + 1
(l + m)!
(l − m)! δ ll ′
Die Funktionen Q m = e imφ bilden im Intervall 0 ≤ φ ≤ 2π einen vollständigen
Satz orthogonaler Funktionen. Die Produktfunktionen Pl
m (cos θ)e imφ bilden
36

einen vollständigen Satz orthogonaler Funktionen auf der Oberfläche der Einheitskugel.
Normiert lauten die Kugelflächenfunktionen Y lm (θ, φ)
Orthonormalität
Vollständigkeit
∞∑
Y lm (θ, φ) =
√
0 ≤ l ≤ ∞
−l ≤ m ≤ l
mit Y l,−m = (−1) m Y ∗
lm
∫
0
∑+l
l=0 m=−l
2π
∫
dφ
Y ∗
0
π
(2l + 1) (l − m)!
Pl
m (cos θ) e imφ
4π (l + m)!
sin θdθY ∗
l ′ m ′ (θ, φ) Y lm (θ, φ) = δ l ′ lδ m ′ m
lm (θ ′ , φ ′ ) Y lm (θ, φ) = δ (cos θ − cos θ ′ ) δ (φ − φ ′ ) .
Es lässt sich eine beliebige Funktion f (θ, φ) entwickeln
f (θ, φ) = ∑ ∑
A lm Y lm (θ, φ)
l m
∫
mit A lm = dΩ Ylm ∗ (θ, φ) f (θ, φ)
⎛
⎞
∫ ∫ 2π ∫ π
⎝ dΩ = dφ sin θdθ⎠ .
0
0
Die allgemeine Lösung des Randwertproblems lautet,
Φ (r, θ, φ) =
∞∑
∑+l
l=0 m=−l
[
Alm r l + B lm r −(l+1)] Y lm (θ, φ) .
37

z
r’
θ
’
γ
r
φ
’
θ
φ
y
x
Figure 12:
21 Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen
(Jackson S.129), (Fig.12)
r = (r, θ, φ) , r ′ = (r ′ , θ ′ , φ ′ ) ,
P l (cos γ) = P l (ˆr ′ · ˆr)
= 4π
(2l + 1)
∑+l
m=−l
Y ∗
lm (ˆr ′ ) Y lm (ˆr)
wobei Y lm (ˆr) ≡ Y lm (Ω) ≡ Y lm (θ, φ)
cos γ = cos θ cos θ ′ + sin θ sin θ ′ cos (φ − φ ′ )
22 Green’sche Funktion
∞
1
|r − r ′ | = 4π ∑
∑+l
l=0 m=−l
1
(2l + 1)
r<
l
r>
l+1
Y ∗
lm (θ ′ , φ ′ ) Y lm (θ, φ)
38

23 Laplace’sche Gleichung in Zylinderkoordinaten
z
z
r
φ
ρ
y
x
Figure 13:
Laplace’sche Gleichung
r = (ρ, φ, z) , (F ig.13)
Der Separationsansatz
∂ 2 Φ
∂ρ + 1 ∂Φ
2 ρ ∂ρ + 1 ∂ 2 Φ
ρ 2 ∂φ + ∂2 Φ
2 ∂z = 0. 2
Φ (r) = R (ρ) Q (φ) Z (z)
39

führt auf drei gewöhnliche Differentialgleichungen
1.
2.
3.
d 2 Z
dz 2 − k2 Z = 0
d 2 Q
dφ 2 + m2 Q = 0
d 2 R
dρ + 1 ( )
dR
2 ρ dρ + k 2 − m2
ρ R = 0
2
1. hat die Lösung Z(z) = e ±kz
2. hat die Lösung Q(φ) = e ±imφ
für eine eindeutige Lösung ist m ganzzahlig.
In der Radialgleichung 3. führen wir x = kρ ein.
d 2 R
dx + 1 ( )
dR
2 x dx + 1 − m2
R = 0
x 2
die Bessel’sche Differentialgleichung.
Die Lösungen sind Bessel Funktionen der Ordnung m
( x
) m ∑ ∞
(−1) j ( x
J m (x) =
2 j! (j + m)! 2
j=0
und J −m (x) = (−1) m J m (x).
Die zweite linear unabhängige Lösungen sind die Neumann’schen Funktionen
Wichtig
N m (x) = J m(x) cos (mπ) − J −m (x)
.
sin (mπ)
) 2j
für x → 0
( x
) m
J m (x) ∼ regulär
2
( ) m 2
N m (x) ∼ , m > 0 irregulär.
x
40

24 Asymptotische Entwicklung
x ≫ 1, m √
2
(
J m (x) →
πx cos x − mπ
2 − π )
√ 4
2
(
N m (x) →
πx sin x − mπ
2 − π )
,
4
d.h. jede Besselfunktion hat unendlich viele Nullstellen x mn , n = 1, 2 . . .
J m (x mn ) = 0.
Die Funktionen √ ρJ m (x mn ρ/a) zu festem m und n = 1, 2 . . . auf dem Intervall
0 ≤ ρ ≤ a bilden einen Satz orthogonaler Funktionen.
Orthogonalität
Vollständigkeit
∫ a
0
ρJ m (x mn ′ ρ/a) J m (x mn ρ/a) dρ
= a2
2 [J m+1 (x mn )] 2 δ n ′ n.
f (ρ) =
die Fourier-Bessel Reihe, mit
A mn =
∞∑
A mn J m (x mn ρ/a)
n=1
2
a 2 J 2 m+1 (x mn)
∫ a
0
f (ρ) J m (x mn ρ/a) ρdρ.
25 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten
Gesucht wird das Potential innerhalb des Zylinders.
Nehmen wir als Beispiel an
Φ = 0 bei z = 0.
41

z
Φ=V( ρ, φ)
Φ=0
y
x
Φ=0
Figure 14:
Dann gilt
Mit
ist
Φ (ρ, φ, z) =
da Φ regulär bei
∞∑
m=0
Z(z) = sinh(kz)
Q(φ) = A sin mφ + B cos mφ
R (ρ) = CJ m (kρ)
ρ = 0 sein muß.
Φ (ρ = a) = 0
k mn = x mn
, n = 1, 2, 3 . . . .
a
∞∑
J m (k mn ρ) sinh(k mn z) (A mn sin(mφ) + B mn cos(mφ))
n=1
eine Fourier-Reihe in φ und einer Fourier-Bessel-Reihe in ϱ. In dem Grenzfall
a → ∞ geht die Reihe in ein Integral über
∞∑
∫ ∞
Φ (ρ, φ, z) = dk e −kz J m (kρ) [A m (k) sin (mφ) + B m (k) cos (mφ)] .
m=0
0
26 Die Multipolentwicklung:
Betrachten wir eine lokalisierte Ladungsverteilung mit Ladungsdichte ρ (r ′ )
und ρ (r ′ ) = 0 für r ′ > R (Fig.15). Das Potential für beliebige r > R lautet
42

R
ρ( r )
Figure 15:
i. A.
∑ [
Alm r l + B lm r −l−1] Y lm (θ, φ) .
Φ (r, θ, φ) = ∑ l
m
43

Eine Lösung für r > R, die regulär im Grenzfall r → ∞ ist, hat die Form
Φ (r, θ, φ) = ∑ l
∑
B lm r −l−1 Y lm (θ, φ).
Wir bestimmen die B lm durch
∫
ρ (r ′ )
Φ (r) =
|r − r ′ | dr′ für r > r ′
∫
Φ (r) = dr ′ ρ (r ′ ) ∑ ∑ 4π (r ′ ) l
(2l + 1) r l+1
l m
= ∑ ∑
{∫
}
ρ (r ′ ) (r ′ ) l Ylm ∗ (θ ′ , φ ′ ) dr ′
l m
m
Y ∗
lm (θ′ , φ ′ ) Y lm (θ, φ)
4π
2l + 1
1
r l+1 Y lm (θ, φ) ,
d.h.
mit
∫
q lm =
B lm ≡
4π
2l + 1 q lm
ρ (r ′ ) (r ′ ) l Y ∗
lm (θ′ , φ ′ ) dr ′
und
Φ (r) = ∑ l
∑ 4π
(2l + 1) q Y lm (θ, φ)
lm .
r l+1
m
Diese Gleichung ist die Multipolentwicklung des Potentials
Man nennt die Koeffizienten q lm die elektrischen Multipolmomente
der Ladungsverteilung.
mit 2l + 1 Komponenten −l ≤ m ≤ l
Für l = 0 Monopolmoment
Für l = 1 Dipolmoment
Für l = 2 Quadrupolmoment
q l,−m = (−1) m q ∗ lm .
44

