Elektrodynamik: Kapitel 1

WICHTIG:
Man kann zeigen (siehe Seite 42, Jackson), dass wenn wir das Potential
überall auf der Oberfläche spezifizieren (Dirichlet’sches Problem) oder das
Feld (normale Ableitung des Potentials) überall auf der Oberfläche spezifizieren
(Neumann’sches Problem), dann ist das Potential innerhalb von V
eindeutig bestimmt.
Deshalb können wir nicht das Ergebnis von oben direkt benutzen, da das
Oberflächenintegral Φ und ∂Φ enthält. Jetzt sehen wir wie wir weiter gehen
∂n
können.
Wir betrachten wieder die zweite Identität von Green.
Jetzt setzen wir,
mit
φ ≡ Φ (r) und ψ ≡ G(r, r ′ ) =
∇ 2 r ′G (r, r′ ) = −4πδ (r − r ′ )
1
|r − r ′ | + f (r, r′ )
∇ 2 r ′f (r, r′ ) = 0
und erhalten
∫
V
∫
(
Φ∇
2
r ′G − G∇ 2 r ′Φ) dV =
F
(
Φ ∂G − G ∂Φ )
dF
∂n ′ ∂n ′
∫
−
V
[4πΦ (r ′ ) δ (r − r ′ ) − 4πG (r, r ′ ) ρ (r ′ )] dr ′
∫
=
F
(
Φ (r ′ ) ∂G − G (r, r ′ ) ∂Φ )
dF
∂n ′ ∂n ′
∫
Φ(r) = G (r, r ′ ) ρ (r ′ ) dr ′ + 1 ∫ (
G (r, r ′ ) ∂Φ
V
4π F ∂n − Φ ′ (r′ ) ∂G )
dF.
∂n ′
Jetzt können wir die Funktion f so wählen, dass
G D (r, r ′ ) = 0
für r ′ auf F
eine sehr einfache Randbedingung. Dann erhalten wir
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