Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

Partielle Differentialgleichungen in derFinanzmathematikVorlesung gehalten im Sommersemester 2006am Mathematischen Seminarder Christian-Albrechts-Universität zu KielAlexander UllmannKiel 2006

INHALTSVERZEICHNIS 2InhaltsverzeichnisEinleitung 31 Grundbegriffe der Finanzmathematik 41.1 Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 short, long . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Payoff- und Profitdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Handelsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Put-Call-Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Das Black-Scholes Modell 72.1 Einführung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Der Wienerprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Selbstfinanzierende Handelsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Das stochastische Integral und die Itô-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Herleitung der Black-Scholes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Einschub: Fouriertransformation und Faltung 174 Parabolische Gleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 274.1 Einleitung und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Existenz von Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3 Eindeutigkeit von Lösungen und das Maximumsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . 345 Die Black-Scholes Formel 416 Parabolische Gleichungen 2. Ordnung mit variablen Koeffizienten 456.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Abstrakte parabolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3 Anwenden auf elliptische Operatoren 2. Ordnung in L 2 (R n ) . . . . . . . . . . . . 577 Stochastische Darstellung von Lösungen parabolischer Gleichungen 64Literatur 67

INHALTSVERZEICHNIS 3EinleitungZiel dieser Vorlesung ist es, den Zusammenhang von Finanzmathematik und partiellen Differentialgleichungen(PDG) darzulegen sowie einen Einblick in beide Gebiete zu geben. Die Vorlesungrichtet sich dabei insbesondere an Hörer, die auf keinem der beiden Gebiete Vorkenntnisse besitzenund soll daher auch gleichzeitig eine Einführung in die Grundlagen der jeweiligen Disziplinedarstellen.Im ersten Teil werden die Grundbegriffe der Finanzmathematik und ihre mathematische Modellierungvorgestellt. Dazu wird in dem kontinuierlichen Black-Scholes-Modell gearbeitet. Eswürde den Rahmen der Vorlesung sprengen, dieses in aller formalen Ausführlichkeit zu präsentieren,daher werden nur die Ideen und Grundkonzepte ohne Beweise vorgestellt werden. Einengenauen Zugang zur Theorie kann man in der Vorlesung Stochastische Prozesse und Finanzmathematikvon Herrn Irle erhalten.Ein wichtiges Problem der Finanzmathematik ist die Preisbestimmung von sogenannten Derivaten(z.B. Optionen auf Aktien) sowie dem Bilden einer Absicherungsstrategie. Mithilfe derIto-Formel läßt sich dieses Problem zurückführen auf das Lösen einer PDG. So erhält man dieBlack-Scholes-Differentialgleichung∂∂t u(t, x) + 1 2 σ2 x 2 ∂2∂f(t, x) + rx f(t, x) − rf(t, x) = 0.∂x2 ∂xEs handelt sich hierbei um eine sogenannte parabolische Gleichung 2. Ordnung. Man stellt fest,daß man auch allgemein stets auf eine PDG dieses Types kommt.Daher werden im zweiten Teil der Vorlesung PDG eben dieses Types betrachtet. Dazu wird ineinem Einschub zunächst eine Einführung in dafür erforderlichen Standardhilfsmittel aus derAnalysis, wie z.B. der Fouriertransformation, wiederholt bzw. vorgestellt. Das Lösen der Black-Scholes-Gleichung läßt sich durch die Euler-Transformation zurückführen auf das Lösen eineparabolischen Gleichung mit konstanten Koeffizienten. Wir werden zeigen, daß diese stets äquivalentsind zur Wärmeleitungsgleichung ∂ ∂tu(t, x) = ∆u(t, x), die daher als Paradebeispiel parabolischerGleichungen zuerst betrachtet werden soll. Im nächsten Abschnitt wird im Anschluß andas Black-Scholes-Modell die entwickelte Theorie angewendet, um die Black-Scholes-Gleichungzu lösen und so die berühmte Black-Scholes-Formel zur Bewertung von europäischen Optionenherzuleiten.Anschließend wird ein kurzer Einblick in die Lösungstheorie allgemeinerer parabolischer Gleichungenmit nichtkonstanten Koeffizienten gegeben. Wir geben dazu einen kurzen Einblick indie Theorie der C 0 -Halbgruppen, die eine abstrakte Behandlung von parabolischen Gleichungenermöglicht. Anschließend wird mit funktionalanalytischen Hilfsmitteln gezeigt, wie sich dieseabstrakte Theorie auch die konkrete Situation anwenden läßt. Im letzten Abschnitt wird abschließendein Ausblick auf die stochastische Darstellung von Lösungen mithilfe der Feynman-Kac-Formel gegeben.

1 GRUNDBEGRIFFE DER FINANZMATHEMATIK 41 Grundbegriffe der FinanzmathematikWir geben in diesem Kapitel einen Überblick über elementare Begriffe der Finanzmathematik.Wir folgen dabei weitestgehend den Ausführungen in [Ir03].Finanzgüter werden in zwei Klassen aufgeteilt:1. Basisfinanzgüter, z.B. festverzinsliche Wertpapiere, Aktien, Rohstoffe,2. derivative Finanzgüter, d.h. Finanzgüter, die von (einfacheren) Basisfinanzgütern abhängen,z.B. Aktienoptionen, Forwards auf Wertpapiere.Das Standardmodell, das in dieser Vorlesung behandelt wird, wird zwei Basisgüter und einderivatives Finanzgut, das von diesen beiden Basisgütern abhängt, beinhalten. Ziel ist die Bestimmungeines fairen Preises für dieses derivative Finanzgut.1.1 OptionenEine Option gibt dem Käufer das Recht,• ein bestimmtes Finanzgut• zu einem im voraus vereinbarten Preis, dem Ausübungs- oder Basispreis K• während (amerikanische) oder am Ende (europäische) der Laufzeit T der Optionzu kaufen (Call-option) oder zu verkaufen (Put-Option). Beim Kauf einer Option ist der Kaufpreisder Option sofort fällig.1.2 short, longWir verwenden die folgende Sprechweise: Der Käufer eines Finanzgutes geht eine long positionein, der Verkäufer eine short position. Ein Spezialfall ist das Eingehen einer short position in derAktie, man spricht hierbei auch von einem Leerverkauf (short selling). Ein Leerverkauf ist dasLeihen einer Aktie, z.B. von einer Bank, die dann verkauft wird. Später wird die short positionaufgehoben, indem die Aktie der Bank zurückgegeben wird.1.3 Payoff- und ProfitdiagrammeDie Auszahlung bzw. der Profit eines Derivates in Abhängigkeit vom Basisgut kann in sogenanntenPayoff- bzw. Profitdiagrammen dargestellt werden. Betrachtet werde zum Beispiel eineeuropäische Option mit Laufzeit T , Basispreis K auf ein Basisgut mit Preis S T zum ZeitpunktT . Der Preis der Call-Option werde mit C, der der Put-Option mit P bezeichnet.In der long call position ergibt sich zum Zeitpunkt T die folgende Auszahlung:S T ≤ K keine Ausübung, also Auszahlung 0,S T > K Kaufe Aktie zum Basispreis K und verkaufe am Markt zum Kurs S T . Als Auszahlungergibt sich S T − K.Insgesamt beträgt die Auszahlung also (S T − K) + := max{S T − K, 0}. Der Profit beträgt entsprechend(S T − K) + − CGrafiken einfügen: Payoffdiagramm, Profitdiagramm.

1 GRUNDBEGRIFFE DER FINANZMATHEMATIK 51.4 HandelsstrategienDurch Kombination von short und long positions bildet man eine Handelsstrategie.Beispiel. Absicherung einer Aktie. Es bezeichne S 0 den Anfangspreis der Aktie und S T denAktienpreis zum Ausübungszeitpunkt T . Dann bilden wir die Handelsstrategie long Aktie &long put auf die Aktie zum Basispreis K = S 0 . P bezeichne den Preis der put-Option. Diesliefert zum Ausübungszeitpunkt T die Auszahlung S T + (K − S T ) + . Als Profit ergibt sich damitoffenbarS T + (K − S T ) + − (K + P ) = −P + (S T − S 0 ) + (S 0 − S T ) + = −P + (S T − S 0 ) + ≥ −P.Damit liefert diese Strategie eine Verlustbegrenzung auf den Kaufpreis P der Option.1.5 ArbitrageArbitrage ist ein risikoloser Profit beim Handel mit Finanzgütern.Beispiel. Eine Aktie werde in New York zu 100 $ und in Frankfurt zu 80 EURO gehandelt. DerWechselkurs sei 0, 82 EURO$. Unter Vernachlässigung von Transaktionskosten liefert die folgendeStrategie eine Arbitragemöglichkeit:1. Kaufe n Aktien in Frankfurt,2. Verkaufe diese in New York,3. Wechsel $ in EURO um.Damit ergibt sich der risikolose Profit n · (100 · 0, 82 − 80) EURO = 2n EURO.Durch Transparenz und Effizienz ist Arbitrage in der Realität in der Regel nur für sehr kurzeZeit möglich. Dies rechtfertigt die (idealisierende) Grundannahme:Im Handel mit Finanzgütern gibt es keine Arbitrage.(No-Arbitrage-Prinzip)Aus dem No-Arbitrage-Prinzip ergibt sich unmittelbar das1.6 ÄquivalenzprinzipHaben zwei Handelsstrategien zu einem zukünftigen Zeitpunkt mit Sicherheit den gleichen Wert,so stimmen auch ihre Werte zum gegenwärtigen Zeitpunkt überein.Begründung. Bezeichne die Handelsstrategien mit H 1 , H 2 , die zugehörigen Werte zum gegenwärtigenZeitpunkt 0 mit W 1 , W 2 und mit T den zukünftigen Zeitpunkt. Angenommen, es wäreW 1 ≠ W 2 , also o.B.d.A. H 1 > H 2 . Dann führe die folgende Handelsstrategie durch:1. Zum Zeitpunkt 0 gehe short in H 1 und long in H 2 , dies liefert die Auszahlung H 1 − H 2 ,2. Zum Zeitpunkt T verkaufe H 2 und kaufe von dem Erlös H 1 , wodurch die short positionwieder aufgehoben wird.

1 GRUNDBEGRIFFE DER FINANZMATHEMATIK 6Dies ergibt den risikolosen Profit H 1 − H 2 > 0.Das Äquivalenzprinzip ist das fundamentale Werkzeug zur Preisbestimmung von Derivaten:Stellt man aus den Basisgütern eine Handelsstrategie zusammen, die in der Zukunft denselbenWertverlauf wie das Derivat annimmt, so muß nach dem Äquivalenzprinzip der Preis desDerivates zum gegenwärtigen Zeitpunkt gleich dem gegenwärtigen Wert der Handelsstrategiesein. Diese Idee wird im nächsten Abschnitt ausführlich erörtert. Als weiteres Beispiel für dieAnwendung des Äquivalenzprinzip bringen wir die1.7 Put-Call-ParitätSeien C bzw. P die Preise einer Call- bzw. Put-Option auf dasselbe Basisgut mit identischemBasispreis K und Verfallszeitpunkt T . Seien S 0 bzw. S T der gegenwärtige bzw. zukünftige Preisdes Basisgutes. Außerdem gebe es die Möglichkeit einer risikolosen Kapitalanlage mit kontinuierlicherVerzinsung r, alsox EURO im Zeitpunkt 0 −→ e rT x EURO im Zeitpunkt T .Dann gilt:S 0 + P − C = Ke −rT .Begründung. Sei H die Handelsstrategie long Basisgut & long put & short call. Dann hat Hzum Zeitpunkt 0 den Wert S 0 + P − C. Der Wert zum Zeitpunkt T istS T + (K − S T ) + − (S T − K) + = K.Die Kapitalanlage mit Wert Ke −rT hat zum Zeitpunkt T ebenfalls den Wert K, also folgt dieBehauptung aus dem Äquivalenzprinzip.Die Put-Call-Parität ist auch aus technischen Gründen hilfreich, da die Auszahlungsfunktionx ↦→ (K − x) + der Put-Option beschränkt ist im Gegensatz zur Auszahlungsfunktion x ↦→(x − K) + der Call-Option.

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 72 Das Black-Scholes Modell2.1 Einführung des ModellsBei dem Black-Scholes-Modell handelt es sich um ein kontinuierliches Finanzmarktmodell mitendlichem Zeithorizont T ∈ R >0 für zwei Basisfinanzgüter, nämlich einer festverzinslichen Wertanlageund einer Aktie.Finanzgut 1 Hierbei handelt es sich um eine festverzinsliche Wertanlage mit konstantem Zinssatzr ∈ R >0 . Der Wert zum Zeitpunkt t ∈ [0, T ] werde mit R t bezeichnet, wobei zum Zeitpunktt = 0 der Wert R 0 = 1 angenommen wird. Die Annahme einer kontinuierlichen Verzinsung ergibtR t = e rt . 1 Damit erfüllt R die Differentialgleichung R ′ = rR, in differentieller Schreibweise:dR tR t= r dt. (2.1)Gleichung (2.1) besagt, daß die relative Änderung von R t die konstante Rate r besitzt.Finanzgut 2 Hierbei handelt es sich um eine Aktie. Der Wert zum Zeitpunkt t ∈ [0, T ] wirdals zufällig angenommen, also dargestellt durch eine Zufallsgröße S t . Genauer ist (Ω, A, P ) einWahrscheinlichkeitsraum undS : [0, T ] × Ω → R, (t, ω) ↦→ S t (ω)eine meßbare Funktion. Es wird angenommen, daß sich die relative Änderung von S t in Analogiezu (2.1) aus einem deterministischen Anteil (Trend) und einer stochastischen Komponente(Schwankung) zusammensetzt:dS tS t= µ dt + σ dW t , (2.2)mit µ, σ ∈ R >0 . µ heißt der Drift und σ die Volatilität der Aktie. ”dW t “beschreibe in geeigneterWeise die stochastische Komponente. Dies soll in den folgenden Abschnitten näher beschriebenwerden.Grafik einfügen: Aktienkurs.2.2 Der WienerprozeßDefinition 2.1 (Wienerprozeß). Eine Familie (W t ) t∈R≥0 von Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum(Ω, A, P ) heißt Wienerprozeß (oder auch Brownsche Bewegung), falls gilt:(i) W 0 = 0,(ii) Für alle s, t ∈ R ≥0 mit s < t ist W t − W s stochastisch unabhängig von W r für alle r ∈ [0, s]und N(0, t − s)-verteilt,(iii) W besitzt stetige Pfade, das heißt, für alle ω ∈ Ω ist die Funktion W·(ω) : R ≥0 → R, t ↦→W t (ω) stetig.1 Dies kommt folgendermaßen zustande: Wird bis zum Zeitpunkt t > 0 genau n-mal die Verzinsung nachgleichen Zeiträumen ausgezahlt, so ergibt sich durch Zinseszins der Wert (1 + rtn )n . Im Fall einer kontinuierlichenVerzinsung nimmt man n → ∞ an, damit konvergiert dieser Ausdruck gegen e rt .

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 8Grafiken einfügen: Wiener-Prozeß.Man kann sich den Wienerprozeß vorstellen als eine kontinuierliche Version sogenannter Random-Walks: Seien (X j ) j∈N stochastisch unabhängige identisch verteilte Zufallsgrößen mit EX j = 0und EXj 2 = 1. Setze S n := ∑ nj=1 X j für alle n ∈ N, dann gilt ES n = 0 und Var(S n ) = n. (S n ) n∈Nnennt man auch einen Random-Walk.Grafiken einfügen: Random-Walk.Definiere nun S (n)t:= S [nt]√ nfür alle t ∈ [0, 1], dann gilt nach dem zentralen GrenzwertsatzS (n)t := S √[nt] [nt]√ · −→ N(0, t) = W t − W 0[nt] n} {{ } } {{ }→N(0,1) → √ tin Verteilung für n → ∞. In diesem Sinn kann also der Wienerprozeß als eine kontinuierlicheGrenzversion von Random-Walks angesehen werden.2.3 Selbstfinanzierende HandelsstrategienBevor wir weiter erörtern, wie der Ausdruck (2.2) mit Sinn zu belegen ist, soll zunächst motiviertwerden, welche technischen Manipulationen im Rahmen des Modells damit vorgenommenwerden sollen. Das Ziel wird sein, zu einem vorgegebenem Derivat ein replizierendes Portfolioherzuleiten, um damit nach dem Äquivalenzprinzip den Preis des Derivates zu bestimmen. Diesführt zu dem Begriff der selbstfinanzierenden Handelsstrategie. Dafür skizzieren wir zunächst dieentsprechenden Zusammenhänge im diskrete Modell:Es sei T ∈ N, die Punkte j = 0, 1, . . . , T werden als (diskrete) Handelszeitpunkte aufgefaßt.Weiter bezeichne g ∈ N die Gesamtzahl der Handelsgüter. Dann sei S 0 ∈ R g der Anfangspreisvektor,und für alle j ∈ N ≤T sei der Preisvektor S j eine Zufallsvariable mit Werten in R g . EineHandelsstrategie ist ein Tupel (H 0 , H 1 , . . . , H T ) ∈ (R g ) {0,1,...,T } , wobei H j ∈ R g das Portfoliodarstellt, das im Zeitpunkt j zusammengestellt und bis zum nächsten Zeitpunkt j + 1 gehaltenwird. Hieraus ergeben sich für alle j ∈ {0, 1, . . . , T } und n ∈ N ≤T die folgenden weitere Größen:Wert bei Erreichen von j: V j := Hj−1 t · S j (H −1 := 0),Wertänderung von j nach j + 1: W j := Hj t · S j+1 − Hj t · S j = Hj t · (S j+1 − S j ) für j < n,n∑Gewinn/Verlust in n:Hj−1 t · (S j − S j−1 ),j=1Entnahme in j: δ j := H t j−1 · S j − H t j · S j = (H j−1 − H j ) t · S j .Entsprechend nennen wir V = (V 0 , . . . , V T ) den Wertprozeß und δ = (δ 0 , . . . , δ T ) den Entnahmeprozeßder Handelsstrategie H.Man beachte, daß die Wertänderung W j der Handelsstrategie im allgemeinen nicht mit derWertdifferenz ∆V j := V j+1 − V j des Portfolios übereinstimmt, da eine Entnahme möglich ist.