27 Kartesische Koordinaten
Das Monopolmoment
q 00 = √ 1 ∫
4π
wobei L die Gesamtladung ist.
Bemerkung:
ρ (r ′ ) dV =
L √
4π
Für ρ (r ′ ) = ρ (r ′ ) verschwinden alle Multipolmomente l > 0 da
∫
∫
Ylm ∗ (θ′ , φ ′ ) dΩ ′ ∝ Ylm ∗ (θ′ , φ ′ ) Y 00 (θ ′ , φ ′ ) dΩ ′ = δ l0 δ m0
Das Dipolmoment
hat drei Komponenten
√ ∫ 3
q 10 = z ′ ρ (r ′ ) dV
4π
√ ∫ 3
q 11 = − (x ′ − iy ′ )ρ (r ′ ) dV
8π
und q 1−1 = q11
∗
Das Vektordipolmoment ist definiert durch
∫
p = r ′ ρ (r ′ ) dV,
d.h. q 10 =
√
3
4π p z,
√
3
q 11 = −
8π (p x − ip y ).
Das Quadrupolmoment
q 20 = 1 √ ∫ 5
2 4π
√ ∫ 15
q 21 = −
8π
q 22 = 1 √ ∫ 15
4 2π
(3z ′2 − r ′2 )ρ (r ′ ) dV
z ′ (x ′ − iy ′ )ρ (r ′ ) dV
(x ′ − iy ′ ) 2 ρ (r ′ ) dV.
45

Das Quadrupolmoment Q ist der symmetrische spurlose Tensor
Q ij =
∫ (3x
′
i x ′ j − r ′2 δ ij
)
ρ (r ′ ) dV
wobei (x 1 , x 2 , x 3 ) ≡ (x, y, z)
mit fünf unabhängigen Komponenten.
Es gilt
q 20 = 1 √
5
2 4π Q 33
q 21 = − 1 √
15
3 8π (Q 13 − Q 23 )
q 22 = 1 √
15
12 2π (Q 11 − 2iQ 12 − Q 22 ) .
Bezüglich q, p und Q lässt sich Φ (r) entwickeln
Φ (r) = q r + p · r
r 3 + 1 2
28 Das elektrische Feld
sind die Feldkomponenten
∑
ij
Q ij
x i x j
r 5 + . . .
E = −∇Φ
mit Φ (r) = ∑ ∑ 4π
2l + 1 q Y lm (θ, φ)
lm
r l+1
l m
( ∂
und ∇ r =
∂r , 1 )
∂
r ∂θ , 1 ∂
r sin θ ∂φ
Y lm
E r = ∑ (l + 1)
4π
(2l + 1) q lm
r l+2
lm
E θ = − ∑ 4π
(2l + 1) q 1 ∂Y lm
lm
r l+2 ∂θ
lm
E φ = − ∑ 4π
(2l + 1) q 1
lm
r i m
l+2 sin θ Y lm
lm
46

Beispiel:
Ein Dipol längs der z−Achse (Fig.16).
z’
e
-e
a
θ
O
-a
Figure 16:
r
ρ (r ′ ) = [eδ(z ′ − a) − eδ(z ′ + a)] δ (x ′ ) δ (y ′ )
q 00 = √ 1 ∫
ρ (r ′ ) dV = √ 1 (e − e) = 0
4π 4π
√ ∫ 3 ∞
q 11 = 0 ; q 10 =
4π e z ′ (δ (z ′ − a) − δ (z ′ + a))dz ′
−∞
√ √
3 3
=
4π 2ae = p d. h. p = 2ae
4π
Für r ≫ 2a,
Φ = 4π √
3
3 4π pY 10
r = p cos θ
2 r 2
2p cos θ
E r = , E
r 3 0 = p sin θ , E
r 3 φ = 0.
I. a. das Feld am Punkt r, das von einem Dipol am Ort r 0 herrührt, lautet
E (r) = 3n ( p · n ) − p
|r − r 0 |
( )
3
n = ̂r − r 0 .
47

Mit
r 0 = 0, n = ˆr, E r = n · E = 3p · n − p · n
=
r 3
2p cos θ
r 3
u.s.w..
r
r-r 0
r 0
n
p
Figure 17:
29 Energie einer Ladungsverteilung im äußeren
Feld
Bringt man ρ (r) in ein äußeres Feld mit dem Potential Φ (r), so ist die
elektrostatische Energie des Systems
∫
W = ρ (r) Φ (r) dV.
Wenn sich Φ in dem Gebiet in dem ρ ungleich Null ist nur wenig ändert,
kann es entwickelt werden
Φ (r) = Φ (0) + r · ∇Φ| 0 + 1 ∣
∑∑
∂ 2 Φ ∣∣∣0
x i x j + . . .
2 ∂x i ∂x j
i
j
oder
Φ (r) = Φ (0) − r · E (0) − 1 ∑∑
∂E j
x i x j (0) + . . . .
2 ∂x i
i
j
48

Für das äußere Feld gilt
∇ · E = 0 ,
∑
i
∂E i
∂x i
= 0,
d.h.
oder
1∑
2
i
∑
j
∂E j
x i x j = 1 ∑
∂x i 6
i
∑
j
(
3xi x j − r 2 δ ij
) ∂E j
∂x i
∫
∫
W = ρ (r) Φ (0) dV − ρ (r) r · E (0) dV
− 1 ∑
∫
ρ (r) ( ∣
)
3x i x j − r 2 ∂E j∣∣∣0
δ ij
6
∂x i
ij
W = LΦ (0) − p · E (0) − 1 6
∑
ij
Q ij
∂E j
∂x i
(0) + . . . .
Dies zeigt wie die verschiedenen Multipole mit dem äußeren Feld wechselwirken:
Ladung mit Potential. Der Dipol mit dem Feld, der Quadrupol mit
dem Feldgradient.
Beispiel: (Fig.18)
Das Feld eines Dipols p 1
am Punkt r 1 ist
( )
3n p 1 · n − p 1
E (r 2 ) =
mit
r 3
r = r 1 − r 2 , n = ̂ r 1 − r 2 .
Wie Wechselwirkungsenergie zwischen den zwei Dipolen p 1
und p 2
ist dann
W 12 = −p 2 · E =
) )
p 1 · p 2
− 3
(n · p 2
(n · p 1
|r 1 − r 2 | 3
Bemerkung: symmetrisch unter Austausch von 1 und 2.
49

p 1 −
r
−1
−
r 2
− p 2
Figure 18:
30 Die Magnetostatik
Ladungserhaltung : Kontinuitätsgleichung
∂ρ
∂t + ∇ · j = 0.
In der Elektrostatik ist j = 0 ⇒ ∂ρ
∂t = 0.
Stationäre magnetische Erscheinungen sind dadurch charakterisiert, dass sich
die Ladungsdichte insgesamt an keinem Raumpunkt ändert, d.h. j ≠ 0 aber
⇒
∇ · j = 0
∂ρ
∂t = 0 .
Biot und Savart (1820) und Ampère (1820-25) stellten die Grundgesetze auf,
welche die magnetische Induktion B mit den Strömen j verknüpfen.
Die grundlegende Beziehung: Das Biot-Savart’sche Gesetz.
Bedeutet dl ein Linienelement eines dünnen Drahtes (Fig.19), der vom Strom
I durchflossen wird und r den Radiusvektor zum Aufpunkt P , ist das Flussdichteelement
dB am Punkt P durch
(dl ∧ r)
dB = kI
|r| 3
50

