Elektrodynamik: Kapitel 1

Mit Hilfe des Stokeschen Satzes erhalten wir
∫
(∇ ∧ E) · n dF = − 1 ∫
∂
B · n dF
F
c ∂t F
∫
F
(
∇ ∧ E + 1 c
)
∂B
· n dF = 0.
∂t
Da die Schleife C und die umschlossene Fläche F beliebig sind, erhalten wir
das Faraday’sche Induktionsgesetz in differentieller Form
∇ ∧ E + 1 c
Jetzt haben wir 4 Gleichungen hergeleitet
1. ∇ · E = 4πρ (Coulomb’sche Gesetz)
∂B
∂t = 0 .
2. ∇ · B = 0 (keine magnetische ’Ladung’)
3. ∇ ∧ E + 1 c
∂B
∂t = 0
(Faraday’sche Gesetz).
4. ∇ ∧ B = 4π c
j (Ampèresche Gesetz)
Gleichung 4. haben wir für stationäre Ströme hergeleitet. Sie entspricht
∇ · ∇ ∧ B = 0 = 4π c
∇ · j, d.h. ∇ · j = 0.
Das Prinzip der Ladungserhaltung verlangt
∂ρ
∂t + ∇ · j = 0.
J. C. Maxwell hat die Inkonsistenz der Gleichungen bemerkt und sie zu einem
konsistenten System abgeändert.
Gleichung 1. bedeutet
4π ∂ρ
∂t = ∇ · ∂E
∂t = ∂ (∇ · E) .
∂t
71