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 9Stattdessen giltW j = H t j · S j+1 − H t j−1 · S j + H t j−1 · S j − H t j · S j = ∆V j + δ j .Für unsere Zwecke sind solche Handelsstrategien von Interesse, in denen außer zum Anfangsundzum Endzeitpunkt keine Entnahme stattfindet. Wir nennen die Handelsstrategie H daherselbstfinanzierend, falls δ j = 0 ist für alle j ∈ N ≤T −1 . In diesem Fall ergibt sich also:δ 0 = −H t 0 · S 0 Investition in 0,H t j−1 · S j = H t j · S j für j = 1, . . . , T − 1 vollständige Reinvestition in j,V T = H t T −1 · S T Endwert.Außerdem gilt in diesem Fall für alle n ∈ {0, 1, . . . , T } mit den obigen Bezeichnungen:n−1∑V n =j=0n−1∑∆V j = (−δ 0 + W 0 ) +j=1n−1∑W j = H0 t · S 0 +j=0H t j · (S j+1 − S j ).(∗)Im kontinuierlichen Modell sollen nun die diskreten Zeitpunkte j = 0, 1, . . . , T durch den kontinuierlichenZeitparameter t ∈ [0, T ] ersetzt werden. Der Wertprozeß wird dann zu einem kontinuierlichenstochastischen Prozeß (V t ) t∈[0,T ] , und die Gleichung (∗) geht über in eine IntegralgleichungV t = V 0 +∫ t0H τ · dS τ .(∗∗)Die Integralgleichung (∗∗) wird oft auch in differentieller Form alsdV t = H t · dS tnotiert, die in diesem Fall aber nur eine Notation bzw. einen Kalkül für die Gleichung (∗∗)darstellt.Diese heuristischen Überlegungen benötigen also einen Integralbegriff, wobei der Integrator einstochastischer Prozeß ist. Dies führt zur Theorie der stochastischen Integration. Diese in allerAusführlichkeit darzustellen, würde den Rahmen dieser Vorlesung sprengen, daher soll imnächsten Abschnitt nur kurz ein möglicher Zugang skizziert werden.2.4 Das stochastische Integral und die Itô-FormelIn diesem Abschnitt sollen die zentralen Hilfsmittel aus der Theorie der stochastischen Integrationheuristisch dargestellt werden. Dabei sollen nur die zentralen Ideen vermittelt werden,weswegen auf sämtliche technischen Details verzichtet wird. Grundlage für diesen Abschnitt istim wesentlichen die Darstellung in [Øk05].Der stochastische Prozeß S im Black-Scholes Modell soll die Darstellung dS t = µS t dt + σS t dW tbesitzen. Stellt man sich diese Gleichung“ als Gleichheit der entsprechenden Integratoren vor,”so sollte also geltenS t − S 0 =∫ t0dS τ =∫ t0µS τ dτ +∫ t0σS τ dW τ .

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 10Faßt man das Integral gegen dτ als klassisches Integral auf, so muß noch das zweite Integralerklärt werden, welches in der allgemeinen Situation die Gestalt∫ T0f(t, ω) dW t (ω)hat. Klassische würde man dieses Integral als ein pfadweises Riemann-Stieltjes-Integral auffassen,also für festes ω als Grenzwert von Approximationsfolgen der Gestaltn−1∑s (n) (f, t)(ω) := f(t j , ω) (W tj+1 (ω) − W tj (ω)).j=0Man kann jedoch zeigen, im allgemeinen keine Konvergenz dieser Approximationsfolge vorliegt.Die Ursache hierfür ist, daß die Pfade t ↦→ W t (ω) des Wienerprozesses für fast alle ω nicht vonbeschränkter Variation sind.Andererseits kann man die Approximation s (n) (f, t)(ω) auch als Funktion von ω und damit alsElement von L 2 (Ω) auffassen. Dann kann gezeigt werden, daß für geeignete f eine Konvergenz imRaum L 2 (Ω) vorliegt. Wir skizzieren das Vorgehen zur Definition des stochastischen Integrals:1. Betrachte nur elementare Funktionen von der Gestaltn−1∑s(t, ω) = s j (ω) · 1 ]tj ,t j+1 ],j=0wobei die s j geeignete Zufallsgrößen seien. Dann definiere das stochastische Integral vons alsI(s)(ω) :=∫ T0n−1∑s(t, ω) dW t (ω) := s j (ω) · (W tj+1 (ω) − W tj (ω)).j=02. Für diese elementaren Funktionen läßt sich unter geeigneten Voraussetzungen an die s jzeigen, daß die sogenannte Itô-Isometrie gültig ist:‖I(s)‖ L2 (Ω) = ‖s‖ L2 ([0,T ]×Ω).3. Damit läßt sich die Definition des stochastischen Integrals ausdehnen auf Funktionen f(mit geeigneten Voraussetzungen), die sich in L 2 ([0, T ]) durch elementare Funktionen approximierenlassen. Ist s eine entsprechende Folge, so ist wegen der Itô-Isometrie auch I(s)eine konvergente Folge in L 2 (Ω), und wir definieren∫ T0f(t, ω) dW t (ω) := L 2 - limn→∞ I(s n).Gleichungen zwischen stochastischen Integralen werden oft auch in der bereits verwendetendifferentiellen Form notiert. Zum Beispiel ist die GleichungdS t = µS t dt + σS t dW t

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 11für den Aktienpreis nur eine Kurznotation für die IntegralgleichungS t − S 0 =∫ t0µS τ dτ +∫ t0σS τ dW τ .Entsprechend wird das Integral gegen den stochastischen Prozeß S t durch formales Einsetzen“”des Differentials dS t definiert als∫ T0f(t, ω) dS t (ω) :=∫ T0µf(t, ω) dt +∫ T0σf(t, ω) dW t (ω).Es wird sich zeigen, daß für unser Vorgehen eine explizite Kenntnis des Prozesses S t nicht nötigist. Stattdessen brauchen wir eine Formel zur Berechnung des Wertprozesses V t = F (t, S t ) bzw.zur Darstellung des Differentials dV t , also im integralen Sinn eine Formel der GestaltV t − V 0 =∫ t0· · · .Das heißt, wir benötigen einen Ersatz für den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnungfür das stochastische Integral. Diesen Ersatz liefert die sogenannte Itô-Formel.Zur Motivation der Itô-Formel sollen zunächst einige heuristische Überlegungen angestellt werden:Durch Zerlegung des Intervalls und Taylorentwicklung der Funktion F erhält manV t − V 0 =≈n−1∑n−1∑V tj+1 − V tj = F (t j+1 , S tj+1 ) − F (t j , S tj )j=0j=0j=0n−1∑n−1∑∂ t F (t j , S tj )(t j+1 − t j ) + ∂ x F (t j , S tj )(S tj+1 − S tj )j=0n−1∑ 1+2 ∂ xxF (t j , S tj )(S tj+1 − S tj ) 2j=0In der klassischen Situation, wenn also t ↦→ S t eine Funktion von beschränkter Variation ist,verschwinden im Grenzübergang ∆t → 0 alle Terme der Ordnung ≥ 2, und man erhält denklassischen HauptsatzV t − V 0≈→n−1∑n−1∑∂ t F (t j , S tj )(t j+1 − t j ) + ∂ x F (t j , S tj )(S tj+1 − S tj )j=0∫ T0j=0∫ T∂ t F (t, S t ) dt + ∂ x F (t, S t ) dS t .0Die Pfade des Wienerprozesses sind jedoch nicht von beschränkter Variation, man kann aberzeigen, daß sie fast sicher von beschränkter quadratischer Variation sind. Dies führt dazu, daßbeim Grenzübergang ∆t → 0 alle Terme der Ordnung ≥ 3 verschwinden. Für den SpezialfallS t = W t kann man außerdem zeigen, daßn−1∑∂ xx F (t j , S tj )(W tj+1 − W tj ) 2 →j=0∫ T0∂ xx F (t, S t ) dt,

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 12daß hingegen alle anderen Terme zweiter Ordnung ebenfalls verschwinden. Für den allgemeinerenFall S t = µ dt + σ dW t werden die Terme zweiter Ordnung daher formal mit der folgendeMultiplikationstabelle für die Differentiale ermittelt:· dt dW tdt 0 0dW t 0 dtIn unserem Fall ergibt sich damit(dS t ) 2 = (µS t dt + σS t dW t ) · (µS t dt + σS t dW t ) = σ 2 S 2 t dt.Genauer läßt sich der folgende Satz herleiten:Satz 2.2 (Itô-Formel in einer Dimension, differentielle Formulierung). Sei X t ein Prozeß vonder GestaltdX t = udt + vdW tmit geeigneten Funktionen u, v : [0, T ] × Ω → R. Sei weiter F ∈ C 1,2 ([0, T ] × R) und Y t :=F (t, X t ). Dann giltdY t = ∂ t F (t, X t ) dt + ∂ x F (t, X t ) dX t + 1 2 ∂ xxF (t, X t ) (dX t ) 2 ,wobei (dX t ) 2 gemäß der obigen Tabelle berechnet wird..In integraler Notation liest sich die Itô-Formel folgendermaßen:Satz 2.3 (Itô-Formel in einer Dimension, integrale Formulierung). Sei X t ein Prozeß von derGestaltX t = X 0 +∫ t0u(τ, ω)dτ +∫ t0v(τ, ω)dW τ (ω)mit geeigneten Funktionen u, v : [0, T ] × Ω → R. Sei weiter F ∈ C 1,2 ([0, T ] × R) und Y t :=F (t, X t ). Dann gilt:Y t = Y 0 +∫ t0∂ t F (τ, X τ ) dτ +∫ t0∂ x F (τ, X τ ) dX τ + 1 2∫ t0∂ xx F (τ, X τ ) (dX t ) 2 .Bemerkung 2.4. Indem man dX t = u dt + v dW t und gemäß der obigen Multiplikationstabelle(dX t ) 2 = v 2 dt einsetzt, kann man die Itô-Formel mit den Notationen u t := u(t, ·), v t := v(t, ·)umstellen zudY t = ∂ t F (t, X t ) dt + ∂ x F (t, X t ) (u dt + v dW t ) + 1 2 ∂ xxF (t, X t ) v 2 dt= ( ∂ t F (t, X t ) + ∂ x F (t, X t )u t + 1 2 ∂ xxF (t, X t ) v 2 t)dt + ∂x F (t, X t ) v t dW t (2.3)in differentieller bzw. zu∫ t (Y t = Y 0 + ∂t F (τ, X τ ) + ∂ x F (τ, X τ )u(τ, ω) + 1 2 ∂ xxF (τ, X τ ) v(τ, ω) 2) dt+∫ tin integraler Form.00∂ x F (τ, X τ ) v(τ, ω) dW τ

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 13Beispiele 2.5. (1) Die Itô-Formel ist ein zentrales Hilfsmittel zur Berechnung stochastischerIntegrale, was am Beispiel des Integrals∫ T0W t dW tpräsentiert werden soll. Man betrachtet zunächst das entsprechende Integral in der klassischenSituation, um einen Kandidaten zu gewinnen. Sei dazu g ∈ C 1 ([0, 1]) mit g(0) = 0 (anstelle vont ↦→ W t ), dann gilt∫ T0g(t) dg(t) =∫ T0g(t) · g ′ (t) dt =∫ g(T )g(0)x dx =g(T )2.2Wir machen daher umgekehrt auch für das stochastische Integral den Ansatz F (x) := x22 undwenden die Itô-Formel auf Y t := F (W t ) an. Es folgtdY t = F ′ (W t ) dW t + 1 2 F ′′ (W t ) dt = W t dW t + 1 2 dt.Übersetzt in die Integralform heißt diesalso folgt∫ TW 2 T2 = Y T = Y 0}{{}0= W 2 02 =0+∫ TW t dW t = W 2 T2 − T 2 .0W t dW t + 1 2∫ Tdt,0} {{ }=TDie Itô-Formel liefert uns in diesem Fall also den Korrekturterm T 2Situation.gegenüber der klassischen(2) Seien a, b ∈ R, und X t erfülledX t = a dt + b dW t .Da a, b konstant sind, ergibt sich für X t die explizite DarstellungX t = X 0 +∫ t0a dτ +∫ t0b dW τ = X 0 + at + bW t .Setze Y t := exp(X t ). Mit der Itô-Formel folgt danndY t = exp(X t ) dX t + 1 2 exp(X t)b 2 ( ) 1dt = Y t a dt + b dWt +2 Y tb 2 dt(( ) )= Y t a + b2 dt + b dW t .2Also erfüllt Y t = exp(X t ) = exp(X 0 ) exp(at + bW t ) = Y 0 exp(at + bW t ) die (formale) Gleichung( )dY t= a + b2 dt + b dW t .Y t 2

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 14Indem wir b := σ und a + b2 2= µ, also a := µ − σ22Lösung für den Aktienpreisprozeß S t , nämlich) )S t := exp((µ − σ2t + σW t S 0 .2!setzen, erhalten wir damit insbesondere eine2.5 Herleitung der Black-Scholes-GleichungDamit sind alle Hilfsmittel eingeführt, um zumindest heuristisch die Black-Scholes-Gleichungherzuleiten. Wir arbeiten dazu weiter in dem in Abschnitt 2.1 eingeführten Black-Scholes-Modellmit den ModellgleichungendR t = rR t dt,dS t = µS t dt + σS t dW t .(2.4)Wie bereits festgestellt, hat dies zur Folge, daßR t = e rt R 0 (2.5)und somit unter der zusätzlichen Annahme R 0 := 1 gilt R t = e rt .Gegeben sei ein Claim C : Ω → R. Dieser wird interpretiert als die (zufällige) Auszahlung desDerivates zum Zeitpunkt T . Standardbeispiel ist der Claim C := (S T − K) + zur europäischenPut-Option.Gesucht wird nun ein replizierendes Portfolio, ein sogenannter Hedge. Gesucht ist also eineHandelsstrategie H t = (g t , h t ), deren Wertprozeßerfüllt:V t := g t R t + h t S t = g t e rt + h t S tdV t = g t dR t + h t dS t Selbstfinanzierung,V T = C Hedge für den Claim C.Dann ist V 0 der gesuchte faire Preis des Claimes C und H ein zugehöriges replizierendes Portfolio.Wir machen den Ansatz, daß V t , g t , h t von der Gestalt V t = f(t, S t ), g t = g(t, S t ) und h t = h(t, S t )für geeignete C 1,2 -Funktionen f, g, h : [0, T ] × R → R sind. Dann gilt nach Definitionalsof(t, x) = g(t, x)e rt + h(t, x)x, (2.6)g(t, x) = e −rt (f(t, x) − h(t, x)x). (2.7)Es reicht also, f und h zu bestimmen und anschließend g durch Gleichung (2.7) zu definieren.Anschaulich bedeutet (2.7), daß bei bekanntem Wertverlauf und Portfolioanteil der Aktie derAnteil der Wertanlage stets die (auf den entsprechenden Zeitpunkt abdiskontierte) Gegenpositionbilden muß.

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 15Wir wenden nun auf V t = f(t, S t ) die Itô-Formel (2.3) an und erhaltendV t =(∂ t f(t, S t ) + µS t ∂ x f(t, S t ) + 1 )2 σ2 St 2 ∂ xx f(t, S t ) dt + σS t ∂ x f(t, S t ) dW t . (2.8)Aufgrund der Selbstfinanzierungsbedingung muß außerdem geltendV t!= g t dR t + h t dS t = g(t, S t )re rt dt + h(t, S t ) ( )µS t dt + σS t dW t)=(g(t, S t )re rt + µh(t, S t )S t dt + σS t h(t, S t ) dW t . (2.9)Subtrahieren der den Gleichungen (2.8) und (2.9) liefert(!0 = ∂ t f(t, x) + µx∂ x f(t, x) + 1 2 σ2 x 2 ∂ xx f(t, x) − g(t, x)re rt ∣∣x=St− µh(t, x)x)∣dt(∣∣x=St+ σx∂ x f(t, x) − σxh(t, x))∣dW t(= ∂ t f(t, x) + µx ( ∂ x f(t, x) − h(t, x) ) + 1 2 σ2 x 2 ∂ xx f(t, x) − re rt ∣∣x=Stg(t, x))∣dt(∣∣x=St+σx ∂ x f(t, x) − h(t, x))∣dW t . (2.10)Um diese Gleichung zu erfüllen setzen wirh := ∂ x f. (2.11)Damit wird Gleichung (2.7) zue rt g(t, x) (2.7)= f(t, x) − xh(t, x) (2.11)= f(t, x) − x∂ x f(t, x). (2.12)Einsetzen von (2.11) und (2.12) in Gleichung (2.10) liefert eine Differentialgleichung, in der nurnoch f auftaucht:0 ! = ∂ t f(t, x) + 1 2 σ2 x 2 ∂ xx f(t, x) + rx∂ x f(t, x) − rf(t, x). (2.13)Damit haben wir die Black-Scholes-Differentialgleichung in einer Dimension hergeleitet. Wirfassen unsere Ergebnisse zum zentralen Satz dieses Kapitels zusammen.Satz 2.6. Sei f : [0, T ] × R >0 eine C 1,2 -Funktion, die der Black-Scholes-Differentialgleichung(2.13) genügt. Definiereg(t, x) := e −rt ( f(t, x) − x∂ x f(t, x) ) undh(t, x) := ∂ x f(t, x).Dann wird durch g t := g(t, S t ) und h t := h(t, S t ) eine selbstfinanzierende HandelsstrategieH t := (g t , h t ) definiert, deren Wertprozeß durch V t = f(t, S t ) gegeben ist.Ist C ein Claim von der Gestalt C = c(S t ), und erfüllt f zusätzlich die Endwertbedingungf(T, x) = c(x),so gilt V T = f(T, S T ) = c(S T ) = C, also ist H ein Hedge für C und damit V 0 = f(0, S 0 ) derfaire Preis des Claims C zum Zeitpunkt 0.