I
dl
dB
r
P
Figure 19:
gegeben.
In Gauß’schen Einheiten k = 1 , wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist.
c
Bemerkung:
Idl = jdV.
Man kann die fundamentalen Elemente dB durch Integration linear superponieren.
So ist z. B. die magnetische Induktion B eines langen geraden
Drahtes, der vom Strom I durchflossen wird, senkrecht zur Ebene gerichtet
(Fig.20),
B
dl
l
θ
r
O
R
P
Figure 20:
51

d.h. die Feldlinien bilden konzentrische Kreise um den Draht mit
|B| = I ∞∫
sin θ
c r dl = IR ∞∫
dl
.
2 c (l 2 + R 2 ) 3 2
Wir transformieren
|B| = 2I
cR
−∞
−∞
z ≡ l R , dz = 1 R dl
|B| = IR c
∞∫
1
R 2
−∞
dz
.
(z 2 + 1) 3 2
Das Biot-Savart’sche Gesetz.
31 Das Ampère’sche Kraftgesetz
Das Kraftgesetz für die auf ein Stromelement I 1 dl 1 wirkende Kraft bei Anwesenheit
einer magnetischen Induktion B lautet
Bemerkung: Für eine Punktladung
dK = I 1
c (dl 1 ∧ B)
I 1 dl 1 = qv 1
die Lorentzkraft.
dK = q c (v 1 ∧ B)
32 Kraft zwischen zwei Stromschleifen
Rührt das Feld B von einer geschlossenen Stromschleife 2 mit dem Strom
I 2 her, dann wirkt auf eine geschlossene Stromschleife 1 mit dem Strom I 1
(Fig.21), insgesamt die Kraft
K 12 = I 1I 2
c 2 ∮1
∮
2
52
dl 1 ∧ (dl 2 ∧ r 12 )
r 3 12

da
B = I 2
c
∮
2
dl 2 ∧ r 12
.
r12
3
I 1
I 2
dl r
1
12
dl
2
r
1
r
1 2
2
Figure 21:
Es gilt
dl 1 ∧ (dl 2 ∧ r 12 )
r 3 12
= − (dl 1 · dl 2 ) r 12
r 3 12
( ) dl1 · r
+ dl 12
2 .
r12
3
53

Der zweite Term enthält bez. dl 1 ein totales Differential
∮
∮
dl 1 · r12
1
= dl
1 r12
3 1 · ∇ r1
|r 12 | = 1 ∣
∣∣∣limes
= 0
r 12
wenn der Weg geschlossen ist, oder sich ins Unendliche streckt.
K 12 = −I ∮ ∮
1I 2
c 2
Das Ampère’sche Kraftgesetz
Bemerkung:
dl 1 · dl 2
r 12
r 12
3 .
K 21 = −K 12 (r 21 = −r 12 ) .
33 Die Differentialgleichungen der Magnetostatik
Für eine Stromdichte j
B (r) = 1 c
∫ j (r ′ ) ∧ (r − r ′ )
|r − r ′ | 3 dr ′
mit
Identität
r − r ′
B (r) = − 1 c
|r − r ′ | 3 = −∇ r
∫
( ) 1
,
|r − r ′ |
j (r ′ ) ∧ ∇ r
( 1
|r − r ′ |
)
dr ′ .
∇ ∧ (ψa) = (∇ψ ∧ a) + ψ (∇ ∧ a) .
Für Skalarfeld ψ (r) und Vektorfeld a(r ′ ) , d.h.
ist
ψ (r) =
1
|r − r ′ | , a = j (r′ )
∇ r ∧ j (r ′ ) = 0
54

d.h.
j (r ′ ) ∧
( ) (
)
1
∇ r = −∇
|r − r ′ r ∧ j (r ′ 1
)
|
|r − r ′ |
B (r) = 1 ∫
c ∇ j (r ′ )
r ∧
|r − r ′ | dr′ .
Da ∇ r · ∇ r ∧ A = 0 für beliebiges Vektorfeld A (r) ist
∇ · B (r) = 0 ,
eine Maxwellsche Gleichung.
Wir brauchen jetzt die Rotation von B
∇ ∧ B = 1 c ∇ ∧ ∇ ∧ ∫
j (r ′ )
|r − r ′ | dr′ .
Mit
lässt sich ∇ ∧ B in
∇ ∧ (∇ ∧ A) = ∇ (∇ · A) − ∇ 2 A
∇ ∧ B = 1 c ∇ r
∫
j (r ′ ) · ∇ r
1
|r − r ′ | dr′
− 1 c
∫
j (r ′ ) ∇ 2 1
r
|r − r ′ | dr′
umformen. Unter Verwendung von
∇ r
1
|r − r ′ | = −∇ r ′ 1
|r − r ′ |
und
∇ 2 r
1
|r − r ′ | = −4πδ (r − r′ )
kann man
∇ ∧ B = − 1 c ∇ r
∫
j (r ′ 1
) · ∇ r ′
|r − r ′ | dr′ + 4π c j (r)
55

schreiben. Aber
∫
j (r ′ ) · ∇ r ′
1
|r − r ′ | dr′ = j ∫ (r′ )
|r − r ′ | | ∇r ′ · j (r ′ )
r ′ →∞ −
dr ′
|r − r ′ |
= 0 da j lokalisiert ist und ∇ · j = 0
d.h.
∇ ∧ B = 4π c j (r) ,
die zweite Grundgleichung der Magnetostatik.
Vergleich
Magnetostatik Elektrostatik
∇ ∧ B = 4π c j
∇ · E = 4πρ
∇ · B = 0 ∇ ∧ E = 0
.
34 Das Vektorpotential
Für den Fall j = 0 (Teilbereich des Gesamtraumes) gilt
∇ ∧ B = 0,
d.h.
B = −∇Φ M
und mit
∇ · B = 0
erfüllt Φ M die Laplace’sche Gleichung
∇ 2 Φ M = 0.
Im Allgemeinen aber gilt ∇ · B = 0 für den gesamten Raum.
So muss B die Rotation eines Vektorfeldes sein
B = ∇ ∧ A.
56

Wir haben B schon in dieser Gestalt dargestellt
B = 1 ∫
c ∇ j (r ′ )
r ∧
|r − r ′ | dr′
d.h., da
∇ ∧ ∇ψ = 0,
A = 1 ∫
c
j (r ′ )
|r − r ′ | dr′ + ∇ψ (r) ,
wobei ψ eine beliebige Skalarfunktion ist. D. h. man kann das Vektorpotential
bei gegebener magnetischer Induktion B der frei wählbaren Transformation
A → A + ∇ψ
unterwerfen. Eine solche Transformation nennt man
Eichtransformation.
35 Integralform von ∇ ∧ B = 4π c j
n
dF
S
C
dl
Figure 22:
Man integriert die Normalkomponente dieser Gleichung über eine offene
Fläche S mit der geschlossenen Berandung C (Fig.22).
∫
(∇ ∧ B) · n dF = 4π ∫
j · n dF
c
F
57
F

man verwendet den Stokesschen Satz
∫
C
B · dl = 4π c
∫
F
j · dF .
Das Oberlächenintegral über die Stromdichte ist gleich dem Gesamtstrom I
durch die Fläche, die von der geschlossenen Kurve C umrandet wird, d.h.
∮
B · dl = 4π c I
das Ampersche Durchflutungsgesetz.
Z.B. (siehe Fig.23)
I
R
B
Figure 23:
B(2πR) = 4π c I
B = 2I
cR ,
das Biot-Savart’sche Gesetz.
36 Eine differentielle Gleichung für A
B = ∇ ∧ A
∇ ∧ B = ∇ ∧ ∇ ∧ A
= 4π c j
∇ (∇ · A) − ∇ 2 A = 4π c j.
58

Wegen der Eichfreiheit setzen wir ∇ · A = 0 (die Coulomb-Eichung)
∇ 2 A = − 4π c j
d.h. jede kartesische Komponente des Vektorpotentials genügt der Poisson’schen
Gleichung mit Lösung in unbegrenztem freien Raum
A(r) = 1 c
∫
j (r ′ )
|r − r ′ | dr′ .
Die Coulombeichung ∇ · A = 0 bedeutet ∇ 2 ψ = 0 im gesamten Raum.
Wenn es im Unendlichen keine Quellen gibt kann ψ höchstens gleich einer
Konstanten sein.
37 Magnetfeld einer lokalisierten Stromverteilung
Wir betrachten eine Stromverteilung, die auf ein Gebiet beschränkt ist, dessen
Ausdehnung gegenüber der Entfernung des Aufpunktes von der Stromverteilung
klein ist (Fig. 24).
r
j(r’)
r’
Figure 24:
59

