Elektrodynamik: Kapitel 1

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J l+ 1 2 N l+ 1 2 f lm (r) = A lm r 1 2 J l+ 1 2 (kr) + B lm r 1 2 N l+ 1 (kr) . 2 ist eine Besselsche Funktion (regulär bei r = 0), ist eine Neumannsche Funktion (irregulär bei r = 0). Wir führen die sphärischen Bessel-Funktionen bzw. Neumann (Hankel)- Funktionen ein, mit x = kr Für x > l j l (x) = ( π 2 J l+ 1 (x) ; 2x)1 2 n l (x) j 0 (x) = sin x x ; n 0 (x) = cos x x j 1 (x) = sin x x 2 j l (x) ∼ ( π 2x)1 2 N l+ 1 2 − cos x x ; n 1 (x) = − cos x x − sin x x 2 x l (2l + 1)!! , n (2l − 1)!! l (x) = − x l+1 j l (x) ∼ 1 ( x sin x − lπ ) ; n l (x) ∼ 1 ( 2 x cos x − lπ ) . 2 Entwicklung einer ebenen Welle in Kugelkoordinaten Wir setzen ̂k = ẑ, d.h. ̂k · ̂r = cos γ, es gilt e ik·r = e ikr cos γ = e ikz ∞∑ = (2l + 1) i l j l (kr) P l (cos γ) . l=0 Für eine beliebige z-Richtung (siehe Fig. 9 und Fig. 11) gilt e ik·r = 4π ∞∑ ∑+l l=0 m=−l i l j l (kr) Ylm ∗ (̂k)Y lm (̂r). 82
43 Energie eines E-Feldes Wir können die Energie als im elektrischen Feld gespeichert betrachten. Eine Ladungsdichte ρ (r) erzeugt das E Feld durch ∇ · E = 4πρ (r) E = −∇Φ (r) . Änderung δρ der Ladungsdichte her- Die Energieänderung, die durch einen vorgerufen wird, ist ∫ δW = δρΦ dr aber d. h. δρ = 1 4π ∇ · (δE) ∫ δW = 1 4π (∇ · δE) Φ dr ∫ = − 1 4π δE · ∇Φ dr Teilintegration mit Φ (∞) = 0 oder δW = 1 ∫ E · δE dr. 4π Die gesamte elektrostatische Energie kann man angeben, wenn man E von einem Anfangswert E= 0 auf einen Endwert E anwachsen lässt aber W = 1 4π ∫ dr ∫ E 0 E · δE E · δE == 1 2 δ |E|2 W = 1 ∫ |E| 2 dr 8π 1 d. h. 8π |E|2 ist die Energiedichte des E-Feldes. Für E-M-Felder wir zeigen, dass W = 1 ∫ (|E| 2 + |B| 2) dr. 8π können 83
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1 Klassische Elektrodynamik Die ele
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d.h. die Kraft wirkt direkt proport
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5 Ladungserhaltungssatz für sich b
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K = qE(r) definiert. Das elektrisch
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7 Das Gauß’sche Gesetz Wir betra
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d. h. E(r) = −∇ r Φ(r) oder
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9 Oberflächenladung (Fig. 5) Oberf
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11 Die Eindeutigkeit der Lösungen
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WICHTIG: Man kann zeigen (siehe Sei
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12 Methode der Spiegel- oder Bildla
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d.h. Bemerkung: (Fig. 8) q ′ =
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z P’ a φ’ θ’ r’ r P y x F
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Φ (r) = A 4π a ( r 2 − a 2) ∫
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oder Beispiel: ∑ u ∗ m (x′ )u
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z V(x,y) c b y a x Figure 10: Poten
Seite 31 und 32: ⇒ P Q d2 U dr + UQ ( d sin θ dP
Seite 33 und 34: Rekursionsrelation z. B. (l + 1) P
Seite 35 und 36: z q=1 r’ r γ y x Figure 11: Nehm
Seite 37 und 38: einen vollständigen Satz orthogona
Seite 39 und 40: 23 Laplace’sche Gleichung in Zyli
Seite 41 und 42: 24 Asymptotische Entwicklung x ≫
Seite 43 und 44: R ρ( r ) Figure 15: i. A. ∑ [ Al
Seite 45 und 46: 27 Kartesische Koordinaten Das Mono
Seite 47 und 48: Beispiel: Ein Dipol längs der z−
Seite 49 und 50: Für das äußere Feld gilt ∇ ·
Seite 51 und 52: I dl dB r P Figure 19: gegeben. In
Seite 53 und 54: da B = I 2 c ∮ 2 dl 2 ∧ r 12 .
Seite 55 und 56: d.h. j (r ′ ) ∧ ( ) ( ) 1 ∇ r
Seite 57 und 58: Wir haben B schon in dieser Gestalt
Seite 59 und 60: Wegen der Eichfreiheit setzen wir
Seite 61 und 62: Monopolterm Wir setzen jetzt f = 1,
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Seite 65 und 66: P r j(r’) Figure 27: Φ M (r) gen
Seite 67 und 68: Es folgt ( (r − r ′ ) ∧ j )
Seite 69 und 70: wir multiplizieren mit z, integrier
Seite 71 und 72: Mit Hilfe des Stokeschen Satzes erh
Seite 73 und 74: ( Da die Rotation von E + 1 c oder
Seite 75 und 76: 41 Elektromagnetische Wellen in Vak
Seite 77 und 78: Figure 29: und deshalb E · B = 0 u
Seite 79 und 80: dann hat das messbare (physikalisch
Seite 81: Figure 32: Für eine Phasenverschie
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Seite 87 und 88: = 1 +∞ ∫ exp [ ±i ω |r − c
Seite 89 und 90: Partielle Integration führt auf (f
Seite 91 und 92: Mit ∫ M(r ′ ) ∧ (r − r ′
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