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 16Zur analytischen Behandlung ist es üblich, die Black-Scholes-DGL zwei Transformationen zuunterziehen. Zunächst wird eine Zeitumkehr t → T − t durchgeführt, dadurch wird das Endwertproblemzu dem analytisch einfacher zu behandelndem Anfangswertproblem∂ t f(t, x) = 1 2 σ2 x 2 ∂ xx f(t, x) + rx∂ x f(t, x) − rf(t, x),f(0, x) = c(x). (2.14)Bei der Interpretation ist nur zu beachten, daß der Zeitparameter t nun die Restlaufzeit derAnlagegüter bezeichnet. Wir werden daher im folgenden auch von (2.14) als der Black-Scholes-Gleichung reden.Als nächstes führen wir die sogenannte Euler-Transformation durch, indem wir y := log x bzw.x = e y substituieren. Sei entsprechend u(t, y) := f(t, e y ) die transformierte Funktion, dannerfüllt u in y = log x die Differentialgleichung∂ t u(t, y) = ∂ t f(t, x) = 1 2 σ2 x 2 d2du(t, log x) + rx u(t, log x) − ru(t, log x)dx2 dx= 1 2 σ2 x 2 d (∂ y u(t, log x) · 1 )+ rx ∂ y u(t, log x) · 1 − ru(t, y)dxxx= 1 ( 12 σ2 x(∂ 2 yu(t, 2 log x) ·x= 1 2 σ2 ∂ 2 yu(t, y) +Entsprechend transformiert sich die Anfangsbedingung zuu(0, y) = f(0, e y ) = c(e y ).) )2+ ∂ y u(t, log x) · −1x 2 + rx ∂ y u(t, log x) · 1 − ru(t, y)x) (r − σ2∂ y u(t, y) − ru(t, y). (2.15)2Der Vorteil der transformierten Gleichung (2.15) liegt darin, daß es sich um eine partielle Differentialgleichungmit konstanten Koeffizienten handelt. Für DGL dieses Typs existieren expliziteLösungsformeln, die wir in Kapitel 4 herleiten werden. Daraus werden wir durch Rücktransformationauch eine explizite Formel für den fairen Preis des Claims C erhalten. Im Falle dereuropäischen Call-Option C = (S T − K) + werden wir so die berühmte Black-Scholes-Formelgewinnen, welche für die moderne Finanzwelt von fundamentaler Bedeutung ist.

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 173 Einschub: Fouriertransformation und FaltungIn diesem Einschub werden einige grundlegende Fakten zur Fouriertransformation und Faltungbereitgestellt. Beides sind fundamentale analytische Hilfsmittel zur Behandlung von partiellenDifferentialgleichungen, insbesondere für solche mit konstanten Koeffizienten.Generalvoraussetzung 3.1. Sei n ∈ N und K ∈ {R, C}Notationen 3.2. Seien x, y ∈ R n und α ∈ N n 0 sowie U ⊆ Rn offen, Ω ⊆ R n meßbar undp ∈ [1, +∞]. Für das Skalarprodukt und die euklidische Norm werden die folgenden Notationenverwendet:n∑xy := x · y := 〈x|y〉 := x j y j , ‖x‖ := ‖x‖ 2 = √ x · x.j=1Weiter wird die Multiindexschreibweise verwendet:n∏n∑x α := x α jj , |α| := α j .j=1j=1Für die Ableitung wird die Notation∂ j :=∂∂x j, ∂ α := ∂ α x :=n∏j=1∂ α jjverwendet. Für f : Ω → K Lebesgue-meßbar definiere‖f‖ p :={ (∫|f|p ) 1/pinf{sup{|f(x)| | x ∈ Ω\N} | N ⊆ Ω Nullmenge}falls p < +∞,falls p = +∞.Weiter seienL p (Ω) := {f : Ω → K | f Lebesgue-meßbar und ‖f‖ p < +∞}und L p (Ω) := L p (Ω)/N Ωdie Lebesgue-Räume, wobei N Ω := {f : Ω → K | f Lebesgue-meßbar und f −1 (K\{0}) Nullmenge}.Im Fall p = 2 sei außerdem∫〈f, g〉 := 〈f, g〉 L2 := fgfür alle f, g ∈ L 2 (R n ) das Standard-Skalarprodukt, welches offenbar die ‖ · ‖ 2 -Norm induziert.An vielen Stellen werden wir uns der üblichen Konvention anschließen, Restklassen und Repräsentantennicht zu unterscheiden, sofern dies zu keinen Problemen führt. Außerdem seiC ∞ (R n ) := {f ∈ C(R n ) | f(ξ) → 0 für ‖ξ‖ → +∞}ausgestattet mit der ‖·‖ ∞ -Norm der Banachraum der im Unendlichen verschwindenden stetigenFunktionen undC ∞ 0 (U) := {f ∈ C ∞ (U) | f −1 (K\{0}) ist kompakt}der Raum der C ∞ -Funktionen mit kompakten Träger.

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 18Definition 3.3 (Fouriertransformation). Für alle f ∈ L 1 (Ω) definiere∫Ff(ξ) := ˆf(ξ) := f(x)e −ix·ξ dx für alle ξ ∈ R n .ˆf heißt Fouriertransformierte von f und die Abbildung F : f ↦→ ˆf die Fouriertransformation.Satz 3.4. Es gilt F(L 1 (R n )) ⊆ C ∞ (R n ), und F : L 1 (R n ) → C ∞ (R n ) ist linear und stetig mit‖F‖ ≤ 1.Beweis. Die Linearität folgt direkt aus der Definition, und aus dem Satz über parameterabhängigeIntegrale folgt F(L 1 (R n )) ⊆ C(R n ). Außerdem gilt für alle f ∈ L 1 (R n )∫‖Ff‖ ∞ ≤ |f(x)| dx = ‖f‖ 1 ,also ‖F‖ ≤ 1, wenn man F als Operator nach (C b (R n ), ‖ · ‖ ∞ ) auffaßt.Sei nun f ∈ C0 ∞(Rn ). Dann folgt für alle j ∈ N ≤n und ξ ∈ R n mit partieller Integration∫| ̂f(ξ)| =∣ − 1∂ j f(x) · e −ixξ dx−iξ j∣ ≤ ‖∂ 1jf‖ 1 ·|ξ j | ≤ max 1‖∂ k f‖ 1 ·k∈N ≤n |ξ j | ,} {{ }C:=also gilt√| ̂f(ξ)| 1≤ C · minj∈N ≤n |ξ j | = C · 1n≤ C · → 0 für ‖ξ‖ 2 → ∞.‖ξ‖ ∞ ‖ξ‖ 2Es folgt F(L 1 (R n )) ⊆ C b (R n ). Da C ∞ 0 (Rn ) dicht in L 1 (R n ) und C ∞ (R n ) abgeschlossen in C b (R n )ist, folgt wegen der Stetigkeit von F damit F(L 1 (R n )) ⊆ C ∞ (R n ).Beispiele 3.5. Sei a ∈ R >0 .(1) 1 [−a/2,a/2]̂ (ξ) =Beweis.{sin(aξ)ξfalls ξ ≠ 0a falls ξ = 0 .(2) Setze ϕ(x) := exp(−a‖x‖ 2 ) für alle x ∈ R n . Dann gilt für alle ξ ∈ R nBeweis.( π) n/2 ( ‖x‖ 2 ) ( π) ( )n/2 1̂ϕ(ξ) = exp − = ϕ .a 4a a 2aDefinition/Bemerkung 3.6 (Die Gaußfunktionen ϕ n ). Im Spezialfall a = 1/2 ergibt sich fürdie Gaußfunktion ϕ n := exp ( )− ‖·‖22̂ϕ n = (2π) n/2 ϕ n .

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 19Satz 3.7 (Inversionssatz für die Fouriertransformation). Sei f ∈ L 1 (R n ) so, daß auch ̂f ∈L 1 (R n ) ist. Dann giltf(x) = (2π) −n̂f(−x) ∫1 = ̂f(ξ)e ixξ(2π) n dξfür fast alle x ∈ R n .Beweis. später.Korollar 3.8. Die Fouriertransformation F : L 1 (R n ) → C ∞ (R n ), [f] ↦→ ̂f ist injektiv.Beweis. Sei [f] ∈ Kern(F), dann ist ̂f = 0 ∈ L 1 (R n ), also folgt aus der Fourierumkehrformelf(x) = 1(2π) n ∫ ̂f(ξ)e ixξ dξ = 0 für fast alle x ∈ R n , also [ ̂f] = 0 in L 1 (R n ).Man kann zeigen, daß die Fouriertransformation nicht surjektiv auf C ∞ (R n ) ist. Außerdem wirdder Raum L 1 (R n ) unter F nicht invariant gelassen. Es ist daher zweckmäßig, auf einen geeigneteninvarianten Teilraum von L 1 (R n ) überzugehen.Definition/Bemerkung 3.9 (schnell fallende Funktion, Schwartzfunktionen, Schwartzraum).Eine Funktion f : R n → K heißt schnell fallend, falls für alle α ∈ N n 0 giltSetzedann giltx α f(x) → 0 für ‖x‖ → ∞.S := S n := S(R n ) := {f ∈ C ∞ (R n ) | ∀ β ∈ N n 0 : ∂ β f ist schnell fallend },S = {f ∈ C ∞ (R n ) | ∀ α, β ∈ N n 0: supx∈R n |x α ∂ β f(x)| < +∞}.S heißt Schwartzraum, und seine Elemente heißen Schwartzfunktionen. Offensichtlich gilt C ∞ 0 (Rn ) ⊆S(R n ) ⊆ L p (R n ) für alle p ∈ [1, +∞].Beispiel 3.10. Für die Funktion ϕ aus Beispiel 3.5(2) gilt ϕ ∈ S, denn ϕ ist schnell fallend,und für alle β ∈ N n 0 existiert eine Polynomabbildung p auf Rn mit ∂ β ϕ = p · ϕ.Eine fundamentale Eigenschaft der Fouriertransformation ist, daß sie Differentiation in Multiplikationüberführt, wie der folgende Satz zeigt. Da sich S nach Definition als invariant unterDifferentiation und Multiplikation mit Polynomen erweisen wird, ergibt er sich als geeigneterRaum zum Arbeiten mit der Fouriertransformation.Notation 3.11. Für f : R n → K und α ∈ N n 0 bezeichnen wir die Abbildung Rn → R, x ↦→x α f(x) intuitiv, aber formal etwas lax, auch mit x α f.Satz 3.12. Sei f ∈ S und α ∈ N n 0 . Dann gilt auch ∂α f ∈ S und x α f ∈ S. Außerdem ist ̂f ∈ S,und es gilt(1) ∂ α ̂f = (−i)|α| ̂xα f,(2) ̂∂ α f = i |α| ̂xα f.

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 20Beweis. ∂ α f ∈ S folgt unmittelbar aus der Definition, und x α f ∈ S läßt sich leicht mit derLeibnizformel für höhere Ableitungen verifizieren. Sei nun ξ ∈ R n .(1) Durch Vertauschen der Differentiation mit dem Integral, was bei Schwartzfunktionen offensichtlichzulässig ist, folgt∫∫∫∂ α ̂f(ξ) = ∂αξ f(x)e −ixξ dx = f(x)∂ξ α e−ixξ dx = f(x)(−ix) α e −ixξ dx = (−i) |α| ̂xα f(ξ).(2) Mit partieller Integration erhält man∫∫̂∂ α f(ξ) = ∂ α f(x)e −ixξ dx = (−1) |α|f(x)(−iξ) α e −ixξ dx = i |α| ̂xα f(ξ).Aus (1) und (2) folgt x α ∂ β ̂f = (−i)|α|+|β| · ̂ ∂α (x β f), und da ∂ α (x β f) ∈ S ⊆ L 1 (R n ) ist, ist∂ α ̂(x β f) beschränkt, genauer gilt ‖ ∂ α ̂ (x β f)‖ ∞ ≤ ‖∂ α (x β f)‖ 1 ). Also ist auch ̂f ∈ S.Korollar 3.13 (Fouriertransformation auf S). Die Fouriertransformation F| S ist ein bijektiverOperator auf S mit der UmkehrabbildungF −1 g(x) = 1 ∫(2π) n g(ξ)e ixξ dξ für alle x ∈ R n , f ∈ S.Beweis. folgt direkt aus Satz 3.12 sowie dem Umkehrsatz 3.7.Damit ist die Fouriertransformation auf dem Raum S ⊆ L 1 (R n ) erklärt. Andererseits ist S ⊆L 2 (R n ) ebenfalls ein dichter Teilraum. Im folgenden soll kurz gezeigt werden, wie sich die Fouriertransformationauch auf den Raum L 2 (R n ) bzw. L 2 (R n ) fortsetzen läßt. Zentral ist dafür derfolgendeSatz 3.14 (Plancherel-Formel). Seien f, g ∈ S. Dann gilt〈 ̂f | ĝ〉 L2 = (2π) n 〈f | g〉 L2 . (3.1)Folglich läßt sich die Fouriertransformation zu einem stetigen Operator F 2 : L 2 (R n ) → L 2 (R n )fortsetzen; genauer ist (2π) −n/2 F 2 eine Isometrie auf L 2 (R n ).Zum Beweis verwenden wir die folgende, auch für sich interessante Formel.Lemma 3.15. Seien f, g ∈ L 1 (R n ). Dann gilt∫ ∫̂fg = fĝ. (3.2)Beweis. Da f ⊗ g integrierbar ist, folgt mit dem Satz von Fubini∫ ∫ ∫∫ ∫∫̂fg = f(x)e −ixξ g(ξ) dx dξ = f(x) e −ixξ g(ξ) dξ dx =fĝ. (3.3)

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 21Beweis von Satz 3.14. Es gilt∫∫̂ĝ(x) = ĝ(ξ)e −ixξ dξ =ĝ(ξ)e ixξ dξ 3.13 = (2π) n g(x) = (2π) n g(x) für alle x ∈ R n ,also folgt∫〈 ̂f | ĝ〉 L2 =̂fĝ (3.2)=∫f̂ĝ = (2π) n ∫f g = (2π) n 〈f | g〉 L2 .Bemerkung 3.16. Für alle f ∈ L 1 (R n ) ∩ L 2 (R n ) gilt F 2 [f] = [ ̂f]. Wenn hierdurch keineUnklarheiten entstehen, wird zukünftig auch ̂f := F 2 [f] für f ∈ L 2 (R n )\L 1 (R n ) geschrieben.Hierbei ist jedoch Vorsicht geboten, für f ∈ L 2 (R n )\L 1 (R n ) ist F 2 [f] im allgemeinen nichtdurch die Integraldarstellung der Fouriertransformation gegeben, es gilt aber[ ∫f(x)e −ix· dx‖x‖≤R]L 2−→ F2 f für R → ∞.Beweis. Siehe [We00], Satz V.2.9.Wir kommen nun zur nächsten wichtigen Integraloperation in der Analysis, nämlich der Faltungzweier Funktionen. Hierbei handelt es sich um diejenige Multiplikation ∗ auf L 1 (R n ), so daßF : (L 1 (R n ), ∗) → (C ∞ (R n ), ·) multiplikativ und damit ein Algebrenhomomorphismus wird.Definition 3.17 (Faltung). Seien f, g : R n → K meßbar. Für alle x ∈ R n mit f(x − ·)g(·) ∈L 1 (R n ) setze∫f ∗ g(x) := f(x − y)g(y) dy.f ∗ g(x) heißt die Faltung von f mit g im Punkte x. Falls f ∗ g(x) für fast alle x ∈ R n existiert,so heißt die durch{ f ∗ g(x) falls f ∗ g(x) existiert,x ↦→0 sonstdefinierte Funktion f ∗ g die Faltung von f mit g.Bemerkung 3.18 (Kommutativität der Faltung). Für alle x ∈ R n ist f(x − ·)g(·) meßbar, alsof(x − ·)g(·) ∈ L 1 (R n ) ⇐⇒ ∫ |f(x − y)g(y)| dy < +∞. In diesem Fall ist auch f(·)g(x − ·) ∈L 1 (R n ), und es gilt f ∗ g(x) = g ∗ f(x).Beweis. Die Meßbarkeit von f(x − ·)g(·) ist klar, und der Zusatz folgt mit der Transformationy → x − y sofort aus der Transformationsformel.Es stellt sich damit die Frage, unter welchen Voraussetzungen an f und g die Faltung f ∗ g(x)für fast alle x ∈ R n existiert, und welche Eigenschaften f ∗ g in diesem Fall besitzt. Tatsächlichläßt sich der folgende Satz als Stetigkeitsaussage für die Faltung als bilineare Abbildung aufverschiedenen L p -Räumen interpretieren.