Da r ≫ r ′ , entwickeln wir
( (r
1
|r − r ′ | ≈ 1
|r| + r · ) )
r′
′ 2
|r| 3 + 0 r
∫
j (r ′ )
A(r) = 1 c
≈ 1
c |r|
|r − r ′ | dr′
∫
j (r ′ ) dr ′ +
r ∫
c |r| 3 ·
r ′ j (r ′ ) dr ′ + . . . .
Für jede der drei Komponenten,
A i = 1 ∫
j i (r ′ ) dr ′ + r ∫
cr
cr · 3
r ′ j i (r ′ ) dr ′ .
Satz
Seien f (r) und g (r) nichtsinguläre Funktionen. Dann gilt für ein lokalisiertes
und quellenfreies j (r)
∫ (fj
· ∇g + gj · ∇f
)
dr ′ = 0
Beweis
∫
gj · ∇fdr ′ = gfj | ∞ −∞ − ∫
f∇ · (gj ) dr ′
∫
= 0 −
∫
fg∇ · jdr ′ −
fj · ∇gdr ′ .
Mit ∇ · j = 0,
∫
∫
gj · ∇fdr ′ = −
∫ (fj
· ∇g + gj · ∇f
)
dr ′ = 0. Q. E. D.
fj · ∇gdr ′
60

Monopolterm
Wir setzen jetzt f = 1, g = x ′ k
∑
∫
∂g
j i dr ′ = ∑ ∂x ′ i i
i
∫
∫
j i δ ik dr ′ =
j k (r ′ ) dr ′ = 0
d.h.
Monopol.
∫
j (r ′ ) dV = 0, es gibt kein Monopolterm, d.h. kein magnetisches
Dipolterm
Jetzt setzen wir f = x ′ i ,
g = x′ k
∫ ( ∑
x ′ ∂x ′ k
i j l
∂x ′ l
l
+ x ′ k
∑
l
j l
∂x ′ i
∂x ′ l
)
dr ′
∫
=
(x ′ i j k + x ′ k j i) dr ′ = 0.
Es gilt
∫
r ·
r ′ j k (r ′ ) dr ′ = ∑ i
x i
∫
x ′ i j kdr ′
= 1 ∑
∫
x i
2
i
(x ′ ij k + x ′ ij k ) dr ′
= − 1 ∑
∫
x i
2
i
(x ′ kj i − x ′ ij k ) dr ′
= − 1 2
( ∫
r ·
∫
jx ′ k dr′ − r ·
r ′ j k dr ′ )
oder
∫
r ·
r ′ j (r ′ ) dr ′ = − 1 2
(( ∫
r ·
)
j
r ′ dr ′ −
( ∫
r ·
r ′ )
jdr ′ )
61

aber
d.h.,
∫
r ·
(a · b) c − (a · c) b = a ∧ (c ∧ b) ,
mit a = r, b = j, c = r ′
r ′ j (r ′ ) dr ′ = − 1 ( ∫ (r
r ∧
′ ∧ j (r ′ ) )) dr ′
2
und
A (r) ≈ − 1 ∫
1 (r
2c r r ∧ ′ ∧ j (r ′ ) ) dr ′ , für r ≫ r ′ .
3
Wir definieren das magnetische Dipolmoment
m = 1 ∫
r ′ ∧ j (r ′ ) dr ′
2c
d.h.
A (r) = m ∧ r
r 3
das Vektorpotential eines magnetischen Dipols, der niedrigste Term in der
Entwicklung des Vektorpotentials einer lokalisierten, stationären Stromverteilung.
Die Induktion B ausserhalb der Stromverteilung ist durch B = ∇∧A gegeben
B = ∇ ∧
(m ∧ r)
r 3
=
3n (n · m) − m
r 3 , n ≡ ˆr.
In großer Entfernung von einer beliebig lokalisierten Stromverteilung ist die
Induktion B, die eines magnetischen Dipols mit dem Moment
m = 1 ∫
r ′ ∧ j (r ′ ) dr ′ .
2c
Beispiel 1:
Strom auf einer ebenen Stromschleife
Fließt in der Schleife mit Linienelement dl der Strom I, gilt
m = 1 ∫
r ′ ∧ j (r ′ ) dr ′ = I ∮
r ′ ∧ dl (siehe Fig. 25).
2c
2c
Aber
1
2 |r′ ∧ dl| = 1 2 r′ dl sin θ = dF (siehe Fig. 26).
62

I
dl
r’
Figure 25:
So liefert das Umlaufintegral die gesamte von der Schleife umschlossene Fläche
F
|m| = IF c
unabhängig von der Gestalt der Stromschleife.
θ
dl sinθ
dl
r’
Figure 26:
63

Beispiel 2:
Setzt sich die Stromverteilung aus geladenen Teilchen, die sich mit der Geschwindigkeit
v i bewegen, zusammen, so ist
j (r) = ∑ i
q i v i δ (r − r i ) .
Das magnetische Moment ist
m = 1 2c
∫ (r
∧ j (r)
)
dr
′
l i
= 1 ∑
q i (r
2c i ∧ v i )
i
= 1 ∑ q
( )
i
r
2c M i ∧ p i
, M i ist die Masse Teilchen i
i
i
m = 1 ∑ q i
l
2c M i
i
ist der Drehimpuls des i-ten Teilchens. Ist q i /M i = e/M für alle Teilchen
gleich.
m =
e ∑
l
2Mc i =
e
2Mc L.
Die Konstante
e
heisst gyromagnetisches Verhältnis, und L ist der Gesamt-
2Mc
drehimpuls.
i
i
38 Entwicklung des B¯−Feldes in Kugelkoordinaten
Für
r ≫ r ′ , ist j = 0, d.h. ∇ ∧ B = 0
B = −∇Φ M .
64

P
r
j(r’)
Figure 27:
Φ M (r) genügt die Laplace’sche Gleichung
∇ 2 Φ M = 0.
Mit der Randbedingung Φ M → 0 für r → ∞ lässt sich Φ M entwickeln
Bemerkung: Vgl. S. 44
Φ M (r) = ∑ lm
Φ (r) = ∑ lm
4π
(2l + 1) M lmr −(l+1) Y lm (θ, φ) .
4π
(2l + 1) q lmr −(l+1) Y lm (θ, φ) .
Dann gilt
B (r) = − ∑ lm
Wir berechnen das Skalarprodukt r · B
4π
(2l + 1) M lm∇ ( r −(l+1) Y lm (θ, φ) ) .
r · B = −r · ∇Φ M = −r ∂Φ M
∂r
= ∑ (l + 1)
4π
(2l + 1) M lmr −(l+1) Y lm (θ, φ) .
lm
65

Jetzt gehen wir von dem Vektorpotential aus
A = 1 c
∫
j (r ′ )
|r − r ′ | dr′ mit der Coulombeichung.
r · B = r · (∇ ∧ A)
= 1 ∫ (∇
c r · r ∧
j (r ′ )
)
|r − r ′ | dr′
Beweis
Wir setzen
= 1 c
r · B = − 1 c
∫ (
r · ∇ r ∧ j )
(r′ )
dr ′
|r − r ′ |
∫
1
|r − r ′ | ∇ r ′ · (r ′ ∧ j (r ′ ) ) dr ′ .
1
|r − r ′ | = f (r, r′ ) .
Wir betrachten
(
r · ∇ r ∧ j )
(r′ )
= r · (∇
|r − r ′ r ∧ j (r ′ ) f (r, r ′ ) )
|
= − ( r ∧ j ) · ∇ r f
= − ( (r − r ′ ) ∧ j ) · ∇ r f + ( r ′ ∧ j ) · ∇ r f
aber
∇ r f = − (r − r′ )
|r − r ′ | 3 .
66

