Elektrodynamik: Kapitel 1
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24 Asymptotische Entwicklung<br />
x ≫ 1, m √<br />
2<br />
(<br />
J m (x) →<br />
πx cos x − mπ<br />
2 − π )<br />
√ 4<br />
2<br />
(<br />
N m (x) →<br />
πx sin x − mπ<br />
2 − π )<br />
,<br />
4<br />
d.h. jede Besselfunktion hat unendlich viele Nullstellen x mn , n = 1, 2 . . .<br />
J m (x mn ) = 0.<br />
Die Funktionen √ ρJ m (x mn ρ/a) zu festem m und n = 1, 2 . . . auf dem Intervall<br />
0 ≤ ρ ≤ a bilden einen Satz orthogonaler Funktionen.<br />
Orthogonalität<br />
Vollständigkeit<br />
∫ a<br />
0<br />
ρJ m (x mn ′ ρ/a) J m (x mn ρ/a) dρ<br />
= a2<br />
2 [J m+1 (x mn )] 2 δ n ′ n.<br />
f (ρ) =<br />
die Fourier-Bessel Reihe, mit<br />
A mn =<br />
∞∑<br />
A mn J m (x mn ρ/a)<br />
n=1<br />
2<br />
a 2 J 2 m+1 (x mn)<br />
∫ a<br />
0<br />
f (ρ) J m (x mn ρ/a) ρdρ.<br />
25 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten<br />
Gesucht wird das Potential innerhalb des Zylinders.<br />
Nehmen wir als Beispiel an<br />
Φ = 0 bei z = 0.<br />
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