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 22Satz 3.19 (Stetigkeit der Faltung zwischen L p -Räumen). (1) Sind f, g ∈ L 1 (R n ), so existiertf ∗ g(x) für fast alle x ∈ R n , und es ist f ∗ g ∈ L 1 (R n ) mit ‖f ∗ g‖ 1 ≤ ‖f‖ 1 ‖g‖ 1 .(2) Sind p, q ∈ [1, +∞] mit 1 p + 1 q = 1 und sind f ∈ L p(R n ) und g ∈ L q (R n ), so existiertf ∗ g(x) für alle x ∈ R n , und es ist f ∗ g ∈ L ∞ (R n ) mit ‖f ∗ g‖ ∞ ≤ ‖f‖ p ‖g‖ q .(3) Ist p ∈ [1, +∞] und sind f ∈ L 1 (R n ) und g ∈ L p (R n ), so existiert f ∗ g(x) für fast allex ∈ R n , und es ist f ∗ g ∈ L p (R n ) mit ‖f ∗ g‖ p ≤ ‖f‖ 1 ‖g‖ p (Youngsche Ungleichung).Beweis. (1) Da die Abbildung f ⊗ g : R n × R n → K, (x, y) ↦→ f(x) · g(y) integrierbar undT : (R n ) 2 → (R n ) 2 , (x, y) ↦→ (x − y, y) ein linearer Diffeomorphismus ist, ist nach dem Transformationssatzdie Abbildung (f ⊗ g) ◦ T : R n → K, (x, y) ↦→ f(x − y)g(y) integrierbar. Daher folgtmit dem Satz von Fubini, daß f ∗ g(x) für fast alle x ∈ R n existiert und daß f ∗ g ∈ L 1 (R n ) ist.Weiter folgt∫ ∣∫∫ ∫∣∣∣ ‖f ∗ g‖ 1 = f(x − y)g(y) dy∣ dx ≤ |f(x − y)g(y)| dy dx∫ (∫)∫ (∫ )∫= |f(x − y)| dx |g(y)| dy = |f(x)| dx |g(y)| dy = ‖f‖ 1 |g(y)| dy= ‖f‖ 1 ‖g‖ 1 .(2) folgt aus der Hölderschen Ungleichung.(3) ist ein tieferliegendes Ergebnis, das hier nicht bewiesen werden soll. Siehe zum Beispiel [We00]Satz II.4.4 für einen Beweis der Youngschen Ungleichung für den Torus T anstelle von R n .Anhand der Definition der Faltung sieht man leicht, daß diese bilinear ist in den Funktionen,für die sie existiert, zum Beispiel auf L 1 (R n ). Wir leiten im folgende weitere algebraische Eigenschaftenher.Lemma 3.20 (Assoziativität der Faltung). Seien f, g, h ∈ L 1 (R n ). Dann gilt(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).Beweis. Die analoge Argumentation wie im Beweis von 3.19 (1) zeigt, daß die Funktion (y, z) ↦→f(z)g(x − z − y)h(y) für fast alle x ∈ R n integrierbar ist, und für diese x folgt∫∫ (∫)(f ∗ g) ∗ h(x) = f ∗ g(x − y)h(y) dy = f(z)g(x − y − z) dz h(y) dy∫ ∫∫ (∫)= f(z)g(x − z − y)h(y) dy dz = f(z) g(x − z − y)h(y) dy dz∫= f(z)g ∗ h(x − z) dz = f ∗ (g ∗ h)(x).Satz 3.21 (Multiplikativität der Fouriertransformation bzgl. der Faltung). Seien f ∈ L 1 (R n )und g ∈ L 1 (R n ) ∪ L 2 (R n ). Dann gilt̂f ∗ g = ̂f · ĝ.

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 23Beweis. Gelte zunächst g ∈ L 1 (R n ). Nach dem Satz von Fubini gilt dann für alle ξ ∈ R n∫∫ ∫̂f ∗ g(ξ) = f ∗ g(x)e −ixξ dx = f(x − y)g(y)e −ixξ dy dx∫ ∫∫ ∫= f(x − y)g(y)e e −iyξ dx dy =} {{ }f(z)e −izξ dz g(y)e −iyξ dy∫z:== ̂f(ξ) g(y)e −iyξ dy = ̂f(ξ) · ĝ(ξ).Gelte nun g ∈ L 2 (R n )\L 1 (R n ). Wähle ϕ ∈ C ∞ 0 (Rn ) N mit ϕ n → g in L 2 (R n ). Da F 2 nach Satz3.14 stetig ist, folgt ̂ϕ n → ĝ in L 2 (R n ). Da außerdem ̂f ∈ C ∞ (R n ) ⊆ L ∞ (R n ) ist, folgt wegenC ∞ 0 (Rn ) ⊆ L 1 (R n ) nach dem bereits bewiesenen Teil̂f ∗ ϕ n = ̂f L· ̂ϕ2n −→ ̂f · ĝ für n → ∞.Andererseits folgt f ∗ ϕ n → f ∗ g in L 2 (R n ) aus dem Stetigkeitssatz für die Faltung 3.19 (3),und damit auchL̂f ∗ ϕ2n −→ ̂f ∗ g für n → ∞.Also ist ̂f ∗ g = ̂f · ĝ in L 2 (R n ).Satz 3.22 (Differenzierbarkeit der Faltung mit Schwartzfunktionen). Sei p ∈ [1, +∞] und seienf ∈ S und g ∈ L p (R n ). Dann ist f ∗ g ∈ C ∞ (R n ), und es gilt∀ α ∈ N n 0 : ∂ α (f ∗ g) = (∂ α f) ∗ g.Beweis. Wir zeigen zunächst, daß f ∗ g stetig ist. Definiere F (x, y) := f(x − y)g(y) für allex, y ∈ R n . Wähle q ∈ [1, +∞] mit 1/p + 1/q = 1, dann ist F (x, ·) wegen f(x − ·) ∈ S ⊆ L q (R n )nach der Hölderschen Ungleichung integrierbar für alle x ∈ R n . Weiter gilt∫f ∗ g(x) = F (x, y) dy.Es reicht daher, für jedes Kompaktum K eine gleichmäßige Majorante für die FunktionenF (x, ·), x ∈ K anzugeben, da dann die Behauptung aus dem Satz über die Stetigkeit parameterabhängigerIntegrale folgt. Sei U die abgeschlossene Kugel mit Radius 2 · sup x∈K ‖x‖,dann ist U kompakt, und für alle x ∈ K und y ∈ R n \U gilt ‖y‖ ≥ 2‖x‖. Da f ∈ S ist, findetman eine Konstante C ∈ R >0 mit∀ z ∈ R n : |f(z)| ≤ C1(1 + ‖z‖) n+1 .Insbesondere ist M := sup{|f(x − y)| | x ∈ K, y ∈ U} < +∞. Für alle x ∈ K und y ∈ R n \U giltaußerdem‖x − y‖ ≥ ∣ ∣ |‖x‖ − ‖y‖∣ ∣ = ‖y‖ − ‖x‖ ≥ ‖y‖ − ‖y‖/2 = ‖y‖/2,also|f(x − y)| ≤ C1(1 + ‖x − y‖) n+1 ≤ C 1(1 + ‖y‖/2) n+1 .

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 24Setze daher h(y) := max{M,|F (x, y)| = |f(x − y)| · |g(y)| ≤ h(y) · |g(y)|C(1+‖y‖/2) n+1 } für alle y ∈ R n . Dann giltfür alle x ∈ K und y ∈ R n , und wegen h ∈ L q (R n ) ist damit die Funktion h·|g| eine integrierbareMajorante.Für den Beweis der Differenzierbarkeit von f ∗ g bemerke zunächst, daß∂ α x F (x, y) = ∂ α f(x − y)g(y)ist, und wegen f ∈ S ist auch ∂ α f ∈ S. Damit läßt sich analog wie oben mithilfe des Satzesüber die Differenzierbarkeit parameterabhängiger Integrale argumentieren, und es folgt(∫ ) ∫∫∂ α (f ∗ g)(x) = ∂ α F (·, y) dy (x) = ∂x α F (x, y) dy = ∂ α f(x − y)g(y) dy= (∂ α f) ∗ g(x).∫Satz 3.22 zeigt, daß die Faltung glättend wirkt. Ist etwa ε ∈ R >0 und ϕ ∈ C0 ∞(K Rn(0, ε)) mitϕ = 1, so läßt sich∫f ∗ ϕ(x) =K(0,ε)f(x − y)g(y) dyals eine glatte Mittelung von f um den Wert x herum mit der Gewichtung g auffassen. Fürhinreichend kleines ε > 0 sollte f ∗ ϕ daher die Funktion f gut approximieren. Dies wird imfolgenden formalisiert und ausgeführt.Definition 3.23 (approximierende Eins). Eine approximierende Eins ist eine Familie (ϕ ε ) ε∈ ]0,ε0 [in L 1 (R n ) mit den folgenden Eigenschaften:(i) ∀ ε ∈ ]0, ε 0 [ : ∫ ϕ ε = 1,∫(ii) sup ε∈ ]0,ε0 [ |ϕε | < +∞,(iii) ∀ δ ∈ R >0 : ∫ ‖x‖>δ |ϕ ε(x)| dx −→ 0 für ε → 0.Beispiel 3.24 (Dirac-Familie, Dirac-Folge). Sei ϕ 1 ∈ L 1 (R n ) mit ∫ ϕ = 1. Setze ϕ ε := 1εϕ ( ) ·n εfür alle ε ∈ ]0, 1[ . Dann ist ϕ eine approximierende Eins. Ist zusätzlich ϕ 1 ∈ C0 ∞(Rn ), so heißtϕ auch Dirac-Familie, und für jede Nullfolge ε ∈ ]0, 1] N heißt ϕ ◦ ε auch Dirac-Folge.Beweis. Mit der Transformation y := x εergibt sich∫ ∫ ( x) ∫∫dxϕ ε = ϕε ε n = ϕ 1 (y) dy = 1 und analog∫|ϕ ε | =|ϕ 1 | = 1,für alle ε ∈ ]0, 1[ also folgen (i) und (ii). Mit derselben Transformation folgt auch∫∫|ϕ ε (x)| dx = |ϕ 1 (y)| dy −→ 0 für ε → 0‖x‖>δ‖y‖>δ/εfür alle δ ∈ R >0 und damit (iii).

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 25Satz 3.25 (Approximationssatz). Sei (ϕ ε ) ε∈ ]0,ε0 [ eine approximierende Eins.(1) Ist f ∈ C b (R n ), so konvergiert f ∗ ϕ ε lokal gleichmäßig gegen f für ε → 0.(2) Ist p ∈ [1, +∞[ und f ∈ L p (R n ), so konvergiert f ∗ ϕ ε in L p (R n ) gegen f für ε → 0.Wir beweisen an dieser Stelle nur Aussage (1) des Approximationssatzes, da für (2) weitereHilfsmittel aus der L p -Theorie benötigt würden, nämlich die Minkowski-Integralungleichung.Mit dieser läuft der Beweis von (2) analog wie der hier präsentierte Beweis von (1).∫Beweis von 3.25 (1). Setze C := sup ε∈ ]0,ε0 [ |ϕε | und M := ‖f‖ ∞ . Zunächst gilt für alle x ∈ R n∫f ∗ ϕ ε (x) − f(x) =∫∫f(x − y)ϕ ε (y) dy − f(x) · ϕ ε (y) dy = (f(x − y) − f(x))ϕ ε (y) dy.} {{ }=1Sei nun x 0 ∈ R n , und sei r ∈ R >0 vorgegeben. Wähle ein δ ∈ R >0 so, daß für alle x ∈ K R n(x 0 , δ)gilt∀ y ∈ R n : ‖y‖ < δ ⇒ |f(x − y) − f(x)| δ |ϕ ε(x)| dx ε→0 −→ 0 findet man ein ε 1 ∈ ]0, ε 0 [ mit∫‖x‖≥δ|ϕ ε (x)| dx < r4M .Sei nun x ∈ K R n(x 0 , δ) und ε ∈ ]0, ε 1 [ . Dann folgt:∫∫|f ∗ ϕ ε (x) − f(x)| ≤ |f(x − y) − f(x)| |ϕ ε (y)| dy +≤K(0,δ)r2C∫K(0,δ)< r2C · C + 2M ·∫|ϕ ε (y)| dy + 2Mr4M = r.‖y‖≥δ‖y‖≥δ|ϕ ε (y)| dy|f(x − y) − f(x)| |ϕ ε (y)| dyIndem man eine approximative Eins in C ∞ 0 (Rn ) wählt, erhält man unmittelbar das folgendeKorollar 3.26.(1) Jedes f ∈ C b (R n ) ist lokal-gleichmäßiger Grenzwert von C ∞ 0 -Funktionen,(2) C ∞ 0 (Rn ) liegt dicht in C ∞ (R n ),(3) Für alle p ∈ [1, +∞[ liegt C ∞ 0 (Rn ) dicht in L p (R n ).Zum Abschluß dieses Einschubes wird nun mithilfe des Approximationssatzes der ausstehendeBeweis der Fourierumkehrformel 3.7 geführt.

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 26Beweis von Satz 3.7. Sei f ∈ L 1 (R n ) mit ̂f ∈ L 1 (R n 1). Bezeichne ϕ := exp ( )− ‖·‖2(2π) n/2 2 dienormierte Gauß-Funktion. Dann gilt ∫ ϕ = 1, nach Beispiel 3.24 definiert daher ϕ ε := 1εϕ ( ) ·n εfür alle ε ∈ R >0 eine Dirac-Familie, also insbesondere eine approximierende Eins.Sei nun x ∈ R n fest. Definiere1ψ ε (η) :=(2π) n/2 eixη ϕ(εη) = 1(2π) n eixη exp(− ε2 ‖x‖ 2 )2für alle ε ∈ R >0 , η ∈ R n . Nach Bemerkung 3.6 ist ̂ϕ = (2π) n/2 ϕ, damit folgt∫1̂ψ ε (y) =(2π) n/2 e ixη ϕ(εη)e −iηy dη Transformation z := εη==∫1(2π) n/2ϕ(z) exp(1 1 y − x(2π) n/2 ε n ̂ϕ ε(−iz y − xε) 3.6,ϕ gerade=) dzε n(1 x − yε n ϕ ε)= ϕ ε (x − y)für alle y ∈ R n . Mit Lemma 3.15 und dem Satz von Lebesgue folgt∫∫∫f ∗ ϕ ε (x) = f(y)ϕ ε (x − y) dy = f(y)̂ψ ε (y) dy (3.2)= ̂f(y)ψ ε (y) dy∫1=̂f(y)(2π) n e ixy exp(− ε2 ‖x‖ 2 )dy2} {{ }|·|≤1→ 1 ∫̂f(y)e ixy(2π) n dy =: F (x) für ε → 0,da mit | ̂f| eine integrierbare Majorante vorliegt. Andererseits gilt nach dem Approximationssatz3.25 f ∗ ϕ ε → f in L 1 (R n ) für ε → 0. Insbesondere findet man eine Nullfolge ε ∈ R N >0 mitf ∗ ϕ εn (x) → f(x) für fast alle x ∈ R n . Mit dem eben Gezeigten folgt daherf(x) = F (x) = 1(2π) n ∫für fast alle x ∈ R n .̂f(y)e ixy dy = 1(2π) n ̂̂f(−x)

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN274 Parabolische Gleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten4.1 Einleitung und BezeichnungenGeneralvoraussetzung 4.1. In diesem Abschnitt sei K = R. Seien n ∈ N und T ∈ ]0, +∞],setze I := ]0, T [. SetzeC 1,2 ( ]0, T [ ×R n ) := { u : ]0, T [ ×R n → R | u ist einmal nach der ersten und zweimalnach der zweiten Variable stetig differenzierbar}Ist u : I × R n → R eine Funktion, so wird statt u| ]0,T [ ×R n ∈ C 1,2 ( ]0, T [ ×R n ) im folgenden kurzdie Sprechweise ”u ist C 1,2 “verwendet.Weiter seien a ∈ R n×n , b ∈ R n und c ∈ R. DefiniereP (z) :=n∑j,k=1a jk z j z k +n∑b j z j + c = 〈az|z〉 + 〈b|z〉 + c.j=1Bezeichnung 4.2 (Differentialoperator).P (D) :=n∑j,k=1a jk ∂ j ∂ k +n∑b j ∂ j + cj=1heißt (formaler) linearer Differentialoperator zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, imfolgenden kurz Differentialoperator. Ist M eine Menge und Ω ⊆ R n offen sowie u : M × Ω → Ceine Funktion mit u(t, ·) ∈ C 2 (Ω) für alle t ∈ M, so setzeP (D)u(t, x) :=n∑j,k=1für alle (t, x) ∈ M × Ω. Dann gilta jk ∂ j ∂ k u(t, x) +n∑b j ∂ j u(t, x) + cu(t, x)j=1P (D)u(t, x) = Spur ( a · ∇ 2 xu(t, x) ) + ∇ x u(t, x) · b + cu(t, x) (4.1)für alle (t, x) ∈ M × Ω, wobei ∇ x den Gradienten und ∇ 2 x die Hesse-Matrix bezüglich x bezeichnet.Bemerkung 4.3. Ist Ω ⊆ R n offen und u ∈ C 2 (Ω), so verändert sich wegen der Symmetrieder zweiten Ableitung P (D)u nicht, wenn man a jk durch 1 2 (a jk + a kj ), also a durch a t ersetzt.Daher wird im allgemeinen oft die zusätzliche Annahme getroffen, daß a symmetrisch ist.Definition/Bemerkung 4.4 (starke Elliptizität). Der Differentialoperator P (D) heißt starkelliptisch, falls es ein θ ∈ R >0 so gibt, daß gilt:∀ x ∈ R n :n∑j,k=1a jk x j x k ≥ θ ‖x‖ 2 . (4.2)Ist a symmetrisch, so ist P (D) offenbar genau dann stark elliptisch, wenn a positiv definit ist.