Es folgt
(
(r − r ′ ) ∧ j ) · ∇ r f
= − ( (r − r ′ ) ∧ j ) · (r − r′ )
|r − r ′ | 3 =
−1
|r − r ′ | 3 j · [(r − r′ ) ∧ (r − r ′ )]
Der zweite Term
= 0.
− ( r ′ ∧ j ) · ∇ r f = + ( r ′ ∧ j ) · ∇ r ′f
da
1
∇ r
|r − r ′ | = −∇ 1
r ′ |r − r ′ | ,
d.h. von S. 66
∫
r · ∇ r ∧ j ∫
(r′ )
|r − r ′ | dr′ = r ′ ∧ j (r ′ ) · ∇ r ′
=
[ (r ′ ∧ j ) ]
1
|r − r ′ |
∞
1
|r − r ′ | dr′
Da
erhalten wir
[( ∫
r · ∇ r ∧
j (r ′ )
|r − r ′ |
∫
−
) ∫
dr ′ = −
1
|r − r ′ | ∇ r ′. ( r ′ ∧ j (r ′ ) ) dr ′ .
j(r ′ → ∞) = 0
1
|r − r ′ | ∇ r ′ · (r ′ ∧ j (r ′ ) ) ]
dr ′ . Q.E.D.
D.h.
r · B = − 1 c
∫
1
|r − r ′ | ∇ r ′ · (r ′ ∧ j (r ′ ) ) dr ′
= − 1 ∑
∫
4π
c 2l + 1 r−(l+1) Y lm (θ, φ)
lm
(r ′ ) l Y ∗
lm (θ ′ φ ′ ) ( ∇ r ′ · (r ′ ∧ j (r ′ ) )) dr ′
67

d.h. (vgl. S. 65)
M lm = − 1 c
∫
1
(l + 1)
(r ′ ) l Y ∗
lm (θ′ φ ′ ) ( ∇ r ′ · (r ′ ∧ j (r ′ ) )) dr ′
die magnetische Multipolmomente.
Das Dipolmoment
M 10 = − 1 c
√ ∫ 3
16π
r cos θ ( ∇ · (r
∧ j (r) )) dr
M 11 = 1 c
√ ∫ 3
32π
r sin θe −iφ ( ∇ · (r
∧ j (r) )) dr
M 1,−1 = −M ∗ 11 .
Das Vektordipolmoment
m = 1 2c
∫ (r
∧ j
)
dr
hat z-Komponent
m z = 1 2c
∫
(xj y − yj x ) dr.
In kartesischen Koordinaten
M 10 = − 1 c
√ ∫ 3
16π
z∇ · (r
∧ j ) dr.
Betrachten wir
∇ · (r
∧ j ) = ∑ i
∂
∂x i
(
r ∧ j
)i
= ∂
∂x (yj z − zj y ) + ∂ ∂y (zj x − xj z ) + ∂ ∂z (xj y − yj x )
68

wir multiplizieren mit z, integrieren über den ersten Term
∫∫∫
z ∂
∂x (yj z) d x d y d z ∞ j z (x, y, z) | x=∞ = 0,
d. h. die Terme, die ∂
∂x oder ∂ enthalten, liefern Null.
∂y
Aber ∫
z ∂ ∫
∂z (xj y − yj x ) dr = − (xj y − yj x ) dr,
nach Teilintegration, d.h.
M 10 = 1 c
√ ∫ 3
16π
(xj y − yj x ) dr
oder
M 10 =
√
3
4π m z
⎛
√ ⎞
3
⎝ Vergleich q 10 =
4π p z ⎠
in der Elektrostatik.
Für m = 1 kann man zeigen, dass
√
3
M 11 =
8π (−m x + im y ) .
39 Zeitveränderliche Felder:
die Maxwell’schen Gleichungen
Die ersten quantitativen Beobachtungen über den Zusammenhang zwischen
zeitabhängigen elektrischen und magnetischen Feldern machte Michael Faraday
im Jahre 1831.
Er machte folgende Feststellung:
In einer Schleife wird ein kurzzeitiger Strom induziert,
1. wenn der stationäre Stromfluss in einer benachbarten Schleife an- oder
ausgeschaltet wird oder,
2. wenn die benachbarte Schleife, in der ein stationärer Strom fließt, gegenüber
der ersten bewegt wird.
69

Die Änderung des durch die Leiterschleife hindurchtretenden magnetischen
Flusses induziert längs der Schleife ein elektrisches Feld, dessen Linienintegral
U Induktionsspannung genannt wird. Sie erzeugt nach dem Ohmschen
Gesetz einen Stromfluss, d.h.
U = −k ∂F
∂t
Das Faradaysche Induktionsgesetz
mit, (siehe Fig.28) dem magnetischen Fluss
∫ ∫
F = B · dF = B · n dF
F
F
und
∮
U = E · dl.
ndF
F
Figure 28:
C
In Gaußschen Einheiten ist k = 1 c .
Das negative Vorzeichen entspricht der Lenzschen Regel, nach der induzierter
Strom so gerichtet ist, dass er die ihn verursachende Flussänderung zu hemmen
versucht, d.h. ∮
E · dl = − 1 ∫
∂
B · n dF.
c ∂t F
70

Mit Hilfe des Stokeschen Satzes erhalten wir
∫
(∇ ∧ E) · n dF = − 1 ∫
∂
B · n dF
F
c ∂t F
∫
F
(
∇ ∧ E + 1 c
)
∂B
· n dF = 0.
∂t
Da die Schleife C und die umschlossene Fläche F beliebig sind, erhalten wir
das Faraday’sche Induktionsgesetz in differentieller Form
∇ ∧ E + 1 c
Jetzt haben wir 4 Gleichungen hergeleitet
1. ∇ · E = 4πρ (Coulomb’sche Gesetz)
∂B
∂t = 0 .
2. ∇ · B = 0 (keine magnetische ’Ladung’)
3. ∇ ∧ E + 1 c
∂B
∂t = 0
(Faraday’sche Gesetz).
4. ∇ ∧ B = 4π c
j (Ampèresche Gesetz)
Gleichung 4. haben wir für stationäre Ströme hergeleitet. Sie entspricht
∇ · ∇ ∧ B = 0 = 4π c
∇ · j, d.h. ∇ · j = 0.
Das Prinzip der Ladungserhaltung verlangt
∂ρ
∂t + ∇ · j = 0.
J. C. Maxwell hat die Inkonsistenz der Gleichungen bemerkt und sie zu einem
konsistenten System abgeändert.
Gleichung 1. bedeutet
4π ∂ρ
∂t = ∇ · ∂E
∂t = ∂ (∇ · E) .
∂t
71

So hat Maxwell eine Modifikation des Ampèrschen Gesetzes einfgeführt
∇ ∧ B − 1 c
∂E
∂t = 4π c j.
Maxwell nannte den hinzugefügten Term Verschiebungsstrom.
Dann gilt
∇ · (∇ ∧ B) − 1 c
∂
∂t ∇ · E = 4π c ∇ · j
oder,
− ∂ρ
∂t = ∇ · j
entsprechend der Ladungserhaltung.
∂ρ
∂t + ∇ · j = 0
40 Die Maxwell’schen Gleichungen
1) ∇ · E = 4πρ ; 3) ∇ ∧ E + 1 c
∂B
∂t = 0
2) ∇ · B = 0 ; 4) ∇ ∧ B − 1 ∂E
c ∂t = 4π c j
sind gekoppelte Differentialgleichungen erster Ordnung.
Vektorpotential und Skalarpotential.
Da
∇ · B = 0
gilt, können wir B durch ein Vektorpotential definieren
B = ∇ ∧ A
oder mit Gleichung 3)
∇ ∧
(
E + 1 c
)
∂A
= 0.
∂t
72

(
Da die Rotation von E + 1 c
oder
)
∂A
verschwindet, setzen wir
∂t
E + 1 c
∂A
∂t = −∇Φ
E = −∇Φ − 1 c
∂A
∂t .
Die inhomogenen Maxwell Gleichungen lassen sich dann durch die Potentiale
A und Φ ausdrücken
∇ ∧ B − 1 ∂E
c ∂t = 4π c j
Mit,
gilt
oder
∇ ∧ ∇ ∧ A
} {{ } +1 c ∇∂Φ ∂t + 1 ∂ 2 A
c 2 ∂t = 4π 2 c j
−∇ 2 A + ∇ (∇ · A)
∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A
∂t 2 − ∇ (∇ · A + 1 c
∇ ·
∇ · E = 4πρ
(
−∇Φ − 1 c
∇ 2 Φ + 1 c
)
∂A
= 4πρ
∂t
∂
(∇ · A) = −4πρ .
∂t
)
∂Φ
= − 4π ∂t c j .
Zwei gekoppelte Gleichungen zweiter Ordnung für A und Φ.
Eichtransformation
Das Feld B bleibt bei der Transformation
A → A ′ + ∇Ψ,
(Ψ eine skalare Funktion)
73

ungeändert. Damit das E Feld ungeändert bleibt, muss das skalare Potential
gleichzeitig der Transformation
Φ → Φ ′ − 1 c
unterworfen werden. Die Freiheit bedeutet, dass man verlangen kann, dass
die Potentiale A, Φ die Bedingung
∇ · A + 1 c
∂Φ
∂t = 0
∂Ψ
∂t
erfüllen.
Mit dieser Bedingung sind die Gleichungen entkoppelt
∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A
dt 2
∇ 2 Φ − 1 c 2 ∂ 2 Φ
dt 2
= −4π c j
= −4πρ ⎫
⎬
⎭
die inhomogenen
Wellengleichungen
für A und Φ.
Diese Wellengleichungen sind zu den Maxwell’schen Gleichungen vollkommen
äquivalent. Die Bedingung
∇ · A + 1 c
∂Φ
∂t = 0
heißt die Lorentz-Eichung.
Eine andere Eichung ist die Coulomb-Gleichung
In dieser Eichung gilt
mit
Φ (r, t) =
∇ · A = 0.
∇ 2 Φ = −4πρ
∫ ρ (r ′ , t)
|r − r ′ | dr′ .
Das Vektorpotential genügt in dieser Eichung der inhomogenen Wellengleichung
∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A
dt 2
= −4π c j + 1 c ∇∂Φ ∂t .
Die Gleichungen für A und Φ sind nicht mehr entkoppelt.
74

