Analysis 3 Carsten Schütt WS 2002/3 1. Es sei X eine Menge und E ...

Analysis 3Carsten Schütt WS 2002/31. Es sei X eine Menge und E eine Teilfamilie von der Potenzmenge P(X).Dann gibt es eine kleinste σ-Algebra S(E), die E enthält (d.h. jede σ-Algebra, dieE enthält, enthält auch S(E)).2. Es sei X eine unendliche Menge. A sei die Familie aller Teilmengen vonX, die abzählbar sind oder deren Komplemente abzählbar sind. Dann ist A eineσ-Algebra.3. Es seien X und Y metrische Räume und f : X → Y . Dann sind äquivalent:(i) f ist in allen Punkten stetig.(ii) Das Urbild jeder offenen Menge unter f ist offen.(iii) Das Urbild jeder abgeschlossenen Menge unter f ist abgeschlossen.Abgabe: Montag, 28.10.20021

2Analysis 3Carsten Schütt WS 2002/34. Es seien (X, A,µ) ein Maßraum und N = {A ∈ A|µ(A) =0}. Dann istĀ = {A ∪ B|A ∈ A und B ⊆ C für ein C ∈ N}eine σ-Algebra und es gibt eine eindeutige Erweiterung ¯µ des Maßes µ auf Ā und¯µ ist ein vollständiges Maß.5. Es sei (X, A,µ) ein Maßraum und A, B ∈ A. Dann giltµ(A)+µ(B) =µ(A ∪ B)+µ(A ∩ B)6. Es sei (X, A,µ) ein Maßraum und E ∈ A. Dann ist auchein Maß.µ E (A) =µ(E ∩ A) A ∈ AAbgabe: Montag, 4.11.2002

3Analysis 3Carsten Schütt WS 2002/37. Es sei A die Familie, die aus der leeren Menge und aus endlichen Vereinigungenvon Mengen der Form (a, b] ∩ Q besteht, wobei −∞ ≤ a ≤ b ≤∞. Es gelten(i) A ist eine Algebra auf Q.(ii) Die σ-Algebra, die von A erzeugt wird, ist die Potenzmenge P(Q) vonQ.(iii){0 A = ∅µ(A) =∞ A ∈ A und A ≠ ∅ist ein Prämaß auf A.(iv) Für die Erweiterung ¯µ des Prämasses µ von der Algebra auf die σ-Algebra gilt¯µ(A) ={0 A = ∅∞A ∈ P(Q) und A ≠ ∅(v) Es gibt ein Maß ν auf P(Q), das auf A mit µ übereinstimmt und das auf P(Q)nicht mit ¯µ übereinstimmt.8. Es sei X eine unendliche Menge und A die Mengenalgebra aller endlichenTeilmengen und deren Komplemente. Zeige, dass µ : A → [0, ∞],{ Anzahl der Elemente, falls A endlich istµ(A) =∞ sonstein Prämaß ist. Gebe das zugehörige äussere Maß µ ∗ an und die σ-Algebra allerµ ∗ -messbaren Mengen an.Abgabe: Montag, 11.11.2002

4Analysis 3Carsten Schütt WS 2002/39. Es sei f : R → R stetig differenzierbar und A = {x|f ′ (x) =0}. Dann ist f(A)eine Lebesgue-Nullmenge.Hinweis:1. Jede offene Teilmenge in R ist abzählbare Vereinigung offener, disjunkter Intervalle.2. Die Menge A n (ɛ) ={x ∈ (−n, n)||f ′ (x)| < ɛ2 n } ist offen.3. Mit dem Mittelwertsatz kann man das Maß von f(A n (ɛ)) abschätzen.10. Es sei F : R → R durch{ 0 falls x0 eine Menge E, die endliche Vereinigung offener Intervalle ist und fürdie µ(A△E)

5Analysis 3Carsten Schütt WS 2002/312. Es sei (X, A,µ) ein vollständiger Maßraum und A, B, C seien Mengen mitA, C ∈ A, A ⊆ B ⊆ C und µ(A) =µ(C). Gilt dann B ∈ A?Eine Menge heisst perfekt, wenn sie abgeschlossen ist und keine isolierten Punktebesitzt, d.h. wenn sie gleich der Menge ihrer Häufungspunkte ist. Wir sagen, dasseine Menge nirgends dicht ist, falls das Innere des Abschlusses die leere Menge ist.13. Es sei C die Cantormenge. Dann gilt(i) C ist perfekt.(ii) Für alle x, y ∈ C existiert ein z/∈ C, so dass x 1 − ɛ. Gibt es auch eine kompakte, nirgends dichteTeilmenge A mit λ(A) =1?Abgabe: Montag, 25.11.2002