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN28Generalvoraussetzung 4.5. Im folgenden sei a symmetrisch und der DifferentialoperatorP (D) stark elliptisch, das heißt, a sei symmetrisch und positiv definit.Bezeichnung 4.6. Eine partielle Differentialgleichung der Gestalt∂ t u = P (D)u,u(0, ·) = g(4.3)heißt die zum elliptischen Operator P (D) gehörige parabolische Gleichung (zweiter Ordnung mitkonstanten Koeffizienten).Beispiel 4.7 (Laplace-Operator, Wärmeleitungsgleichung). Das wichtigste Beispiel erhalten wirim Fall a = I n , b = 0 und c = 0. In diesem Fall ist P (D) = ∑ nj=1 ∂2 j =: ∆ der Laplace-Operator.Die zugehörige parabolische Gleichung ist die Wärmeleitungsgleichung∂ t u = ∆u,u(0, ·) = g.Es wird sich zeigen, daß der Laplace-Operator bzw. die Wärmeleitungsgleichung Prototypen vonelliptischen Differentialoperatoren bzw. parabolischen Gleichung sind und sich das Lösen einersolchen Gleichung auf das Lösen der Wärmeleitungsgleichung zurückführen läßt.Definition 4.8 (klassische Lösung einer parabolischen Gleichung). Sei g ∈ C(R n ). Eine klassischeLösung der parabolischen Gleichung (4.3) ist eine stetige C 1,2 -Funktion u : I × R n → Rmit∂ t u(t, x) = ( P (D)u(t, ·) ) (x) für alle (t, x) ∈ ]0, T [ ×R n undu(0, x) = g(x) für alle x ∈ R n .4.2 Existenz von LösungenIm folgenden soll eine Lösungsformel für die Gleichung (4.3) hergeleitet werden. Zentrales Hilfsmittelist hierzu die Fouriertransformation. Mithilfe von Satz 3.12 läßt sich der DifferentialoperatorP (D) im Fourierbild als Multiplikationsoperator darstellen:Lemma 4.9 (Differentialoperatoren im Fourierbild). Sei f ∈ S n , dann gilt für alle ξ ∈ R n̂ P (D)f(ξ) = P (iξ) · ̂f(ξ).Beweis. Nach Satz 3.12 gilt für alle ξ ∈ R n̂ P (D)f(ξ) ==n∑j,k=1n∑j,k=1a jk ̂∂ j ∂ k f(ξ) += P (iξ) · ̂f(ξ).n∑b j ̂∂j f(ξ) + c ̂f(ξ)j=1n∑a jk iξ j iξ k ̂f(ξ) + b j iξ j ̂f(ξ) + c ̂f(ξ)j=1

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN29Herleitung einer Lösungsformel. Wir machen den Ansatz, daß g ∈ S n ist und u eine zugehörigeLösung von (4.3) mit u(t, ·) ∈ S n für alle t ∈ I und führen eine partielle Fouriertransformationin der x-Variable durch:û(t, ξ) := ( Fu(t, ·) ) (ξ).Nach Lemma 4.9 gilt dann̂ P (D)u(t, ξ) = P (iξ) · û(t, ξ).Wir nehmen weiter an, daß die partiellen Ableitungen nach der ersten Variablen ∂ t u(t, ·) lokalgleichmäßige Majoranten besitzen, so daß die folgende Differentiation unter dem Integralgerechtfertigt ist:∂ t û(t, ξ) = d ∫∫u(t, x)e −ix·ξ dx = ∂ t u(t, x)e −ix·ξ dx =dt̂∂ t u(t, ξ).Die transformierte Gleichung lautet damit∂ t û(t, ξ) = P (iξ) û(t, ξ),û(0, ξ) = ĝ(ξ).Für festes ξ ∈ R n handelt es sich hierbei um eine gewöhnliche Differentialgleichung für û(·, ξ),deren eindeutige Lösung gegeben ist durchû(t, ξ) = exp(tP (iξ)) · ĝ(ξ). (4.4)Es gilt exp(tP (iξ)) = exp(−t〈aξ|ξ〉) · exp(it〈b|ξ〉) · exp(tc), und wegen | exp(it〈b|ξ〉)| = 1 und| exp(−t〈aξ|ξ〉)| = exp(−t〈aξ|ξ〉) ≤ exp(−tθ‖ξ‖ 2 )erkennt man leicht, daß exp(tP (i · )) für jedes t ∈ R >0 eine Schwartzfunktion ist, also istk t := F −1 exp(tP (i · )) für alle t ∈ R >9 wohldefiniert, und aus Gleichung (4.4) folgt mit demFaltungssatz 3.21:u(t, x) = k t ∗ g(x).für alle (t, x) ∈ ]0, T [ ×R n .Berechnung des Faltungskernes k t . Da a symmetrisch und positiv definit ist, besitzt agenau eine symmetrische positiv definite Wurzel a 1/2 mit ( a 1/2) 2= a. Dieses Ergebnis erhältman leicht mithilfe des Funktionalkalküls, der Vollständigkeit wird aber auch ein elementarerBeweis angegeben.Lemma 4.10 (Existenz und Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Matrizen). Sei a ∈ R n×nsymmetrisch und positiv definit. Dann existiert genau eine symmetrische positiv definite Matrixa 1/2 mit ( a 1/2) 2= a.

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN30Beweis. Setze D := {b ∈ R n×n | a t = a und ab = ba}. Dann ist die Matrixmenge D simultandiagonalisierbar, also findet man eine orthogonale Matrix s ∈ R n×n so, daß s t bs für jedes b ∈ Deine Diagonalmatrix ist.Existenz. Setze d := s t as, dann ist d eine Diagonalmatrix. Da die Diagonalelemente von dgenau die Eigenwerte von a sind, gilt d jj > 0 für alle j ∈ N ≤n . Definiere die Diagonalmatrixd 1/2 := diag( √ d 11 , √ d 22 , . . . , √ d nn ) und a 1/2 := sd 1/2 s t . Dann gilt(a 1/2 ) t = (sd 1/2 s t ) t = (s t )t(d 1/2 ) t s t = sd 1/2 s t = a 1/2 ,und nach Definition ist offensichtlich auch a 1/2 positiv definit. Schließlich gilt(a 1/2 ) 2 = (sd 1/2 s t ) 2 = sd 1/2 s t s }{{}=I nd 1/2 s t = s(d 1/2 ) 2 s t = sds t .Eindeutigkeit. Sei b ∈ R n×n eine weitere symmetrische positiv definite Matrix mit b 2 = a. Danngilt ab = b 2 b = bb 2 = ba, also ist b ∈ D. Also ist d ′ := s t bs eine Diagonalmatrix, und es folgta 1/2 b = sd 1/2 s t sd ′ s t = sd 1/2 d ′ s t = sd ′ d 1/2 s t = sd ′ s t sd 1/2 s t = ba 1/2 .Also gilt a 1/2 b = ba 1/2 und damit0 = a − a = (a 1/2 ) 2 − b 2 = (a 1/2 + b)(a 1/2 − b).Da a 1/2 und b positiv definit sind, ist auch a 1/2 + b positiv definit und damit insbesondereinvertierbar. Also folgt a 1/2 − b = 0 und damit b = a 1/2 .Sei also a 1/2 die nach Lemma 4.10 eindeutig bestimmte positive Wurzel aus a. Mit der Fourierumkehrformel3.7 folgt für alle t ∈ R >0 und x ∈ R nk t (x) ======3.6==∫1(2π) n∫1(2π) ne tc ∫(2π) nexp(tP (iξ)) · exp(ix · ξ) dξexp(−t〈aξ|ξ〉) · exp(i(x + tb) · ξ) · e tc dξexp(−t‖a 1/2 ξ‖ 2 ) · exp(i(x + tb) · ξ) dξ (y := √ 2ta 1/2 ξ)e tc(2π) n 1(2t) n/2 det(a 1/2 )e tc(4πt) n/2 det(a 1/2 )e tc(4πt) n/2 det(a 1/2 )e tc(4πt) n/2 det(a 1/2 ) ϕ n∫∫1(2π) n/21((2π) n/2 ̂ϕ n((exp − ‖y‖2 ) (1)· exp i√ a −1/2 (x + tb) · y dy22t(1)ϕ n (y) · exp i√ a −1/2 (x + tb) · y dy2t− √ 1)a −1/2 (x + tb)2t− 1 √2ta −1/2 (x + tb)e tc((4πt) n/2 det(a 1/2 ) exp − 1 4t ‖a−1/2 (x + tb)‖Diese Berechnung motiviert die folgende Definition:)).

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN31Definition 4.11 (Fundamentallösung des Differentialoperators ∂ t − P (D)). Die durche ct((t, x) ↦→(4πt) n/2 det a 1/2 exp − 1 )4t 〈a−1 (x + tb) | x + tb〉definierte Funktion k : R >0 × R n heißt Fundamentallösung des Differentialoperators ∂ t − P (D).Im folgenden wird die Notation k t := k(t, ·) für alle t ∈ R >0 verwendet. Im Spezialfall a = I n , b =0, c = 0 heißt( )1h t (x) :=(4πt) n/2 exp − ‖x‖2 für alle (t, x) ∈ R >0 × R n4tder Wärmeleitungskern.Aus der Definition der Fundamentallösung erhalten wir unmittelbar die folgenden Beobachtungen.Bemerkung 4.12. (1) Zwischen dem allgemeinen Kern k t und dem Wärmeleitungskern h tbesteht der folgende Zusammenhang: Für alle t ∈ R >0 und x ∈ R n giltk t (x) =e tcdet(a 1/2 ) h t(a −1/2 (x + tb)). (4.5)(2) Der Kern k t erfüllt die Gleichung (∂ t − P (D))k t = 0.(3) (e −ct k t ) t∈R>0 ist eine approximierende Eins. Insbesondere giltk t ∗ g(x) → g(x 0 ) für (t, x) → (0, x 0 )für alle g ∈ C b (R n ) und x 0 ∈ R n .Beweis. (1) folgt direkt aus der Definition.(2) Nach Konstruktion ist ̂k t = exp(tP (i·)), und da ∂ t k t offenbar lokal gleichmäßige Majorantenbesitzt, folgtalsô∂ t k t (ξ) = ∂ t ̂kt (ξ) = ∂ t(exp(tP (iξ)))= P (iξ) exp(tP (iξ)) = P (iξ) ̂kt (ξ) = ̂ P (D)k t (ξ),((∂ t − P (D))k t) b=0 und damit auch (∂t − P (D))k t = 0.(3) Betrachte zunächst als Spezialfall den Wärmeleitungskern. Es gilt∫∫1h 1 =(4π) n/2 exp ( − ‖x‖2 )dx = 14sowie h t = 1 √tn h 1(· √t). Nach Beispiel 3.24 ist (h t ) t>0 eine approximierende Eins.Betrachte nun den allgemeinen Fall. Setze ˜k t := e −ct k t , dann gilt ˜k t (x) = 1 hdet a 1/2 t (a −1/2 (x+tb)).Damit folgt∫ ∫ ∫| ˜k t | = ˜k t = h t = 1.

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN32Sei nun δ ∈ R >0 . Wähle t 0 ∈ R >0 so, daß δ 0 := ‖a 1/2 ‖ −1 δ − t 0 ‖a −1/2 b‖ > 0 ist. Dann gilt füralle t ∈ [0, t 0 ] und x ∈ R n :‖x‖ ≥ δ ⇒ ‖a −1/2 (x + tb)‖ ≥ ∣ ‖a −1/2 x‖ − t‖a −1/2 b‖ ∣ = ‖a −1/2 x‖ − t‖a −1/2 b‖≥ ‖a 1/2 ‖ −1 ‖x‖ − t 0 ‖a −1/2 b‖ ≥ ‖a 1/2 ‖ −1 δ − t 0 ‖a −1/2 b‖,also ‖x‖ ≥ δ ⇒ ‖a −1/2 (x + tb)‖ ≥ δ 0 . Damit folgt für t ≤ t 0 :∫∫∫1˜k t (x) dx ≤‖x‖≥δ‖a −1/2 (x+tb)‖≥δ 0det a 1/2 h t(a −1/2 (x + tb)) dx = h t (y) dy t→0 → 0‖y‖≥δ 0Die gleiche Transformation, die die Kerne h t und k t ineinander überführt, transformiert auchLösungen der Wärmeleitungsgleichung in Lösungen der allgemeinen Gleichung. Genauer gilt derfolgendeSatz 4.13 (Transformationssatz). Seien u, v : I × R n → R und C 1,2 , und für alle t ∈ I undx, y ∈ R n geltev(t, x) = e ct u(t, a −1/2 (x + tb))bzw. u(t, y) = e −ct v(t, a 1/2 y − tb).Dann gilt für alle (t, x) ∈ ]0, T [ ×R n mit y := a −1/2 (x + tb):(∂ t v − P (D)v)(t, x) = e ct (∂ t u − ∆u)(t, y) undv(0, x) = u(0, a −1/2 x).Bemerkung 4.14. Eine Umformulierung von Satz 4.13 ist die folgende: Mit der Transformationũ(t, x) := e ct u(t, a −1/2 (x + tb)) gilt(∂ t − P (D))ũ = ((∂ ˜ t − ∆)u )Beweis von Satz 4.13. Seien (t, x) ∈ ]0, T [ ×R n und y := a −1/2 (x + tb). Dann gilt zunächst∂ t v(t, x) = cv(t, x) + e ct (∂ t u(t, y) + ∇ y u(t, y) · a −1/2 b).Gemäß (4.1) gilt außerdemP (D)v = Spur(a · ∇ 2 xv) + ∇ x v · b + cv,wobei ∇ x den Gradienten und ∇ 2 x die Hesse-Matrix bezüglich der x-Variablen bezeichnet. Es ist∇ x v(t, x) = e ct ∇ y u(t, y) · a −1/2 und ∇ 2 xv(t, x) = e ct a −1/2 · ∇ 2 yu(t, y) · a −1/2 ,alsoSpur(a · ∇ 2 xv)(t, x) = e ct Spur(a · a −1/2 · ∇ 2 yu(t, y) · a −1/2 ) = e ct Spur(a 1/2 · ∇ 2 yu(t, y) · a −1/2 )= e ct Spur(∇ 2 yu(t, y)) = e ct ∆ y u(t, y).

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN33Damit folgt insgesamt(∂ t v − P (D)v)(t, x) = cv(t, x) + e ct (∂ t u(t, y) + ∇ y u(t, y) · a −1/2 b)− ( Spur(a · ∇ 2 xv(t, x)) + ∇ x v(t, x) · b + cv(t, x) )= e ct (∂ t u(t, y) + ∇ y u(t, y) · a −1/2 b) − e ct ( ∆ y u(t, y) + ∇ y u(t, y) · a −1/2 b )= e ct ( ∂ t u(t, y) − ∆ y u(t, y) ) .Aus Satz 4.13 folgt mit den Bezeichnungen aus Bemerkung 4.14 unmittelbar das folgendeKorollar 4.15 (Äquivalenz der allgemeinen Gleichung zur Wärmeleitungsgleichung). Es seiu : I × R n → R stetig und C 1,2 und g ∈ C(R n ). Dann sind äquivalent:(1) u löst die Wärmeleitungsgleichung ∂ t u = ∆u mit u(0, ·) = g,(2) ũ löst die allgemeine Gleichung ∂ t ũ = P (D)ũ mit ũ(0, ·) = g ◦ a −1/2 .Satz 4.16 (Existenzsatz für Lösungen parabolischer Gleichungen). Sei g ∈ C(R n ), und es gebeKonstanten C, λ ∈ R >0 sowie ein ρ ∈ [0, 2] mit∀ x ∈ R n : ‖g(x)‖ ≤ C exp(λ‖x‖ ρ ).Im Fall ρ = 2 gelte zusätzlich T

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN34Der Beweis, daß die Anfangsbedingung erfüllt wird, läßt sich analog wie im Approximationssatzführen: Sei x 0 ∈ R n . Sei δ ∈ ]0, 1[ und x ∈ R n mit ‖x − x 0 ‖ < δ und t ∈ I \{0} mit t ≤ 1 12 4λ ,dann gilt∫1(|u t (x) − g(x 0 )| ≤(4πt) n/2 exp − ‖y‖2 )|g(x − y) − g(x 0 )| dy4t=≤1(4πt) n/2 ∫‖y‖≤δ+π −n/2 ∫sup‖y‖≤δ‖y‖≥ δ2 √ texp(− ‖y‖24t)|g(x − y) − g(x 0 )| dye −‖y‖2 ‖g(x 0 ) − g(x − 2 √ t)y‖ dy|g(x − y) − g(x 0 )| + Cπ −n/2 ∫‖y‖≥ δ2 √ te −‖y‖2 (eλ‖x 0 ‖ 2 + e λ‖x−2√ ty‖ 2 )dy} {{ }Wegen der Stetigkeit von g wird der erste Summand für hinreichend kleines δ beliebig klein.Daher wird im folgenden nur noch der Integralterm I weiter abgeschätzt. Mit M := 1 + ‖x 0 ‖folgt∫( (I ≤ e −‖y‖2 e λ‖x 0‖ 2 + exp λ ‖(x − x 0 ) + x 0 − 2 √ ty‖ 2) ) dy≤=∫∫‖y‖≥ δ2 √ t‖y‖≥ δ2 √ t‖y‖≥ δ2 √ t( (e −‖y‖2 e λ‖x 0‖ 2 + exp λ ( 1 + ‖x 0 ‖ + √ 1 ‖y‖ ) )2)dy2λ( (e −‖y‖2 e λ‖x 0‖ 2 + exp λM 2 + √ 2λM‖y‖ + 1 ) )2 ‖y‖2 dyDamit ist die Funktion unter dem Integral integrierbar und unabhängig von t. Somit wird auchdieser Term beliebig klein für t → 0. Damit ist die Behauptung bewiesen.4.3 Eindeutigkeit von Lösungen und das MaximumsprinzipIm folgenden soll die Frage nach der Eindeutigkeit von Lösungen parabolischer Gleichungengeklärt werden. Das folgende Beispiel, welches [Jo95] entnommen wurde, zeigt, daß ohne weitereVoraussetzungen im allgemeinen keine Eindeutigkeit der Lösung vorliegt.Beispiel 4.17 (Nichteindeutigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung). Sei α ∈ R >1 . Definiere{ exp(−tg(t) :=−α ) für t > 00 für t ≤ 0 .Dann wird durch∞∑(t, x) ↦→m=0g (m) (t)(2m)! x2m (4.6)eine stetige Funktion u : R ≥0 × R → R definiert, die C ∞ im Inneren ist underfüllt.∂ t u = ∆u in R >0 × R,u(0, ·) ≡ 0I:=