41 Elektromagnetische Wellen in Vakuum
Ebene Wellen
Ohne Quellen reduzieren sich die Maxwell Gleichungen auf:
1) ∇ · E = 0, 3) ∇ ∧ E + 1 c
2) ∇ · B = 0, 4) ∇ ∧ B − 1 c
Wir rechnen die Rotation von Gleichung 3),
∂B
∂t = 0
∂E
∂t = 0.
∇ ∧ ∇ ∧ E + 1 c ∇ ∧ ∂B
∂t = 0
∇(∇ · E) − ∇ 2 E + 1 ∂
(∇ ∧ B) = 0
} {{ } c ∂t
=0
−∇ 2 E + 1 ∂ 2 E
c 2 ∂t = 0 2
∇ 2 E − 1 c 2 ∂ 2 E
∂t 2 = 0
Ebenso gilt dies für das B Feld. Wir müssen die 6 Komponenten von E und
B bestimmen. Jede Komponente genügt der Wellengleichung
∇ 2 u − 1 c 2 ∂ 2 u
∂t 2 = 0, u = E i, B i.
Die Wellengleichung hat periodische Lösungen in 3d
mit Separationskonstante
u= exp (ik · r − iωt)
k 2 = ω2
c 2 .
Für 1 Dimension, z.B. laufende Welle in z−Richtung
u= Ae ikz−iωt +Be −ikz−iωt
= Ae ik(z−ct) +Be −ik(z−ct) .
75

Damit laufende Wellen mit Phasengeschwindigkeit c. Komplexe Vektorfelder
E un B sind mathematisch einfacher zu handhaben; wir definieren, dass
die physikalischen Felder gleich der Realteile sind. Als Lösungsansatz der
Maxwell’schen Gleichungen setzen wir somit
Anmerkung:
Im Allgemeinen, E, B, ∈ C.
Dann
Es folgt aus
dass
Ebenso gilt
=⇒
E(r, t)=Ee ik·r−iωt
B(r, t)=Be ik·r−iωt
∇ 2 E − 1 c 2 ∂ 2 E
∂t 2 = 0
(−k 2 E + ω2
c 2 E )
e i(k·r−ωt) = 0
⇒ k 2 = ω2
c 2 .
∇ · E = 0 und ∇ · B = 0,
ik · Ee ik·r−iωt = 0 d.h. k · E = 0.
k · B = 0.
Das bedeutet, dass die Richtung der Welle senkrecht zu den Amplituden
steht. D. h. es ist eine Tranversalwelle (siehe Fig.29).
Wir setzen die Lösung in Glg. (3)
ein.
∇ ∧ E + 1 c
∂B
∂t = 0
ik ∧ Ee ikr−iωt − i ω c Beikr−iωt = 0
k ∧ E = kB
B = ˆk ∧ E (ähnlich gilt E = −k ∧ B, aus Glg. (4))
76

Figure 29:
und deshalb
E · B = 0
und
|B| = |E| .
Wir konstruieren ein orthogonales Einheitssystem
ˆk, ɛ 1 , ɛ 2
mit
ˆk, ɛ 1 , ɛ 2 reelle Vektoren.
Dann, entweder
E = ɛ 1 E 1 ; B = ɛ 2 E 1
|E| = |B| = E 1
oder
E = ɛ 2 E 2 ; B = −ɛ 1 E 2 .
Beides sind unabhängige Lösungen. Im allgemeinen schreiben wir
77

E(r, t) = (ɛ 1 E 1 + ɛ 2 E 2 ) e ikr−iωt
B(r, t) = ˆk ∧ E(r, t).
Die Vektoren ɛ 1 , ɛ 2 heissen die Polarisationsvektoren des Lichtes
Polarisationszustände
E(r,t) = (ɛ 1 E 1 + ɛ 2 E 2 ) e ikr−iωt
beschreibt i. A. elliptische Polarisation. Wenn E 1 und E 2 die gleiche Phase
haben, dann sprechen wir von linearer Polarisation (siehe Fig.30).
Figure 30:
Der Winkel
E 1 = |E 1 | e iφ ; E 2 = |E 2 | e iφ
E = (|E 1 | ɛ 1 + |E 2 | ɛ 2 ) e ikz−i(ωt−φ) .
( )
θ = tan −1 |E2 |
|E 1 |
bestimmt die Richtung der Polarisation.
Setzen wir
ɛ 1 ≡ ˆx ; ɛ 2 = ŷ,
78

dann hat das messbare (physikalische) E−Feld die Komponenten
E x = |E 1 | cos(kz − ωt + φ)
E y = |E 2 | cos(kz − ωt + φ)
N.B. Wir können stets φ = 0 wählen, d. h. E 1 , E 2 reell, da Phasen nur
relativ sind.
Zirkularpolarisation
Hier gilt |E 1 | = |E 2 | und Phasendifferenz ± π/2.
Setzen wir
E 1 = E 0 = |E 0 | ; E 0 ɛ R
dann ist
E 2 = E 0 e ±iπ/2 = ±iE 0
und
⇒ E(r,t) = E 0
(ɛ 1 ± iɛ 2 ) e ikz−iωt
E x = ɛ 1 · E = E 0 cos(kz − ωt)
E y = ɛ 2 · E = ∓E 0 sin(kz − ωt).
Wenn man gegen die Propagationsrichtung ̂k schaut, dann sieht man für den
bestimmten z−Wert die E−Feld Amplitude nach der Zeit rotieren und zwar
für
ɛ 1 − iɛ 2 im Uhrzeigersinn (Rechtszirkularpol.)
für
ɛ 1 + iɛ 2 im Gegenuhrzeigersinn (Linkszirkularpol.), (siehe Fig. 31).
Bemerkung:
Rechtszirkularpolarisiert = negative Helizität
Linkszirkularpolarisiert = positive Helizität
Wir können auch die Kombination ɛ 1 ±iɛ 2 als neue (komplexe) Basisvektoren
nutzen, d. h.
ɛ ± ≡ √ 1 (ɛ 1 ± iɛ 2 ) .
2
Dann schreiben wir i. A.
E(r, t) = ( ɛ + E + + ɛ − E −
)
e
ikz−ωt
79

Figure 31:
a) Für reelle, unterschiedliche E + , E − haben wir elliptisch polarisiertes
Licht.
b) Für E + = ±E − erhalten wir x− oder y− linear polarisiertes Licht.
c) Für E + = 0 bzw. E − = 0 erhalten wir links oder rechts zirkular
polarisiertes Licht.
Die Basisvektoren haben die Eigenschaft
ɛ ∗ ± · ɛ ∓ = 0
ɛ ∗ ± · ɛ ± = 1.
Im allgemeinen können E + , E − auch komplex sein.
Für
E ± = |E ± | e iφ (d. h. selbe Phase)
und
|E − | |E + | ≡ r
erhalten wir eine Ellipse mit Achsen in Richtung ɛ 1 , ɛ 2 und das Verhältnis
l 1
=
1 + r
l 2
∣1 − r ∣ , wobei l 1, l 2 die Längen der Hauptachsen sind.
80

