Dynamische Prozesse in der Physik, Chemie und Biologie
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Übungen zur Vorlesung<br />
“<strong>Dynamische</strong> <strong>Prozesse</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Physik</strong>, <strong>Chemie</strong> <strong>und</strong> <strong>Biologie</strong>”<br />
W<strong>in</strong>tersemester 2009/10<br />
Aufgabenblatt 11 - 18.01.2010<br />
Aufgabe 1:<br />
Betrachte den Hamiltonoperator<br />
H = E 0 |0〉〈0| + ∑ α<br />
(E α |α〉〈α| + V 0α |0〉〈α| + V α0 |α〉〈0|).<br />
Die Übergangsamplituden zwischen den Zuständen |ν〉 <strong>und</strong> |µ〉 s<strong>in</strong>d<br />
wobei Θ(t) die Heaviside-Sprungfunktion ist.<br />
A νµ (t) = Θ(t)〈ν| exp(−iHt/)|µ〉,<br />
Leite aus <strong>der</strong> Schröd<strong>in</strong>gergleichung e<strong>in</strong>e Gleichung für die A νµ (t) her (siehe VL). Verwende<br />
hierbei, dass die Zustände ν vollständig <strong>und</strong> orthonormiert s<strong>in</strong>d, d.h. 〈ν|µ〉 = δ νµ <strong>und</strong><br />
|ν〉〈ν| = 1.<br />
∑<br />
ν<br />
Mit Hilfe <strong>der</strong> Fourier-Transformation<br />
lässt sich diese Gleichung lösen.<br />
A νµ (ω) =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
dt e iωt A νµ (t)<br />
Bestimme nun A 00 (ω). Erweitere A 00 (ω) <strong>in</strong> die komplexe Ebene zu<br />
[<br />
A 00 (ω) = i ω − E 0 − ∑ ]<br />
|V 0α | 2<br />
−1<br />
ω − E<br />
α<br />
α + iɛ + iɛ ,<br />
wobei ɛ ≪ 1 ist <strong>und</strong> am Ende <strong>der</strong> Rechnung <strong>der</strong> Limes ɛ → 0 genommen wird.<br />
Zeige weiterh<strong>in</strong>, dass<br />
lim<br />
ɛ→0<br />
|V 0α | 2<br />
ω − E α + iɛ = |V 0α| 2<br />
ω − E α<br />
− iπ|V 0α | 2 δ(ω − E α )
schreiben lässt (verwende: πδ(x) = lim ɛ→0 ɛ/(x 2 + ɛ 2 )). Somit folgt für die Selbstenergie<br />
Σ(ω) ≡ ∑ α<br />
|V 0α | 2<br />
ω − E α + iɛ<br />
≡ ∆Ω(ω) − iΓ.<br />
Löse (analytisch o<strong>der</strong> numerisch) nun die <strong>in</strong>verse Fourier-Transformation<br />
P 0 (t) ≡ |A 00 (t)| 2 =<br />
1<br />
∣2π<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
dω e −iωt A 00 (ω)<br />
∣<br />
unter <strong>der</strong> Annahme, dass ∆Ω <strong>und</strong> Γ festgehalten werden (bei ω = E 0 /).<br />
2