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN35Beweis. Als erstes soll gezeigt werden, daß durch (4.6) eine auf ganz R ≥0 × R konvergentePotenzreihenfunktion definiert wird. Dazu werden die Koeffizienten g(m) (t)(2m)!mit Hilfe der Cauchy-Formel abgeschätzt. Für alle z ∈ C\R ≤0 bezeichne z α := exp(α log(z)) den Hauptzweig derPotenzfunktion, wobei log den Hauptzweig des Logarithmus bezeichnet, und entsprechend werdeg durch z ↦→ exp(−z −α ) zu einer holomorphen Funktion auf C\R ≤0 fortgesetzt. Sei t ∈ R >0 ,und sei r ∈ ]0, 1[ . Durch Integration von g über ∂K C (t, rt) ⊆ C\R ≤0 folgt für alle m ∈ N 0 mitder Cauchyschen Integralformel:|g (m (t)| ==∫m!∣2πi|z−t|=rt∣g(z) ∣∣∣∣(z − t) m+1 dz ≤ m!(rt) m sup | exp(−z −α )||z−t|=rtm!(rt) m sup exp(− Re(z −α )).|z−t|=rtIm folgenden soll das Supremum abgeschätzt werden, das in der obigen Ungleichung auftritt.Sei dazu z ∈ C mit |z − t| = rt, dann existiert ein φ ∈ [−π, π] mit z = t + rte iφ = t(1 + re iφ ).Damit folgt− Re(z −α ) = − Re((t(1 + re iφ )) −α ) = − Re(t −α (1 + re iφ ) −α ) = −t −α Re((1 + re iφ ) −α ).Da durch (ρ, ϕ) ↦→ Re((1 + ρe iϕ ) −α ) eine stetige Abbildung κ : [0, 1/2] × [−π, π] → R mitκ| {0}×[−π,π] ≡ 1 definiert wird, kann man ein r ∈ R >0 wählen mit κ| [0,r]×[−π,π] ≥ 1/2. Für diesesr folgt− Re(z −α ) = −t −α Re((1 + re iφ ) −α ) ≤ − 1 2 t−α .Dies liefert insgesamt als Abschätzung für die Koeffizienten:|g (m (t)| ≤ m! ((rt) m exp − 1 )2 t−α .Sei nun t ∈ R >0 und x ∈ R. Dann gilt:∣∞∑g (m) (t) ∣∣∣∣ ∞∑ |x| 2m(∣ (2m)! x2m ≤(m!) 2 · m!(rt) m exp − 1 )2 t−α =m=0m=0( ) |x|2= exp exp(− 1 )rt 2 t−α = exp(|x| 2r− 12t α−1 ))∞∑1m! ·( ) |x|2 mexp(− 1 )2 t−αrtm=0( ( 1 |x|2t r − 1 ))2t α−1 .(Da die Funktion t ↦→ exp 1tauf ganz R ≥0 beschränkt ist, folgt hieraus, daß fürjede beschränkte Teilmenge B ⊆ R die Reihe (4.6) gleichmäßig auf R ≥0 × B konvergiert undsomit eine stetige Funktion auf R ≥0 × R definiert, für die u| {0}×R ≡ 0 gilt. Da u(t, ·) für festest ∈ R ≥0 eine Potenzreihenfunktion ist, ist u(t, ·) unendlich oft differenzierbar. Für alle k ∈ N 0und (t, x) ∈ R ≥0 × R gilt außerdem:(∂ x ) 2k u(t, x) ==∞∑m=0∞∑j=0g (m) (t)(2m)!g (j+k) (t)(2j))!( ) d 2k(x 2m ) =dxx 2j =∞∑ g (m) (t)(2(m − k))! x2(m−k)m=k∞∑( ( )dkgdt) (j) (t)x 2j(2j)!j=0

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN36Also konvergiert auch die Reihe der k-ten Ableitung nach t lokal gleichmäßig, nach dem Satzüber das Differenzieren von Grenzfunktionen folgt damit, daß u in R >0 × R auch in t unendlichoft differenzierbar ist, und für alle k ∈ N 0 und (t, x) ∈ R >0 × R gilt(∂ t ) k u(t, x) =∞∑( (dkdt)j=0Insbesondere gilt ∂ t u = ∆u.g (j) (t)(2j)!)x 2j = (∂ x ) 2k u(t, x).Dieses Beispiel zeigt, daß im allgemeinen keine Eindeutigkeit für Lösungen parabolischer Gleichungenauf R n gilt. Diese Situation ändert sich, wenn man anstelle von R n beschränkte Gebietein R n betrachtet, oder wenn man im allgemeinen Fall weitere Wachstumsbedingungen an dieAnfangsbedingung bzw. Lösung stellt, wie es bereits im Existenzsatz notwendig war.Ein Standard-Hilfsmittel zum Beweis von Eindeutigkeitssätzen sind sogenannte Maximumprinzipien.Dies sind, grob gesprochen, Aussagen darüber, daß bestimmte Funktionen ihr Maximum ineiner Teilmenge des Randes annehmen. Solche Maximumprinzipien ergeben sich für Differentialoperatorenzweiter Ordnung zum Beispiel daraus, daß solche Differentialoperatoren Bedingungenan die Ableitungen erster und zweiter Ordnung stellen, die wiederum das Vorliegen von lokalenExtremwertstellen charakterisieren.Diese Methode wird im folgenden angewendet, um das sogenannte schwache Maximumprinzipherzuleiten, zunächst für beschränkte Gebiete und im Anschluß unter zusätzlichen Wachstumsbedingungenauch für den ganzen R n . Daraus wird dann der Eindeutigkeitssatz für die Lösungenparabolischer Gleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten gefolgert. Das weitereVorgehen lehnt sich an die Ausführungen in [Jo98] an.Notationen 4.18. Für Ω ⊆ R n setze Ω T := ]0, T [×Ω und ∂ ∗ Ω T := ({0} × Ω) ∪ (I × ∂Ω). ∂ ∗ Ω Theißt reduzierter oder auch parabolischer Rand von Ω T .Satz 4.19 (schwaches Maximumprinzip für beschränkte Gebiete). Es gelte c = 0. Sei Ω ⊆ R noffen und beschränkt und u : Ω T → R stetig und C 1,2 . Giltso folgt∂ t u − P (D)u ≤ 0 in Ω T ,sup u(Ω T ) = sup u(∂ ∗ Ω T ).Beweis. O.B.d.A. gelte T < +∞ (sonst ersetze sup u(Ω T ) durch sup sup u(Ω τ )).Fall 1: ∂ t u − P (D)u < 0 in Ω T . Sei ε ∈ ]0, T [ . Da Ω T −ε kompakt und u stetig ist, existiert einPunkt (t 0 , x 0 ) ∈ Ω T mitu(t 0 , x 0 ) = max u(Ω T ).Annahme: (t 0 , x 0 ) /∈ ∂ ∗ Ω T . In diesem Fall nimmt die Funktion u(t 0 , ·) ein lokales Maximum iminneren Punkt x 0 ∈ Ω an, also gilt∇ x u(t 0 , x 0 ) = 0 und ∇ 2 xu(t 0 , x 0 ) ≤ 0τ

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN37(hierbei bezeichnet ∇ x den Gradienten bezüglich x und ∇ 2 x die Hesse-Matrix bezüglich x). Dadie Matrix h := ∇ 2 xu(t 0 , x 0 ) negativ semi-definit ist, folgtn∑a jk ∂ j ∂ k u(t 0 , x 0 ) = Spur(ah) = Spur(a −1/2 aha 1/2 ) = Spur(a 1/2 ha 1/2 )j,k=1=n∑〈a 1/2 ha 1/2 e j | e j 〉 =j=1n∑〈ha 1/2 e j | a 1/2 e j 〉 ≤ 0,} {{ }≤0wobei e j den j-ten Einheitsvektor des R n bezeichne. Außerdem nimmt die auf ]0, T − ε] differenzierbareFunktion u(·, x 0 ) im Punkt t 0 ein lokales Maximum an, also gilt∂ t u(t 0 , x 0 ) ≥ 0(wobei ∂ t u(t 0 , x 0 ) = 0 gilt, falls t 0 < T − ε ist). Damit folgt insgesamt∂ t u(t 0 , x 0 ) − P (D)u(t 0 , x 0 ) = ∂ t u(t 0 , x 0 ) − Spur(a∇ 2} {{ }xu(t 0 , x 0 )) − ∇} {{ } x u(t 0 , x 0 ) ·b ≥ 0} {{ }≥0≤0=0im Widerspruch zur Voraussetzung.Fall 2: Betrachte jetzt den allgemeinen Fall ∂ t u − P (D)u ≤ 0 in Ω T . Setze u ε (t, x) := u(t, x) − εtfür alle (t, x) ∈ Ω T . Wegen c = 0 folgt P (D)u ε = P (D)u und damit∂ t u ε − P (D)u ε = (∂ t u − ε) − P (D)u ≤ 0 − ε < 0in Ω T , also gilt nach Fall 1:max u(Ω t ) = max{e ε (t, x) + tε | (t, x) ∈ Ω T } ≤ max u ε (Ω T ) + εTMit ε ↘ 0 folgt die Behauptung.j=1Fall 1= max u ε (∂ ∗ Ω T ) + εT ≤ max u(∂ ∗ Ω T ) + εT.Satz 4.20 (schwaches Maximumprinzip für R n ). Es gelte c = 0. Sei u : I × R n → R stetig undC 1,2 , und es gebe C, λ ∈ R >0 mitGiltso folgt∀ (t, x) ∈ I × R n : u(t, x) ≤ C exp(λ‖x‖ 2 ).∂ t u − P (D)u ≤ 0 in ]0, T [ ×R n ,sup u(I × R n ) = supx∈R n u(0, x).Bevor Satz 4.20 bewiesen wird, soll als entscheidendes Korollar die Eindeutigkeit für Lösungenparabolischer Gleichungen (auch im Fall c ≠ 0) gefolgert werden.

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN38Korollar 4.21 (Eindeutigkeitssatz für Lösungen parabolischer Gleichungen 2. Ordnung mitkonstanten Koeffizienten). Sei g ∈ C(R n ). Für alle j ∈ {1, 2} seien u j : I × R n → R stetig undC 1,2 , und es gebe λ j , C j ∈ R >0 mit∀ (t, x) ∈ I × R n : |u j (t, x)| ≤ C j exp(λ j ‖x‖ 2 ),außerdem gelte∂ t u j = P (D)u j in ]0, T [ ×R n ,u j (0, ·) = g.Dann folgt u 1 = u 2 .Beweis. Da das Problem linear in u ist, reicht es, die Aussage für u := u 1 − u 2 mit λ :=max{λ 1 , λ 2 } und C := C 1 + C 2 sowie g = 0 zu zeigen.Fall 1: c = 0. Anwenden des schwachen Maximumprinzips 4.20 auf u und −u liefert|u(t, x)| ≤ supy∈R n |u(0, y)| = supy∈R n |g(y)| = 0für alle (t, x) ∈ I × R n , also u = 0.Fall 2: Da u = 0 genau dann gilt, wenn u| [0,τ]×R n = 0 für alle τ ∈ [0, T [, kann o.B.d.A. T < +∞vorausgesetzt werden. Definiere ũ(t, x) := e −ct u(t, x) für alle (t, x) ∈ I × R n . Dann gilt:∂ t ũ = −cũ + e −c·∂ t u = −cũ + P (D)(e −c·u) = −cũ + P (D)ũ = ˜P (D)ũmit ˜P := P − c. Außerdem gilt ũ(0, ·) = u(0, ·) = g = 0 sowie|ũ(t, x)| ≤ e −ct · C exp(λ‖x‖ 2 ) ≤ } Ce {{ |c|T} exp(λ‖x‖ 2 ).eC:=Somit erfüllen ˜P , ũ anstelle von P, u die Voraussetzung des 1. Falls, also folgt ũ = 0 und damitauch u = 0.Beweis von Satz 4.20. Setze M := supx∈R n u(0, x). Es reicht, die Aussage auf I ≤τ anstelle von I fürein τ ∈ R >0 zu zeigen: Dann läßt sich die Aussage aufu k (t, ·) := u(kτ + t, ·)für alle t ∈ I k := [0, τ] ∩ (I − kτ)für alle k ∈ N 0 anstelle von u anwenden. Da dann u k die Voraussetzung des Satzes mit u k (0, ·) =u(kτ, ·) erfüllt, folgt für alle N ∈ N:M = sup u(0, x) ≥ sup u([0, τ] × R n ) ≥ sup (u 1 ([0, τ] × R n ) ∪ u([0, τ] × R n )) ≥ · · · ≥x∈R n ( N−1)⋃≥ sup u k ([0, τ] × R n ) = u(I ≤Nτ × R n ),k=0also auch sup u(I × R n ) ≤ M. Diesewerden kann.Überlegungen zeigen, daß o.B.d.A T

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN39Fall 1. Gelte zunächst P (D) = ∆. Wähle ein ε ∈ R >0 mit T + ε < 14λ . Sei y ∈ Rn fest. Für alleδ ∈ R >0 definierev δ (t, x) := u(t, x) − δ h T +ε−t (x − y) für alle (t, x) ∈ I × R n .Da h die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung ist, folgt(∂ t − ∆)v δ = (∂ t − ∆)u ≤ 0.Sei r ∈ R >0 und Ω r := K C (y, r). Durch Anwenden des schwachen Maximumprinzips für beschränkteGebiete 4.19 erhält manv δ (t, x) ≤ max v δ (∂ ∗ Ω r T ) für alle (t, x) ∈ Ω r T .Im folgenden soll max v δ (∂ ∗ Ω r T) abgeschätzt werden. Zunächst giltv δ (0, x) ≤ u(0, x) ≤ M für alle x ∈ R n .Sei nun x ∈ ∂Ω r , also gilt |x − y| = r. Dann gilt( )v δ (t, x) ≤ C exp(λ‖x‖ 2 1|x − y|2) − δ(4π(T + ε − t)) n/2 exp 4(T + ε − t)(≤ C exp(λ(r + ‖y‖) 2 1) − δ(4π(T + ε)) n/2 exp r 2 ).4(T + ε)1Nach Voraussetzung ist λ 0 so groß wählen, daß die rechteSeite kleiner als M wird.Damit folgt insgesamtv δ (t, x) ≤ max v δ (∂ ∗ Ω r T ) ≤ M für alle (t, x) ∈ Ω r T .Insbesondere gilt1u(t, y) − δ(4π(T + ε − t)) n/2 = u(t, y) − δh T +ε−t(y − y) = v δ (t, y) ≤ M.Mit δ ↘ 0 folgt die Behauptung.Allgemeiner Fall. Sei nun P (D) mit c = 0 beliebig. In diesem Fall definiereũ(t, x) := u(t, a 1/2 x − tb) für alle (t, x) ∈ I × R n .Nach dem Transformationssatz für Lösungen gilt dann(∂ t − ∆)ũ = ((∂ t − P (D))u) e ≤ 0.Außerdem giltsupx∈R n ũ(0, x) = supy∈R n u(0, y) = M.

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN40Schließlich gilt für alle t ∈ I und x ∈ R n mit ‖x‖ ≥ 1:|ũ(t, x)| ≤ C exp(λ‖a 1/2 x − tb‖ 2 ) ≤ C e λT 2 ‖b‖ 2} {{ }≤C ′ :=exp()λ(‖a 1/2 ‖ 2 ‖x‖ 2 + 2T ‖a 1/2 ‖ ‖b‖ ‖x‖)⎛⎞C ′ ⎜exp ⎝(λ(‖a 1/2 ‖ 2 + 2T ‖a 1/2 ‖ ‖b‖)) ‖x‖ 2 ⎟⎠ ≤ C ′ exp(˜λ‖x‖ 2 ).} {{ }eλ:=Mit C 1 := max{|ũ(t, x)| | t ∈ I, x ∈ K R n(0, 1)} und ˜C := max{C 1 , C ′ } gilt also auch|ũ(t, x)| ≤ ˜C exp(˜λ‖x‖ 2 ) für alle (t, x) ∈ I × R n .Damit läßt sich auf ũ der erste Fall anwenden, und es folgtsup u(I × R n ) = sup ũ(I × R n ) ≤ M.