Figure 32:
Für eine Phasenverschiebung zwischen E − , E + , d. h. E − /E + = re iα , wird
die Ellipse um den Winkel α/2 links gedreht (siehe Fig. 32).
Allgemein kann der Polarisationszustand formal und eindeutig durch die 4
Stokesschen Parameter charakterisiert werden (Stokes 1852, Jackson Kap.
7.2). Sie erfordern lediglich Intensitätsmessungen um den Polarisationszustand
zu bestimmen.
42 Lösung der Wellengleichung in Kugelkoordinaten
Fourier-Zerlegung bez. der Zeit
d.h.
u(r, t) = ∫ ũ(r, ω)e iωt dω
(∇ 2 − 1 )
∂ 2 ∫ )
u =
(∇ 2 + ω2
ũ(r, ω)e −iωt dω = 0
c 2 ∂t 2 c 2
(
∇ 2 + k 2) ũ(r, ω) = 0, für jede Komponente ũ(r, ω), (ω = ck) .
In Kugelkoordinaten ist ∇ 2 separierbar
⇒ ũ(r, ω) = ∑ lm
f lm (r) Y lm (θ, Φ)
81

J l+
1
2
N l+
1
2
f lm (r) = A lm
r 1 2
J l+
1
2
(kr) + B lm
r 1 2
N l+
1 (kr) .
2
ist eine Besselsche Funktion (regulär bei r = 0),
ist eine Neumannsche Funktion (irregulär bei r = 0).
Wir führen die sphärischen Bessel-Funktionen bzw. Neumann (Hankel)-
Funktionen ein, mit x = kr
Für x > l
j l (x) =
( π 2
J l+
1 (x) ;
2x)1
2
n l (x)
j 0 (x) = sin x
x ; n 0 (x) = cos x
x
j 1 (x) = sin x
x 2
j l (x) ∼
( π
2x)1
2
N l+
1
2
− cos x
x ; n 1 (x) = − cos x
x
− sin x
x 2
x l
(2l + 1)!! , n (2l − 1)!!
l (x) = −
x l+1
j l (x) ∼ 1 (
x sin x − lπ )
; n l (x) ∼ 1 (
2
x cos x − lπ )
.
2
Entwicklung einer ebenen Welle in Kugelkoordinaten
Wir setzen ̂k = ẑ, d.h. ̂k · ̂r = cos γ, es gilt
e ik·r = e ikr cos γ = e ikz
∞∑
= (2l + 1) i l j l (kr) P l (cos γ) .
l=0
Für eine beliebige z-Richtung (siehe Fig. 9 und Fig. 11) gilt
e ik·r = 4π
∞∑
∑+l
l=0 m=−l
i l j l (kr) Ylm ∗ (̂k)Y lm (̂r).
82

43 Energie eines E-Feldes
Wir können die Energie als im elektrischen Feld gespeichert betrachten. Eine
Ladungsdichte ρ (r) erzeugt das E Feld durch
∇ · E = 4πρ (r)
E = −∇Φ (r) .
Änderung δρ der Ladungsdichte her-
Die Energieänderung, die durch einen
vorgerufen wird, ist
∫
δW =
δρΦ dr
aber
d. h.
δρ = 1
4π ∇ · (δE)
∫
δW = 1
4π (∇ · δE) Φ dr
∫
= − 1
4π δE · ∇Φ dr Teilintegration mit Φ (∞) = 0
oder
δW = 1 ∫
E · δE dr.
4π
Die gesamte elektrostatische Energie kann man angeben, wenn man E von
einem Anfangswert E= 0 auf einen Endwert E anwachsen lässt
aber
W = 1
4π
∫
dr
∫ E
0
E · δE
E · δE == 1 2 δ |E|2
W = 1 ∫
|E| 2 dr
8π
1
d. h.
8π |E|2 ist die Energiedichte des E-Feldes. Für E-M-Felder
wir zeigen, dass
W = 1 ∫ (|E| 2 + |B| 2) dr.
8π
können
83

44 Kontinuitätsgleichung für die Energie
Wir beginnen mit den Maxwell Gleichungen im Vakuum
Wir nehmen
∇ ∧ E + 1 c
∇ ∧ B − 1 c
∂
∂t B = 0
∂
∂t E = 0.
B · ∇ ∧ E − E · ∇ ∧ B + 1 ∂ (
|E| 2 + |B| 2) = 0
} {{ } 2c ∂t
∇·(E∧B)
und multiplizieren mit c/4π
∇ ·
( c
4π (E ∧ B) )
+ ∂ ∂t
( 1 (
|E| 2 + |B| 2)) = 0.
8π
Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung
mit Poyntingvektor
und Energiedichte
V
F
∇ · S + ∂ ∂t E = 0
S ≡ c
4π E ∧ B
E = 1 (
|E| 2 + |B| 2) .
8π
Wir integrieren
∫ ∫
∇ · Sdr = S · dF = − ∂ ∫
∂t
V
( 1 (∣ ∣ ∣ ∣E 2 ∣ + ∣B 2 )) dr
8π
d.h. die zeitliche Änderung der Gesamtenergie innerhalb eines Volumens
gleicht dem Oberflächenintegral des Poyntingvektors.
∫
S · dF = − ∂W ∂t .
F
84

45 Inhomogene Wellengleichung
In der Lorentz Eichung
gilt,
∇ · A + 1 c
∂Φ
∂t = 0
∇ 2 A − 1 ∂ 2 A
c 2 ∂t = −4π j (r, t)
2 c
∇ 2 Φ − 1 ∂ 2 Φ
= −4πρ (r, t) .
c 2 ∂t2 Die Gleichung haben alle die Grundstruktur
Zur Lösung führen wir Fouriertransformation:
∇ 2 Ψ − 1 ∂ 2 Ψ
= −4πf (r, t) . (1)
c 2 ∂t2 Ψ (r, t) = 1
2π
+∞ ∫
−∞
f (r, t) = 1 ∫
2π
+∞
−∞
˜Ψ (r, ω) e −iωt dω (2)
˜f (r, ω) e −iωt dω ein.
Setzt man (2) in (1) ein, erhält man die inhomogene Helmholtz’sche Gleichung
(
∇ 2 + k 2) ˜Ψ (r, ω) = −4π ˜f (r, ω) .
Die entsprechende Grenn’sche Funktion genügt für feste ω
(
∇ 2 + k 2) ˜G(r, r ′ , ω) = −4πδ (r − r ′ ) .
Ohne Randflächen ist die Lösung
Beweis: Wir setzen r ′ = 0,
˜G ± (r, r ′ , ω) = exp [±ik |r − r′ |]
; ω = ck. (3)
|r − r ′ |
85

dann
da
(
∇ 2 + k 2) e ±ikr
r
= −4πδ(r)
∇ 2 f(r)g(r) = f∇ 2 g + g∇ 2 f + 2∇f · ∇g, mit f = e ±ikr , g = 1 r
erhalten wir,
∇ 2 e±ikr
r
= e ±ikr ∇ 2 ( 1
r
)
+ 1 ( ∂
2
r ∂r + 2 )
∂
e ±ikr
2 r ∂r
[ ( )] [ ∂ 1 ∂ (
+2
)] e
±ikr
.
∂r r ∂r
= −4πe ±ikr δ (r) + 1 r
∓ 2 (ik) e±ikr
r2 (
−k 2 ± 2ik )
e ±ikr
r
ist gleichbedeutend mit
= −4πe ±ikr δ (r) − k2
r e±ikr
(∇ 2 + k 2 ) e±ikr
= −4πδ (r) , da e ±ikr = 1 für r = 0.
r
Zeitabhängige Green’sche Funktion
Entsprechend Gleichung (1), S. 85, definieren wir eine zeitabhängige Green’sche
Funktion
(∇ 2 − 1 )
∂ 2
G ± (r, t, r ′ , t ′ ) = −4πδ (r − r ′ ) δ (t − t ′ ) ,
c 2 ∂t 2
dann können wir schreiben
G ± (r, t, r ′ , t ′ ) = 1
2π
+∞ ∫
−∞
˜G ± (r, r ′ , ω) e −iω(t−t′) dω
86