6Analysis 3Carsten Schütt WS 2002/3Es sei (X, A,µ) ein Maßraum. Eine Menge A ∈ A mit µ(A) > 0 heißt Atom, fallsfür jedes B ∈ A mit B ⊆ A entweder µ(B) = 0 oder µ(B) =µ(A) gilt. Existierenim Maßraum keine Atome, dann heisst das Maß atomfrei. Falls es eine Folge vonAtomen A n , n ∈ N gibt, so dass(⋃ ∞) cA nn=1eine Nullmenge ist, dann heisst µ rein atomar.15. Der Lebesguesche Maßraum ist atomfrei.16. Es sei der Maßraum (X, A,µ) atomfrei und µ(X) = 1. Dann gibt es zu jederZahl t mit 0 ≤ t ≤ 1 eine Menge A ∈ A mit µ(A) =t.Hinweis: Zeige zunächst, dass es eine Menge C mit 1 3 ≤ µ(C) ≤ 2 3gibt. Dazuweist man nach, dass das Supremum{sup µ(B)∣ µ(B) < 1 }3für eine Menge B angenommen wird. Außerdem muss man zeigen, dass B c einAtom enthält. Nachdem man die Existenz der Menge C sichergestellt hat, iteriertman: C enthält eine Menge C 1 mit 1/3µ(C) ≤ µ(C 1 ) ≤ 2/3µ(C) und ebenso fürC c . Auf diese Weise findet man, dass {µ(A)|A ∈ A} dicht in [0, 1] liegt.17. Es sei (X, A,µ) ein Maßraum und µ(X) = 1. Dann gibt es eine Folgepaarweise disjunkter Atome A n , n ∈ N, so dass das Maß νatomfrei ist, und das Maß ρ( ( ∞) c )⋃ν(A) =µ A ∩ A nρ(A) =n=1∞∑µ(A ∩ A n )n=1rein atomar ist. Dann gilt µ = ν + ρ und diese Darstellung von µ als Summe einesatomfreien Maßes und eines rein atomaren Maßes ist eindeutig.Abgabe: Montag, 2.12.2002

7Analysis 3Carsten Schütt WS 2002/318. Es sei X eine Menge und Y α , α ∈ A, sei eine Familie von Mengen mitσ-Algebren B α , α ∈ A. Es seien f α : X → Y α Abbildungen. Dann gibt es eineeindeutige, kleinste σ-Algebra A, so dass alle f α messbar sind. A ist die von derFamilie{fα −1 (E α )|α ∈ A und E α ∈ B α }erzeugte σ-Algebra. Falls X = ∏ α∈A Y α, dann ist die Produkt σ-Algebra die vonden Abbildungen π α erzeugte σ-Algebra.19. Es sei f : R → R fast überall stetig. Dann ist f Lebesgue-messbar.20. Es sei f : R → R eine differenzierbare Funktion. Dann ist f ′ Lebesguemessbar.Abgabe: Montag 9.12.2002

8Analysis 3Carsten Schütt WS 2002/321. (i) Es sei (X, A,µ) ein Maßraum. Finde zwei Funktionen f,g : X → R, sodass f messbar, g nicht messbar und f = g fast überall.(ii) Es sei (X, A,µ) ein Maßraum. Finde messbare Funktionen f n : X → R, n ∈ N,die punktweise fast überall gegen eine nicht messbare Funktion f konvergieren(iii) Es seien f ι : R → R, ι ∈ I, Lebesgue messbare Funktionen. Zeige, dasssup ι∈I f ι nicht notwendig messbar sein muss.22. Es sei f : R → R eine monotone Funktion. Dann ist f Lebesgue-messbar.23. Wir betrachten den Maßraum ([0, 1], L,λ). Es gibt Funktionen f n ∈ L + ([0, 1], L,λ),n ∈ N, so dass(i) lim n→∞ f n (x) =0für alle x ∈ [0, 1].(ii) lim n→∞∫ 10 f ndλ = ∞Abgabe: Montag, 16.12.2002

9Analysis 3Carsten Schütt WS 2002/324. Wir betrachten den Maßraum ([0, 1], L,λ). Es gibt Funktionen f n ∈ L + ([0, 1], L,λ),n ∈ N, so dass(i) lim n→∞ f n (x) existiert für kein x ∈ [0, 1].(ii) lim n→∞∫ 10 f ndλ =025. Wir betrachten den Maßraum ([0, 1], L,λ). Es gibt Funktionen f n ∈ L + ([0, 1], L,λ),n ∈ N, so dass(i) lim n→∞ f n (x) =0für alle x ∈ [0, 1].(ii) Für alle n ∈ N gilt ∫ 10 f ndλ =1.26. Wir betrachten den Maßraum ([0, 1], L,λ). Es sei f n ∈ L + ([0, 1], L,λ),n ∈ N, eine Folge von Funktionen, die gleichmäßig gegen eine Funktion f ∈L + ([0, 1], L,λ) konvergiert. Dann gilt∫ 1∫ 1fdλ = lim f n dλ0n→∞0Abgabe: Montag, 6.1.2003

12Analysis 3Carsten Schütt WS 2002/333. Es sei B [0,1] die Borel σ-Algebra, λ das Lebesgue-Maß, und µ das Zählmaß.Es seiD = {(x, x)|x ∈ [0, 1]}.Berechne∫χ D dλ × µ∫∫χ D dλdµ∫∫χ D dµdλfalls die Ausdrücke existieren.34. Berechne das Volumen der Menge{) }2T = (x, y, z) ∣∣(√x2 + y 2 − R + z 2 ≤ r 2Um welche Menge handelt es sich? Fertige eine Zeichnung der Menge an.35. Berechne das Volumen der Menge, die durchx 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 x ≥ √ y 2 + z 2beschrieben ist. Fertige eine Zeichnung der Menge an.Abgabe: Montag, 3.2.2003