5 DIE BLACK-SCHOLES FORMEL 415 Die Black-Scholes FormelWir knüpfen an dieser Stelle wieder an Kapitel 2 an. Dort wurde gezeigt, daß das Problem,den fairen Preis einer Option zu berechnen, sich darauf zurückführen läßt, die Black-Scholes-Differentialgleichung (2.14) zu lösen. Wie bereits gesehen, läßt sich diese durch die Euler-Transformation in die folgende einfachere Gestalt bringen:(∂ t u = σ22 ∂2 xu +u(0, ·) = c ◦ exp .r − σ22)∂ x u − ru,Aus technischen Gründen setzen wir voraus, daß c : R >0 → R eine stetige Funktion ist, für die esKonstanten C, λ ∈ R >0 und ρ ∈ R 0 ,a a(wobei h t (x) := √ 14πtexp− x24teindeutige Lösung von (5.1) lautet alsou(t, x) := k t ∗ (c ◦ exp)(x) = e−rtσ/ √ 2(5.1))für alle (t, x) ∈ R >0 × R den Wärmeleitungskern bezeichnet. Die∫ ∞−∞⎛ ( )h t⎝ x − y + ⎞r − σ22tσ/ √ ⎠ c (e y ) dy. (5.2)2Ein nützliches Hilfsmittel zur Auswertung dieses Integral für konkretes c ist das folgendeLemma 5.1. Seien α, β ∈ R und t ∈ R > 0. Dann gilt∫ α( ) α + 2tβh t (v)e −βv dv = e tβ2 Φ √ , (5.3)2t−∞wobei Φ(t) = ∫ t1−∞ϕ(s) ds mit ϕ(s) = √2πe − s2 2Beweis. Es gilt:∫ α−∞h t (v)e −βv dv ===∫1 α√4πt−∞∫1 1 α√ √2π 2t∫1 α√2π−∞= etβ2√2π∫ α−∞e − v24t e −βv dv(−∞exp= e tβ2 1 √2π∫ α ′exp(− 1 2(exp − 1 ( v2−∞expdie Standard-Normalverteilung bezeichnet.( ( ) ))v2√ + 2βv dv2t− 1 2( v√ + β √ ) 22t + 1 (β √ )) 22t2t 2√2t+ β √ 2t} {{ }s:=) 2 ) dv√2t) (− s2ds = e tβ2 Φ(α ′ )2dv√2t

5 DIE BLACK-SCHOLES FORMEL 42mit α ′ =√ α2t+ β √ 2t = α+2tβ √2t.Mithilfe von Lemma 5.1 kann nun die Lösung konkret für c(x) := (x − K) + := max{x − K, 0}berechnet werden:∫ ∞ ( x − y + bt)u(t, x) = e ct h t √ (e y − K) + dy√−∞ aa} {{ }Weiter ergibt sichsowieh 1 === e ct ∫ ∞−∞= e ct ∫ α−∞= e (b+c)t · e x ∫ αv:=(h t (v) exp(x + bt − √ ) +av) − K dv} {{ }≥0 ⇐⇒ v≤ x+bt−log(K) √ a=:αh t (v) ( exp(x + bt − √ av) − K ) dv−∞(5.3)= e x e } (b+c)t {{ · e ta} Φ=1 wg. a+b+c=0h t (v) exp(− √ av) dv + e ct K( √ α + 2t a√2t} {{ }h 1 :=)− Ke ct Φ∫ α−∞( α)√2t .}{{}h 2 :=(1 x + bt − log(K)√ √ − 2ta )√ = √ 1 ((2a + b)t + log2t aa 2ta( ex1σ √ t(logh 2 = h 1 − √ 2ta = 1σ √ tK)+) )(r + σ2t .2)((r + σ2t + log2( exKh t (v) dv))− σ √ t = 1 (σ √ logt( )) exK( exK)+) )(r − σ2t2Indem wir die Euler-Transformation (x → e x ), die die allgemeine Black-Scholes Gleichung in(5.1) überführt hat, rückgängig machen, erhalten wir so die berühmteBlack-Scholes-Formel. Es bezeichne weiterhin r ∈ R >0 den Markt-Zinssatz. Der faire Preiseiner europäischen Call-Option mit dem Basispreis K auf eine Aktie mit Volatilität σ lautet⎛p(t, x) := x Φ ⎝ log ( ) ) ⎞ ⎛xK +(r + σ22tσ √ ⎠ − Ke −rt Φ ⎝ log ( ) ) ⎞xK +(r − σ22ttσ √ ⎠tbei gegebenem Aktienkurs x ∈ R >0 und Restlaufzeit t ∈ R >0 .Diskussion der Black-Scholes-Formel(Zur einfacheren Notation setze wieder h(t, x) := h 1 (t, x) := 1σ √ log ( ) ) )xt K +(r + σ22t und(h 2 (t, x) := 1σ √ log ( ) ) )xt K +(r − σ22t = h(t, x) − σ √ t. Dann lautet die Black-Scholes-Formelp(t, x) = xΦ(h 1 (t, x)) − e −rt KΦ(h 2 (t, x)).Eine nähere Analyse dieser Formel ergibt folgende Beobachtungen:

5 DIE BLACK-SCHOLES FORMEL 43(1) p(t, x) → (x − K) + für t → 0.(2) Setze ∆ := ∂ x p. Der Herleitung der Black-Scholes-Gleichung kann man entnehmen, daß ∆den Aktienanteil im absichernden Portfolio beschreibt. Es gilt:∆(t, x) = Φ((h(t, x)) + xϕ(h(t, x)) ∂ x h(t, x) − e −rt Kϕ(h(t, x) − σ √ t) ∂ x h(t, x)(= Φ(h(t, x)) + xϕ(h(t, x)) − e −rt Kϕ(h(t, x) − σ √ )t) ∂} {{ } x h(t, x),(∗):=sowie mit h := h(t, x)(∗) =x√2πe −h2 /2 −K √2πe −rt e − 1 2 (h−σ√ t) 2 =x √2πe −h2 /2 −√ K e −h2 /2 e hσ√ t−rt− σ22 t2π} {{ }=x/K nach Def.= 0.Also gilt ∆ = Φ ◦ h.Insbesondere ist ∆ > 0, das heißt, zum Bilden des absichernden Portfolios müssen keineLeerverkäufe zugelassen werden.Entsprechend ist e −rT KΦ◦h 2 der Anteil der festverzinslichen Wertanlage im absicherndenPortfolio, wobei ein Wertanlage mit Wert 1 zum Zeitpunkt T angenommen wird.(3) Das in (2) angegebene ∆ heißt auch ”Delta der Option“und gehört zu den sogenanntenGriechen (Greeks) der Finanzmathematik. Ein weiteres Beispiel hierfür ist Γ := ∂ 2 xp, dassogenannte ”Gamma der Option“. Mit (2) folgtΓ(t, x) = ϕ(h(t, x)) · ∂ x h(t, x) = ϕ(h(t, x)) ·1σx √ t > 0.Also ist die Preisfunktion p(t, ·) strikt konvex im Aktienpreis. Außerdem läßt sich Γ = ∂ x ∆interpretieren als die Sensitivität des Aktienanteils im absichernden Portfolio in Bezug aufden Aktienpreis.Weitere Greeks sind zum Beispiel Θ := ∂ t p, R := ∂ r p und Vega := ∂ σ p. Analoge Rechnungenwie oben ergeben Θ, R, Vega > 0. Das heißt, mit abnehmender Laufzeit verliert dieOption an Wert. Andererseits steigt der faire Preis sowohl bei steigendem Marktzinssatzwie auch bei steigender Volatilität der Aktie.Zur Volatilität σDie Volatilität σ ist ein entscheidender Parameter in der Black-Scholes-Formel. In der Praxissind zwei Methoden für einen konkreten Ansatz von σ üblich:(1) Schätzen der Volatilität aus historischen Preisdaten (...)

5 DIE BLACK-SCHOLES FORMEL 44(2) Implizite Volatilität: Bei gegenwärtigem Marktpreis p der Option am Markt und den vorliegendenDaten x, t, K löse die Gleichungp(t, x, K, σ) = pnach σ = σ auf.Die zweite Methode liefert in der Praxis die folgende Beobachtung: Obwohl im Black-Scholes-Modell die Volatilität als konstant angenommen wird, ergibt sich beim Berechnen der implizitenVolatilität eine umso höhere Volatilität, je weiter der Aktienpreis x von dem Basispreis K abweicht.Grafik einfügen: Smile-Effekt.Motiviert durch diese Grafik nennt man dieses Phänomen auch den Smile-Effekt.

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN456 Parabolische Gleichungen 2. Ordnung mit variablen Koeffizienten6.1 EinleitungIm Gegensatz zur Wärmeleitungsgleichung sollen in diesem Kapitel parabolische Gleichungen2. Ordnung auf R n mit im allgemeinen nicht konstanten Koeffizienten betrachtet werden. Zumeinen ist die nicht transformierte Black-Scholes-Gleichung (2.14) eine Gleichung mit variablen,aber zeitunabhängigen Koeffizienten. Zum anderen kann man sich vorstellen, daß allgemeinereModelle auf Gleichungen ähnlich der Black-Scholes-Gleichung führen, es jedoch auch nachTransformationen nicht möglich ist, diese in eine Gleichung mit konstanten Koeffizienten zuüberführen. Es sollen also im allgemeinsten Fall Gleichungen der Gestaltn∑n∑∂ t u(t, x) = a jk (t, x)∂ j ∂ k u(t, x) + b j (t, x)u(t, x) + c(t, x)u(t, x),u(0, ·) = gj,k=1j=1betrachtet werden. Dabei soll der Einfachheit halber nur der Fall betrachtet werden, daß dieKoeffizienten alle von t oder alle von x unabhängig sind. Der zweite Fall stellt allerdings nureine Variante der bereits in Kapitel 4 vorgestellten Methode dar und wird daher dem Leser alsÜbung überlassen. Daher soll im folgenden der Fall zeitunabhängiger Koeffizienten untersuchtwerden.Generalvoraussetzung 6.1. Seien a jk , b j , c : R n → R für alle j, k ∈ N ≤n meßbare Funktionen.Definiere außerdem den formalen Differentialoperatorn∑n∑L := − a jk (x)∂ j ∂ k + b j (x) + c(x).j,k=1j=1(Die Wahl des negativen Vorzeichens vor der Doppelsumme hat formale Gründe und wird sichspäter als sinnvoll erweisen).In dieser Situation ist es eine geeignete und übliche Methode, die konkrete Gleichung als einesogenannte abstrakte parabolische Gleichung aufzufassen und sie so funktionalanalytischenMethoden zugänglich zu machen.6.2 Abstrakte parabolische GleichungenZiel dieses Abschnittes ist die Entwicklung einer Lösungstheorie für die Gleichung∂ t u(t, x) = −Lu(t, x),u(0, ·) = g.Bevor die technischen Details erläutert werden, soll im folgenden die Idee skizziert werden, inwelcher Art und Weise diese Gleichung behandelt werden soll, um eine einfache Lösungstheoriezu erhalten. Da der Operator ∂ t nur in der t-Variable und L nur in der x-Variable operiert,erscheint es sinnvoll, die Funktion u nicht mehr als gemeinsam von t und x abhängige Funktionanzusehen, sondern als Funktion auf R ≥0 mit Werten im Funktionenraum R RnR ≥0 → R Rn , t ↦→ u(t, ·),

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN46die im folgenden (etwas schlampig) ebenfalls mit u bezeichnet wird. Um Methoden der Differentialrechnungin der t-Variablen anwenden zu können, wähle einen Banachraum X ≤ R Rn , wiez.B. X = C(R n ) oder X = L 2 (R n ). Auf einem geeigneten Teilraum D(A) lasse sich der lineareOperatorA : X ≥ D(A) → X, u ↦→ −Lusinnvoll definieren, z.B. D(A) = C 2 (R n ) im Fall X = C(R n ) oder im Fall X = L 2 (R n ) demRaum D(A) = H 2 (R n ), der im nächsten Abschnitt eingeführt wird. Dann läßt sich das Problemfolgendermaßen formulieren:Zu gegebenem x ∈ X finde eine C 1 -Funktion u : R ≥0 → X mit u(R >0 ) ⊆ D(A) undu ′ (t) = Au(t) für alle t ∈ R >0 ,u(0) = x.(6.1)(6.1) nennt man auch das abstrakte Cauchy-Problem. Wir lösen uns daher im folgenden vonder konkrete Gestalt des Operators A als Differentialoperator und betrachten im allgemeinenRahmen das Problem (6.1).Generalvoraussetzung 6.2. Sei X ein Banachraum.Ist A ∈ L(X), so läßt sich (6.1) bekanntlich leicht mithilfe der Exponentialfunktion lösen:Beispiel 6.3. Es gelte A ∈ L(X). Dann existiert für jedes x ∈ X genau eine Lösung u von(6.1), und diese ist gegeben durchu : R ≥0 → X, t ↦→ exp(tA)x :=∞∑ (tA) nx.n!n=0Beispiel 6.3 dient gleichzeitig als Leitbeispiel für die Entwicklung der allgemeinen Theorie. Dahersoll zunächst die Struktur der Lösung u im Spezialfall A ∈ L(X) genauer untersucht werden:Bemerkung 6.4. Die Lösung u ist linear und stetig in x. Für die Abbildung U : R ≥0L(X), t ↦→ exp(tA) gilt u = U(·)x, und U hat die folgenden weiteren Eigenschaften:→(1) U(0) = Id X ,(2) ∀ t, s ∈ R ≥0 : U(t + s) = U(t)U(s),(3) U ist stetig.Die Eigenschaften (1) und (2) lassen sich zusammenfassen zu: U : (R ≥0 , +) → (L(X), ◦) ist einHalbgruppen-Homomorphismus.In der allgemeinen Situation D(A) ≠ X und im allgemeinen unstetigem A läßt sich exp(tA)nicht mehr als Reihe definieren, es stellt sich aber die Frage, ob dennoch zu dem Operator Aein geeigneter Ersatz U(t) für exp(tA) existiert. Das weitere Vorgehen läßt sich daher wie folgtskizzieren:• Klären, was ein geeignetes U ist −→ C 0 -Halbgruppen,

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN47• Zusammenhang zwischen U und A −→ Erzeuger von C 0 -Halbgruppen,• Wann ist A Erzeuger einer C 0 -Halbgruppe? −→ Charakterisierungssatz von Hille-Yosida.Definition 6.5 (C 0 -Halbgruppe, Kontraktionshalbgruppe). Eine C 0 -Halbgruppe ist eine FamilieU ∈ L(X) R ≥0mit den folgenden Eigenschaften:(i) U(0) = Id X ,(ii) ∀ t, s ∈ R ≥0 : U(t + s) = U(t)U(s),(iii) Für alle x ∈ X ist U(·)x : R ≥0 → X, t ↦→ U(t)x stetig.U heißt C 0 -Halbgruppe von Kontraktionen oder kurz Kontraktionshalbgruppe, falls zusätzlichgilt:(iv) ∀ t ∈ R >0 : ‖U(t)‖ ≤ 1.Wir werden die Beweise in der Regel zur Vereinfachung nur für lokal beschränkte C 0 -Halbgruppen,also insbesondere für Kontraktionshalbgruppen, führen. Ein erstes Beispiel ist die folgende Abschwächungder Stetigkeitsforderung (iii):Bemerkung 6.6. Sei U ∈ L(X) R ≥0eine lokal beschränkte Familie von Operatoren, die (i) und(ii) aus Definition 6.5 erfüllen. Dann folgt (iii) aus der folgenden Abschwächung:(iii)’ Für alle x ∈ X ist U(·)x : R ≥0 → X, t ↦→ U(t)x stetig in 0, also U(t)x → x für t ↘ 0.Beweis. Es gelte (iii)’. Sei t ∈ R >0 . Wähle h 0 ∈ ]0, t[ mit M := sup |h|

