Elektrodynamik: Kapitel 1

J l+
1
2
N l+
1
2
f lm (r) = A lm
r 1 2
J l+
1
2
(kr) + B lm
r 1 2
N l+
1 (kr) .
2
ist eine Besselsche Funktion (regulär bei r = 0),
ist eine Neumannsche Funktion (irregulär bei r = 0).
Wir führen die sphärischen Bessel-Funktionen bzw. Neumann (Hankel)-
Funktionen ein, mit x = kr
Für x > l
j l (x) =
( π 2
J l+
1 (x) ;
2x)1
2
n l (x)
j 0 (x) = sin x
x ; n 0 (x) = cos x
x
j 1 (x) = sin x
x 2
j l (x) ∼
( π
2x)1
2
N l+
1
2
− cos x
x ; n 1 (x) = − cos x
x
− sin x
x 2
x l
(2l + 1)!! , n (2l − 1)!!
l (x) = −
x l+1
j l (x) ∼ 1 (
x sin x − lπ )
; n l (x) ∼ 1 (
2
x cos x − lπ )
.
2
Entwicklung einer ebenen Welle in Kugelkoordinaten
Wir setzen ̂k = ẑ, d.h. ̂k · ̂r = cos γ, es gilt
e ik·r = e ikr cos γ = e ikz
∞∑
= (2l + 1) i l j l (kr) P l (cos γ) .
l=0
Für eine beliebige z-Richtung (siehe Fig. 9 und Fig. 11) gilt
e ik·r = 4π
∞∑
∑+l
l=0 m=−l
i l j l (kr) Ylm ∗ (̂k)Y lm (̂r).
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