Elektrodynamik: Kapitel 1

44 Kontinuitätsgleichung für die Energie
Wir beginnen mit den Maxwell Gleichungen im Vakuum
Wir nehmen
∇ ∧ E + 1 c
∇ ∧ B − 1 c
∂
∂t B = 0
∂
∂t E = 0.
B · ∇ ∧ E − E · ∇ ∧ B + 1 ∂ (
|E| 2 + |B| 2) = 0
} {{ } 2c ∂t
∇·(E∧B)
und multiplizieren mit c/4π
∇ ·
( c
4π (E ∧ B) )
+ ∂ ∂t
( 1 (
|E| 2 + |B| 2)) = 0.
8π
Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung
mit Poyntingvektor
und Energiedichte
V
F
∇ · S + ∂ ∂t E = 0
S ≡ c
4π E ∧ B
E = 1 (
|E| 2 + |B| 2) .
8π
Wir integrieren
∫ ∫
∇ · Sdr = S · dF = − ∂ ∫
∂t
V
( 1 (∣ ∣ ∣ ∣E 2 ∣ + ∣B 2 )) dr
8π
d.h. die zeitliche Änderung der Gesamtenergie innerhalb eines Volumens
gleicht dem Oberflächenintegral des Poyntingvektors.
∫
S · dF = − ∂W ∂t .
F
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