Elektrodynamik: Kapitel 1

Φ (r) = ∫ (
G ∫
V D (r, r ′ ) ρ (r ′ ) dr ′ − 1 Φ (r ′ ) ∂G )
D (r, r ′ )
4π F
∂n ′
die Lösung mit Dirichlet’scher Randbedingung
Für Neumann’sche Randbedingungen erwarten wir
∂G N
∂n ′ = 0 für r ′ auf F.
Aber, wenn wir den Gauß’schen Satz benutzen, d. h.
∫
V
∇ 2 G(r, r ′ ) = −4πδ (r − r ′ )
∫
∫
∂G
∇ · ∇G dV = ∇G · ̂n dF = dF = −4π.
∂n
′
Deshalb genügt
∂G N
= 0
∂n ′
dieser Gleichung nicht. Wir können aber
F
∂G
∂n ′ = − 4π S = Konstante
setzen, wobei S die Gesamtfläche ist, so dass
∫
∂G
∂n dF ′ = − 4π ∫
dF ′ = −4π ist.
′ S
F
F
F
dF
So erhalten wir, für die Neumann’sche Randbedingungen
Φ (r) = ∫ G V N (r, r ′ ) ρ (r ′ ) dr ′ + 1
4π
∫F G N (r, r ′ ) ∂Φ
∂n dF + 〈Φ〉 ′ F
wobei 〈Φ〉 F
der Mittelwert des Potentials auf der Oberfläche F ist, d.h.
〈Φ〉 F
= 1 ∫
Φ(r ′ )dF.
S
F
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