= 1
+∞ ∫
exp [ ±i ω |r − c r′ | ]
e −iω(t−t′) dω
2π |r − r ′ |
−∞
= 1 ∫ { ( [
1
exp iω t ′ − t ∓ |r − ])}
r′ |
dω
2π |r − r ′ |
c
( [
1
=
|r − r ′ | δ t ′ − t ∓ |r − ])
r′ |
c
1. G + heisst retardierte Greensche Funktion. Das Argument der Deltafunktionen
zeigt, dass an einem Punkt r zur Zeit t beobachteter Effekt,
von der Wirkung einer Quelle, die zu einer früheren Zeit t ′ =
t − |r − r ′ | /c von r den Abstand |r − r ′ | hatte, verursacht wird.
2. Die Zeitdifferenz |r − r ′ | /c ist gerade die Zeit, in der sich die Welle von
r ′ nach r bewegt.
3. Analog hierzu nennt man G − die avancierte Green’sche Funktion.
Spezielle Lösungen der inhomogenen Wellengleichung sind somit
∫ ∫
Ψ ± (r, t) = G ± (r, t, r ′ , t ′ ) f (r ′ , t ′ ) dr ′ dt ′ .
Zu den Lösungen sind jeweils die der homogenen Gleichung zu addieren. Die
Randbedingungen bestimmen dann die jeweilige Lösung für ein definiertes
physikalisches Problem.
46 Die Elektrodynamik in dichten Medien
a) Die Elektrodynamik beschäftigt sich mit Ladungen und Feldern in
dichten Medien, deren Reaktionen auf elektrische und magnetische
Felder berücksichtigt werden müssen.
b) Man muss über makroskopisch kleine, mikroskopisch aber große Bereiche,
mitteln um zu den makroskopischen Maxwellschen Gleichungen zu
gelangen.
c) Ein makroskopisches Volumen Materie enthält ungefähr 10 23 Elektronen
und Atomkerne, die sich nie in Ruhe befinden (Vibrationen usw.).
87

Die Elektrostatik
i) Wird an ein Medium ein elektrisches Feld angelegt, so werden die
gebundenen Ladungen, unter dem Einfluss dieser Störung, zusätzliche
Bewegungen ausführen.
ii) Die molekulare Ladungsdichte wird eine Verzerrung erfahren =⇒ Die
Multipolmomente eines Moleküls werden andere Werte annehmen.
iii) Der dominierende Multipol ist der DIPOL =⇒ die elektrische Polarisation
P (Dipolmoment pro Volumeneinheit) ist definiert durch
P (r ′ ) = ∑ 〈 〉
N i p i r
i
′
p i
ist das Dipolmoment der i−ten Molekülart. Die Mittelung wird über
ein kleines Volumen um r ′ vorgenommen. N i ist die mittlere Anzahl
der Moleküle des i − ten Typs pro Volumeneinheit.
Die makroskopische Ladungsdichte ist
ρ(r ′ ) = ∑ i
N i 〈e i 〉 r ′ + ρ frei
mit ρ frei = freie Ladungsdichte,
〈e i 〉 r ′ = mittlere molekulare Ladung (i. A. gleich Null).
Das Potential ist durch lineare Superposition der Beiträge eines (makroskopisch
kleinen) Volumenelements δV um r ′ aufzubauen
δΦ(r, r ′ ) = ρ(r′ )
|r − r ′ | δV + P (r′ ) · (r − r ′ )
|r − r ′ | 3 δV
} {{ }
Potential eines Dipols bei r ′ .
Betrachten wir jetzt δV als (makroskopisch) infinitesimal d. h. δV≡ dr ′ , und
integrieren
∫ [ ]
ρ(r ′ )
Φ(r) =
|r − r ′ | + P 1
(r′ ) · ∇ r ′ dr ′ ,
|r − r ′ |
da |r − r′ |
|r − r ′ | 3 = ∇ 1
r ′ |r − r ′ | . 88

Partielle Integration führt auf (für eine lokalisierte Ladungsverteilung)
∫ [
]
1
Φ(r) =
|r − r ′ | [ρ(r′ ) − ∇ r ′ · P (r ′ )] dr ′ .
Das Potential einer Ladungsverteilung
mit
und
ρ(r ′ ) − ∇ r ′ · P (r ′ )
E = −∇ r Φ,
∇ 2 r
=⇒ die erste Maxwellsche Gleichung
∇ · E = −∇ 2 r Φ
1
|r − r ′ | = −4πδ(r − r′ )
∇ · E = 4π (ρ(r) − ∇ · P (r)) .
Man definiert jetzt die dielektrische Verschiebung
D = E + 4πP
∇ · D = ∇ · E + 4π∇ · P
∇ · D = 4πρ.
Jetzt betrachten wir zwei (gute) Näherungen
i) Die Moleküle reagieren linear auf ein äusseres Feld
P ∞ E (gültig für schwache Felder).
ii) Das Medium sei isotrop
=⇒ P = X e E.
89

Die Konstante X e nennt man elektrische Suszeptibilität. In diesem Fall ist
D proportional zu E
D = ɛE
wobei
ɛ = 1 + 4πX e
die Dielektrizitätskonstante.
Ist das Dielektrikum auch homogen, so ist ɛ unabhängig von r
d. h.
∇ · D = ɛ∇ · E
∇ · E = 4π ρ ɛ .
=⇒ Das von einer Ladung erzeugte elektrische Feld wird um den Faktor 1 ɛ
reduziert.
Diese Reduzierung lässt sich auf die Polarisation der Atome zurückführen - es
werden zusätzliche Felder erzeugt, die dem Feld der Ladung entgegengerichtet
sind.
Die Magnetostatik
Die mittlere makroskopische Magnetisierung (magnetische Momentdichte)
über δV gemittelt, ist
M(r) = ∑ N i 〈m i 〉 r ′ ,
i
wobei 〈m i 〉 r ′ das mittlere, molekulare, magnetische Moment eines kleinen
Volumens um den Punkt r ′ ist.
Wir nehmen an, dass auch eine makroskopische Stromdichte j(r ′ ), die von
der Bewegung freier Ladungen herrührt, vorhanden ist.
Das Vektorpotential δA ist
δA = j(r′ )
c |r − r ′ | δV + M(r′ ) ∧ (r − r ′ )
|r − r ′ | 3 δV.
Mit δV → dr ′ integrieren wir,
A(r) = 1 ∫ [ ]
j(r ′ )
c |r − r ′ | + cM(r′ ) ∧ (r − r ′ )
|r − r ′ | 3 dr ′ .
90

Mit ∫ M(r ′ ) ∧ (r − r ′ ∫
)
|r − r ′ | 3 dr ′ =
und Teilintegration erhalten wir
A(r) = 1 c
M(r ′ 1
) ∧ ∇ r ′
|r − r ′ | dr′
∫ [
j(r ′ ) + c∇ r ′ ∧ M(r ′ ) ]
|r − r ′ |
d. h. die Magnetisierung liefert die effektive Stromdichte
j + c∇∧M.
dr ′
Mit
B= ∇∧A
∇ ∧ B = ∇ ∧ ∇ ∧ A = ∇ (∇ · A) − ∇ 2 A
= −∇ 2 A mit der Eichung ∇ · A = 0 (Coulomb)
d.h.
∇ ∧ B = −∇ 2 1 ∫ [
j(r ′ ) + c∇ r ′ ∧ M(r ′ ) ]
dr ′
c |r − r ′ |
∇ ∧ B = 4π c
j(r) + 4π∇ ∧ M(r).
Wir definieren: Das magnetische Feld
H=B−4πM
oder
∇ ∧ H = 4π c j , ∇ · B = 0.
Vergleich in der Elektrostatik
∇ · D = 4πρ , ∇ · E = 0.
Für isotrope diamagnetische und paramagnetische Substanzen gilt die lineare
Beziehung
M = X m H,
B = H + 4πX m H = (1 + 4πX m )H = µH,
91

wobei X m die magnetische Suszeptibilität ist.
Die Konstante µ ist die magnetische Permeabilität oder Permeabilitätskonstante
µ = 1 ± (∼ 10 −6 ) + paramagnetisch
− diamagnetisch.
Die Elektrodynamik
Jackson Kap. 6, Honerkamp-Römer Kap. 14, zeigen explizit, dass makroskopisch
gelten
∇ · B = 0 ∇ ∧ E + 1 ∂B
c ∂t = 0
∇ · D = 4πρ
∇ ∧ H − 1 c
∂D
∂t = 4π c j
D = E + 4πP , H = B − 4πM.
Die Grundfelder sind durch E und B gegeben.
Die abgeleiteten Felder D und H sind aus praktischen Gründen eingeführt,
um die Beiträge der atomaren oder molekularen Ladungen und Ströme im Mittel
zu berücksichtigen.
92