Elektrodynamik: Kapitel 1

einen vollständigen Satz orthogonaler Funktionen auf der Oberfläche der Einheitskugel.
Normiert lauten die Kugelflächenfunktionen Y lm (θ, φ)
Orthonormalität
Vollständigkeit
∞∑
Y lm (θ, φ) =
√
0 ≤ l ≤ ∞
−l ≤ m ≤ l
mit Y l,−m = (−1) m Y ∗
lm
∫
0
∑+l
l=0 m=−l
2π
∫
dφ
Y ∗
0
π
(2l + 1) (l − m)!
Pl
m (cos θ) e imφ
4π (l + m)!
sin θdθY ∗
l ′ m ′ (θ, φ) Y lm (θ, φ) = δ l ′ lδ m ′ m
lm (θ ′ , φ ′ ) Y lm (θ, φ) = δ (cos θ − cos θ ′ ) δ (φ − φ ′ ) .
Es lässt sich eine beliebige Funktion f (θ, φ) entwickeln
f (θ, φ) = ∑ ∑
A lm Y lm (θ, φ)
l m
∫
mit A lm = dΩ Ylm ∗ (θ, φ) f (θ, φ)
⎛
⎞
∫ ∫ 2π ∫ π
⎝ dΩ = dφ sin θdθ⎠ .
0
0
Die allgemeine Lösung des Randwertproblems lautet,
Φ (r, θ, φ) =
∞∑
∑+l
l=0 m=−l
[
Alm r l + B lm r −(l+1)] Y lm (θ, φ) .
37