Elektrodynamik: Kapitel 1

41 Elektromagnetische Wellen in Vakuum
Ebene Wellen
Ohne Quellen reduzieren sich die Maxwell Gleichungen auf:
1) ∇ · E = 0, 3) ∇ ∧ E + 1 c
2) ∇ · B = 0, 4) ∇ ∧ B − 1 c
Wir rechnen die Rotation von Gleichung 3),
∂B
∂t = 0
∂E
∂t = 0.
∇ ∧ ∇ ∧ E + 1 c ∇ ∧ ∂B
∂t = 0
∇(∇ · E) − ∇ 2 E + 1 ∂
(∇ ∧ B) = 0
} {{ } c ∂t
=0
−∇ 2 E + 1 ∂ 2 E
c 2 ∂t = 0 2
∇ 2 E − 1 c 2 ∂ 2 E
∂t 2 = 0
Ebenso gilt dies für das B Feld. Wir müssen die 6 Komponenten von E und
B bestimmen. Jede Komponente genügt der Wellengleichung
∇ 2 u − 1 c 2 ∂ 2 u
∂t 2 = 0, u = E i, B i.
Die Wellengleichung hat periodische Lösungen in 3d
mit Separationskonstante
u= exp (ik · r − iωt)
k 2 = ω2
c 2 .
Für 1 Dimension, z.B. laufende Welle in z−Richtung
u= Ae ikz−iωt +Be −ikz−iωt
= Ae ik(z−ct) +Be −ik(z−ct) .
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