Elektrodynamik: Kapitel 1

11 Die Eindeutigkeit der Lösungen der
Poisson’schen Gleichung
Wir fragen nach den Randbedingungen der Poissonschen Gleichung. Wir
verlangen, dass unsere Lösung innerhalb eines Gebietes eindeutig und
physikalisch ist. Normalerweise müssen wir eine Lösung nach bestimmten
Randbedingungen aussuchen. Entweder können wir das Potential, die sogenannten
Dirichlet’schen Randbedingungen, auf der Oberfläche bestimmen,
oder das Feld, die sogenannten Neumann’schen Randbedingungen, spezifizieren.
Beide Methoden liefern eine eindeutige Lösung. Wir beweisen diese
Eigenschaft mit Hilfe eines Satzes von George Green (1824) dem Green’schen Satz.
Wir beginnen mit Divergenz Satz (Satz von Gauß)
∫
∫
∇ · A dV = A · n dF
V
für ein beliebiges ”genügend glattes” Vektorfeld A innerhalb eines Volumens
V mit Oberfläche F . Wir setzen
F
A = φ∇ψ,
wobei φ, ψ beliebige Skalarfelder sind. Dann gilt
weiter ist
∇ · A = ∇ · (φ∇ψ) = φ∇ 2 ψ + ∇φ · ∇ψ
A · ̂n = φ∇ψ · ̂n.
Mit diesem Skalarprodukt wählen wir die Komponente des Gradienten in
Richtung ̂n, d. h. normal zu der Oberfläche. Dann schreiben wir
A · ̂n = φ ∂ψ
∂n
ist eine Skalargröße. Jetzt erhalten wir die erste Identität von Green
∫
(
φ∇ 2 ψ + ∇φ · ∇ψ ) ∫
dV = φ ∂ψ
∂n dF.
V
Wir können auch ψ und φ vertauschen
∫
(
ψ∇ 2 φ + ∇ψ · ∇φ ) ∫
dV =
V
15
F
F
ψ ∂φ
∂n dF