Elliptische Kurve

Struktur elliptischer Kurven über Z p• Wieviele Punkte hat eine elliptische Kurve?– Gruppenordnung ist Zahl der Lösungen vony 2 = x 3 +a·x+b inZ p ×Z p– Satz von Hasse: Für die Ordnungnder GruppeE(p;a,b) giltp+1−2 √ p ≤ n ≤ p+1+2 √ p· Fürp=23 liegt die Gruppenordnung vonE(p;a,b) zwischen 14 und33· Fürp=499 liegt die Gruppenordnung zwischen 456 und544– Genaue Gruppenordnung berechnet Algorithms von Schoof inO(|p| 8 )–E(p;a,b) ist zyklisch, wenn Ordnung Produkt verschiedener Primzahlen• Welche Gruppenstruktur ist zu erwarten?– Satz: Für Primzahlen p>3 gibt es k,m∈N mitk|m undk|(p−1), so daß (E(p;a,b),+) isomorph zu Z m×Z kist– Die Zahlen k undmkönnen ausp,a,b berechnet werden– E(p;a,b) ist zyklisch, wenn k=1 ist– Ansonsten gibt es eine zyklische Untergruppe der Ordnung mKRYPTOGRAPHIE UND KOMPLEXITÄT §5.3: 15 ELLIPTISCHE KURVEN