Theoretische Physik I Mathematische Methoden

Theoretische Physik I
Mathematische Methoden
Prof. Dr. Stefan Scheel
Aufgaben Wintersemester 2012/13
Abgabe: 01.11.2012
Kontrollfragen
K1
K2
K3
K4
K5
K6
Was versteht man unter einem Skalar bzw. Vektor? Nennen Sie Beispiele aus der
Physik.
Definieren Sie das Skalarprodukt, das Vektorprodukt und das Spatprodukt und
erläutern Sie deren anschauliche Bedeutung.
Ist das Vektorprodukt kommutativ? Erläutern Sie Ihre Aussage.
Welche Aussage können Sie über die Lage von drei jeweils vom Nullvektor verschiedenen
Vektoren ⃗a, ⃗ b und ⃗c machen, wenn deren Spatprodukt verschwindet (=0)?
Wann heißen drei Vektoren linear unabhängig?
Was versteht man unter einem System von Basisvektoren?
Übungsaufgaben
A1
Rechtssystem (4 Punkte)
Die Einheitsvektoren i, j und k bilden ein Rechtssystem. Bestimmen Sie in den
folgenden vier Abbildungen, ob der jeweils dritte Vektor in die Papierebene oder
aus ihr heraus zeigt.
a) j
b) k
c) i
d)
i
i
j
j
k
A2
Compton–Streuung (4 Punkte)
Ein Photon der Wellenlänge λ 1 streut an einem (als ruhend angenommenen) Elektron
(siehe Skizze auf der Rückseite). Dieses bewegt sich nach dem Stoß in einem
Winkel von θ = 20° bzgl. der Richtung des einfallenden Photons. Die Wellenlänge
des Photons nimmt dabei auf λ 2 = 1.1λ 1 zu. Wie groß ist der Winkel ϕ, um den das
Photon abgelenkt wird?
(Hinweis: Wählen Sie k 1 = (k 1 , 0, 0), nutzen Sie die Impulserhaltung sowie die Zusammenhänge
p Photon = k, p e − = mv und |k| = k = 2π und leiten Sie ϕ als
λ
Funktion von α = k 2
k 1
und θ her.)

m ⃗v
θ
ħ k ⃗ 1
ħ ⃗k 2
A3
A4
Gram–Schmidt–Verfahren (4 Punkte)
Gegeben seien die Vektoren a = (2, 1, −3) und b = (6, 4, −4). Konstruieren Sie aus
diesen ein orthonormiertes System.
Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt (6 Punkte)
a) Bestimmen Sie den Winkel zwischen den in Aufgabe A3 gegebenen Vektoren
a und b.
b) Berechnen Sie das Vektorprodukt a × b und dessen Betrag |a × b|.
c) Gegeben sei zusätzlich der Vektor c = (1, −2, α) mit α ∈ R. Berechnen Sie
das Spatprodukt (a × b) · c für α = 2.
d) Für welchen Wert von α ist das Spatprodukt gleich Null? Was können Sie in
diesem Fall über die drei Vektoren a, b und c aussagen?
A5
Kronecker–Symbol (2 Punkte)
Bestimmen Sie (im R n ) die Summen
b)
a)
n∑
δ ij δ jk
j=1
n∑ n∑
δ ij δ ji
i=1 j=1