Elektrodynamik: Kapitel 1

⇒ P Q d2 U
dr + UQ (
d
sin θ dP )
+ UP d 2 Q
2 r 2 sin θ dθ dθ r 2 sin 2 θ dφ = 0 2
multiplizieren mit
r 2 sin 2 θ
P QU
[ 1
r 2 sin 2 d 2 U
θ
U dr + 1 (
1 d
sin θ dP )]
+ 1 d 2 Q
2 r 2 sin θ P dθ dθ Q dφ = 0. 2
Der letzte Term hängt nur von φ ab und muss daher gleich einer Konstanten
sein. Wir wählen
1 d 2 Q
Q dφ = 2 −m2
mit Lösungen
Q = e ±imφ
Randbedingung:
oder
e imφ = e im(φ+2π)
m muss eine ganze Zahl sein.
Wir dividieren durch sin 2 θ
wir setzen
(eindeutige Lösung)
e i2πm = 1, m = 0, ± 1, ± 2 usw.
r 2 d 2 U
U dr + 1 1
2 sin θ P
r 2
U
d 2 U l (l + 1)
− U = 0
dr2 r 2
mit dem Ansatz
U(r) ∼ r n
(
d
sin θ dP )
− m2
dθ dθ sin 2 θ = 0
d 2 U
= l (l + 1) eine Konstante
dr2 n(n − 1)r n−2 − l(l + 1)r n−2 = 0
n = l + 1 oder n = −l,
d.h. U(r) = Ar l+1 + Br −l
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