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN48Beispiele 6.9. (1) Sei A ∈ L(X) und U(t) := exp(tA) für alle t ∈ R ≥0 . Dann ist U eine C 0 -Halbgruppe mit Erzeuger A.(2) Sei X = L 2 (R n ). Wir werden im folgenden uns der üblichen Konvention anschließen,Restklassen und Repräsentanten zu identifizieren, wo dies zu keinen Unklarheiten führt. Sei1h t (x) = exp ( )− ‖x‖2(4πt) n/2 4t der Wärmeleitungskern. Definiere U(t) := ht ∗ f für alle t ∈ R >0und f ∈ L 2 (R n ) sowie U(0) := Id L2 (R n ). Dann ist U eine Kontraktionshalbgruppe, die sogenannteWärmeleitungshalbgruppe auf L 2 (R n ).Beweis. Wir bemerken zunächst, daß die Familie (h t ) t>0 wegen ∫ h 1 = 1 und h t 2 = 1 (th ·n 1 t)füralle t ∈ R >0 nach Beispiel 3.24 (h t ) t>0 eine approximierende Eins ist.Nach der Youngschen Ungleichung 3.19 (3) gilt ‖U(t)f‖ 2 = ‖h t ∗ f‖ 2 ≤ ‖h t ‖ 1 ‖f‖ 2 für allef ∈ L 2 (R n ), wegen ‖h t ‖ 1 = ∫ h t = 1 folgt daher U(t) ∈ L(L 2 (R n )) mit ‖U(t)‖ ≤ 1.Nach Definition gilt U(0) = 0. Seien t, s ∈ R >0 0. Dann gilt für alle ξ ∈ R nĥ t+s (ξ) = exp(−(t + s)‖ξ‖ 2 ) = exp(−t‖ξ‖ 2 ) exp(−s‖ξ‖ 2 ) = ĥt · ĥs(ξ) = ĥ t ∗ h s (ξ),also nach dem Fourierumkehrsatz 3.7 auch h t+s = h t ∗ h s . Damit folgt für alle f ∈ SU(t + s)f = h t+s ∗ f = (h t ∗ h s ) ∗ f = h t ∗ (h s ∗ f) = U(t)U(s)f,und da U(t + s), U(t)U(s) stetig sind und S dicht in L 2 (R n ), gilt dies auch für alle f ∈ L 2 (R n ).Da (h t ) t>0 eine approximierende Eins ist, folgt schließlich für alle f ∈ L 2 (R n )in L 2 (R n ).U(t)f = h t ∗ f → f für t → 0Es stellt sich die Frage, wie der Erzeuger von U aussieht. Nach unseren bisherigen Erkenntnissenerwarten wir, daß A = ∆ ist, wobei zunächst unklar ist, wie der Definitionsbereich D(∆) aussieht.Wir zeigen aber zumindest das folgende Teilergebnis:S n ⊆ D(A) und Af = ∆f für alle f ∈ S n .Beweis. Sei f ∈ S n und x ∈ R n . Da h t ∗f Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist, ist t ↦→ h t ∗f(x)differenzierbar mit∂ t (h t ∗ f)(x) = ∆(h t ∗ f)(x) = h t ∗ (∆f)(x) → ∆f(x) für t → 0,also gilt punktweiseU(t)f − f(x) = h t ∗ f(x) − f(x)→ ∆f(x) für t → 0.ttUm auch die Konvergenz in L 2 (R n ) nachzurechnen, verwenden wir die Fouriertransformation.Nach der Plancherel-Formel 3.14 gilt‖ h ( )t ∗ f − f− ∆f‖ 2 = (2π) −n/2 ht ∗ f − f‖F− ∆f ‖ 2 .tt

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN49Definiere die Hilfsfunktion ψ(z) := ez −1zein, daß ψ(z) ∈ [−1, 0] gilt für alle z ∈ R ≤0 . Weiter gilt für alle ξ ∈ R n(ht ∗ f − fF− ∆ft− 1 = ∑ ∞n=1)(ξ) = ĥt(ξ) · ̂f(ξ) − ̂f(ξ) − (−ξ 2 )t̂f(ξ) == ψ(−tξ 2 ) · g(ξ).z n(n+1)!für alle z ∈ C. Dann sieht man leicht(e −tξ2 − 1−tξ 2 − 1)· (−ξ 2 ) ̂f(ξ) } {{ }g(ξ):=Es folgt ψ(−tξ 2 ) · g(ξ) −→ 0 punktweise für t → 0. Außerdem ist |ψ(−tξ 2 ) · g(ξ)| ≤ |g(ξ)|, undwegen f ∈ S ist g ∈ L 2 (R n ) eine Majorante in L 2 (R n ), also folgt ‖ ht∗f−ft− ∆f‖ 2 → 0 fürt → 0.Eine Analyse des obigen Beweises zeigt, daß auch alle f ∈ L 2 (R n ) mit −ξ 2 f ∈ L 2 (R n ) in D(A)liegen. Tatsächlich kann man zeigen, daß D(A) gleich dem sogenannten Sobolevraum W 2 2 (Rn ) ={f ∈ L 2 (R n ) | − ξ 2 f ∈ L 2 (R n )} ist.Generalvoraussetzung 6.10. Im folgenden sei U ∈ L(X) R ≥0 eine lokal beschränkte C 0-Halbgruppe.Satz 6.11 (Differenzierbarkeitseigenschaften von U). Sei x ∈ D(A). Dann gilt für alle t ∈ R ≥0(1) U(t)x ∈ D(A), und es gilt AU(t)x = U(t)Ax,(2) Die Abbildung U(·)x : R ≥0 → X ist stetig differenzierbar mit ( U(·)x ) ′ (t) = AU(t)x.Beweis. (1) Es gilt:U(s)(U(t)x) − U(t)xs=U(s + t)x − U(t)xsfür s → 0, da U(t) ∈ L(X) ist. Also ist U(t)x ∈ D(A), und es giltU(s)(U(t)x) − U(t)xAU(t)x = lim= U(t)Ax.s→0 s( U(s)x − x)= U(t)−→ U(t)Ax,} {{ s }s→0−→Ax(2) Für t = 0 folgt die Behauptung aus der Definition des Erzeugers, sei also t > 0. Wähleh 0 ∈ ]0, t[ mit M := sup |h|

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN50Es folgtU(t ± h)x − U(t)x±h− U(t)Ax −→ 0 für t → 0,also ist U(.)x differenzierbar in t mit ( U(·)x ) ′ (t) = AU(t)x. Da U(·)(Ax) stetig ist, ist damitU(·)x auch stetig differenzierbar.Damit sind bereits alle Voraussetzungen geschaffen, um einen Existenz- und Eindeutigkeitssatzfür das abstrakte Cauchy-Problem (6.1) zu formulieren.Satz 6.12 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz für das abstrakte Cauchy-Problem). Sei A : X ≥D(A) → X ein linearer Operator, der die C 0 -Halbgruppe U erzeugt. Dann existiert zu jedemx ∈ D(A) genau eine Lösung u ∈ C 1 (R ≥0 , X) des abstrakten Cauchy-Problemsu ′ (t) = Au(t),u(0) = x,(6.2)und diese ist gegeben durch u = U(·)x.Beweis. Existenz. Nach Satz 6.11 ist u := U(·)x eine Lösung von (6.2).Eindeutigkeit. Sei v eine weitere Lösung (6.2). Sei t ∈ R >0 . Definiereϕ : [0, t] → X, s ↦→ U(t − s)v(s).Dann sieht man leicht ein, daß ϕ differenzierbar ist, und es giltϕ ′ (s) = −AU(t − s)v(s) + U(t − s)Av(s) = 0.Also ist ϕ konstant, und es folgt v(t) = ϕ(t) = ϕ(0) = U(t)u(0) = U(t)x = u(t).Es stellt sich damit die Frage, wie man einem Operator A ansehen kann, ob A eine C 0 -Halbgruppeerzeugt. Es wird sich zeigen, daß A im allgemeinen zwar kein beschränkter, aber stets ein abgeschlossenerOperator ist. Dies motiviert den folgenden kurzenEinschub: abgeschlossene OperatorenDefinition 6.13 (abgeschlossener Operator). Sei A : X ≥ D(A) → X ein linearer Operator. Aheißt abgeschlossen, falls A als Teilraum in X × X abgeschlossen ist, also falls gilt:()∀ x ∈ D(A) N n→∞n→∞∀ x 0 , y 0 ∈ X : x n −→ x 0 ∧ Ax n −→ y 0 ⇒ (x 0 ∈ D(A) ∧ Ax 0 = y 0 ) .Leicht sieht man die folgendeBemerkung 6.14. Sei A : X ≥ D(A) → X ein stetiger linearer Operator. Dann giltA abgeschlossen ⇐⇒ D(A) abgeschlossen .

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN51Beweis. ”⇒ “Sei A abgeschlossen. Seien x ∈ D(A) N und x 0 ∈ X mit x n −→ x 0 für n → ∞. DaA stetig ist, ist A◦x eine Cauchy-Folge, setze also y 0 := lim n→∞ Ax n . Aus der Abgeschlossenheitvon A folgt dann insbesondere x 0 ∈ D(A).” ⇐ “Sei D(A) abgeschlossen. Seien x ∈ D(A)N und x 0 , y 0 ∈ X mit x n −→ x 0 und Ax n → y 0für n → ∞. Wegen der Abgeschlossenheit von D(A) ist x 0 ∈ D(A), wegen der Stetigkeit von Afolgt daher y 0 = lim n→∞ Ax n = Ax 0 .Im Fall, daß D(A) abgeschlossen ist, folgt aus der Stetigkeit von A also die Abgeschlossenheit.Ein tiefliegender Satz der Funktionalanalysis, den wir ohne Beweis zitieren, sagt aus, daß auchdie Umkehrung richtig ist.Satz 6.15 (Graphensatz). Sei A : X ≥ D(A) → X ein linearer Operator und D(A) abgeschlossen.Dann giltA stetig ⇐⇒ A abgeschlossen .Beweis. siehe [We00], Theorem IV.4.5.Ist D(A) nicht abgeschlossen, so folgt aus der Abgeschlossenheit im allgemeinen nicht die Stetigkeitvon A. Diese Situation trifft in der Regel für Differentialoperatoren zu. Wir bringen dazuein einfachesBeispiel 6.16. Setze X := C([0, 1]), D(A) := C 1 ([0, 1]) und definiere A : D(A) → X, f ↦→ f ′ .Dann ist A abgeschlossen, aber nicht stetig.Beweis. Definiere f n := cos(n·)| [0,1] . Dann ist ‖f n ‖ ∞ = sup t∈[0,1] | cos(nt)| = 1 für alle n ∈ N,aber ‖Af n ‖ ∞ = ‖f ′ n‖ ∞ = sup t∈[0,1] |n sin(nt)| = n → ∞ für n → ∞. Also ist A nicht stetig.Ist hingegen f ∈ C 1 ([0, 1]) N und sind f 0 , g 0 ∈ C([0, 1]) so, daß f gleichmäßig gegen f 0 und (f ′ n) n∈Ngleichmäßig gegen g 0 konvergiert, so gilt nach einem Satz der Analysis schon f 0 ∈ C 1 ([0, 1]) undf ′ 0 = g 0. Also ist A abgeschlossen.Ein näheres Studium des abgeschlossenen Operators A erfolgt über die sogenannte Resolventenmenge(im endlich-dimensionalen Fall ist dies die Menge der Nicht-Eigenwerte) und die Resolventenabbildung.Definition/Bemerkung 6.17 (Resolventenmenge, Resolvente und Resolventenabbildung). SeiA : X ≥ D(A) → X ein abgeschlossener Operator.(i) ρ(A) := {λ ∈ K | λ Id X −A : D(A) → X ist bijektiv} heißt die Resolventenmenge von A.(ii) Nach dem Graphensatz ist R(λ, A) := (λ Id X −A) −1 ∈ L(X) für alle λ ∈ ρ(A).(iii) Die Operatoren R(λ, A) für λ ∈ ρ(A) nennt man Resolventen von A, und die AbbildungR(·, A) : C ⊇ ρ(A) → L(X), λ ↦→ R(λ, A)heißt Resolventenabbildung.

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN52Satz 6.18 (Resolventengleichung). Sei A ein abgeschlossener Operator, und seien λ, µ ∈ ρ(A).Dann giltR(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A).Insbesondere gilt R(λ, A)R(µ, A) = R(µ, A)R(λ, A).Beweis. Es giltR(λ, A) − R(µ, A) = R(λ, A)(µ Id X −A)R(µ, A) − R(λ, A)(λ Id X −A)R(µ, A)= R(λ, A)((µ Id X −A) − (λ Id X −A) )R(µ, A)} {{ }=(µ−λ) Id X= (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A).Nach diesem Einschub kehren wir zurück zur Theorie der Halbgruppen und Ihrer Erzeuger.Satz 6.19 (Eigenschaften des Erzeugers). Sei A der Erzeuger von U. Dann gilt(1) Der Definitionsbereich D(A) ist dicht in X,(2) A ist ein abgeschlossener Operator.Beweis. (1) Sei x ∈ X. Setze x h := ∫ h0 U(t)x dt für alle h ∈ R >0. Da U(·)x stetig ist, gilt1h x h −→ U(0)x = x für h ↘ 0,also reicht es, x h ∈ D(A) für alle h ∈ R >0 zu zeigen. Dies folgt ausU(s)x h − x hs= 1 s= 1 s= 1 s= 1 s∫ h0∫ s+hs∫ s+hh∫ s0U(t + s)x dt − 1 sU(t)x dt − 1 sU(t)x dt − 1 s∫ h0∫ h0∫ s0U(t)x dtU(t)x dtU(t)x dt(U(h + t)x − U(t)x) dt → U(h + 0)x − U(0)x = U(h)x − xfür s → 0. Nach Definition des Erzeugers ist daher x h ∈ D(A).(2) Seien x ∈ D(A) N und x 0 , y 0 ∈ X mit x n → x 0 und Ax n → Ax 0 für n → ∞. Zu zeigen istx 0 ∈ D(A) und Ax 0 = y 0 . Nach Satz 6.11 und dem Hauptsatz giltU(t)x n − x n =∫ t0(U(·)x n ) ′ (s) ds =∫ t0U(s)Ax n dsfür alle t ∈ R >0 , n ∈ N. Da einerseits U(t)x n −x n → U(t)x 0 −x 0 und andererseits ∫ t0 U(s)(Ax n) ds →∫ t0 U(s)y 0 ds für n → ∞ gilt, folgt U(t)x 0 − x 0 = ∫ t0 U(s)y 0 ds, alsoU(t)x 0 − x 0t= 1 t∫ t0U(s)y 0 ds → U(0)y 0 = y 0 für t → 0.Nach Definition des Erzeugers ist daher x 0 ∈ D(A) und Ax 0 = y 0 .

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN53Satz 6.20 (Resolventen des Erzeugers). Sei A der Erzeuger der Kontraktionshalbgruppe U.Dann gilt R >0 ⊆ ρ(A), und für alle λ ∈ R >0 giltR(λ, A) =∫ ∞Insbesondere gilt ‖R(λ, A)‖ ≤ 1 λ .0e −λt U(t) dt. (6.3)Beweis. Sei λ ∈ R >0 . Wegen |U| ≤ 1 existiert das Integral R λ := ∫ ∞0e −λt U(t) dt, und es gilt‖R λ ‖ ≤∫ ∞Sei x ∈ X. Dann gilt:0U(h)R λ x − R λ xhe −λt dt = − 1 λ e−λt∣ ∣ ∞ 0 = 1 λ .= 1 ( ∫ ∞e −λt U(t + h)x dt −h 0= 1 ( ∫ ∞e −λ(s−h) U(s)x ds −h= − 1 hh∫ h0e −λ(t−h) U(t)x dt + 1 h∫ h= −e λh · 1 e −λt U(t)x dth 0} {{ }→e −λ0 U(0)x=x→ −x + λR λ x für h ↘ 0.Also ist R λ x ∈ D(A) und AR λ x = −x + λR λ x, also(λ Id X −A)R λ x = x.∫ ∞0∫ ∞0∫ ∞0+ eλh − 1h } {{ }→λe λ0e −λt U(t)x dt )e −λt U(t)x dt )Subst. s := t + h(e −λ(t−h) − e −λt )U(t)x dt∫ ∞e −λt U(t)x dt0} {{ }=R λ xSei nun x ∈ D(A). Wir verwenden die folgende leicht zu verifizierende Tatsache:Ist B : X ≥ D(B) → X ein abgeschlossener Operator und f : Ω → X integrierbar auf demMaßraum (Ω, µ) mit f(Ω) ⊆ D(B) so, daß auch B ◦ f integrierbar ist, so ist ∫ f dµ ∈ D(B),und es gilt B ∫ f dµ = ∫ B ◦ f dµ.Damit folgtAR λ x = AAlso gilt auch∫ ∞0e −λt U(t)x dt =∫ ∞0e −λt AU(t)x dt 6.11 =∫ ∞0e −λt U(t)Ax dt = R λ Ax.R λ (λ Id X −A)x = λR λ x − R λ Ax = λR λ x − AR λ x = (λ Id X −A)R λ x = x.Damit ist insgesamt gezeigt, daß λ Id X −A invertierbar ist mit (λ Id X −A) −1 = R λ , also istλ ∈ ρ(A) und R(λ, A) = R λ .Die Sätze 6.19 und 6.20 liefern notwendige Bedingungen dafür, daß ein Operator Erzeuger einerKontraktionshalbgruppe ist. Der folgende zentrale Satz sagt aus, daß diese Bedingungen auchhinreichend sind.

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN54Satz 6.21 (Satz von Hille-Yosida für Kontraktionshalbgruppen). Sei A ein Operator in X.Dann sind äquivalent:(1) A erzeugt eine Kontraktionshalbgruppe,(2) A ist dicht definiert und abgeschlossen, und es giltR >0 ⊆ ρ(A) und ‖R(λ, A)‖ ≤ 1 λ für alle λ ∈ R >0. (6.4)Beweis. Wir geben an dieser Stelle nur die Beweisidee an, für die Details siehe [We00], TheoremVII.4.11. oder [Pa83], Theorem 1.3.1.1. Konstruiere eine Familie (A λ ) λ>0 beschränkter Operatoren, die A in folgendem Sinn approximieren:A λ x λ→∞ −→ Axfür alle x ∈ D(A).2. Definiere U λ (t) := exp(tA) und zeige, daß die Familie (U λ ) λ>0 für λ → ∞ lokal gleichmäßigkonvergiert. Die dadurch erklärte Grenzfunktion U 0 := lim λ→∞ U λ ist eine Kontraktionshalbgruppe.3. Zeige, daß A der Erzeuger von U ist.In der für uns relevanten Situation, in der A eine geeignete Realisierung eines Differentialoperatorssein wird, ist es notwendig, nicht nur Kontraktionshalbgruppen zu betrachten. Dahermachen wir zunächst die folgende Beobachtung: Sei U eine Kontraktionshalbgruppe mit ErzeugerA, und sei ω ∈ R. Dann ist offenbar auch V := e ω· U(·) eine C 0 -Halbgruppe mit ‖V (t)‖ ≤ e ωtfür alle t ∈ R ≥0 . Außerdem gilt offenbar für alle x ∈ XV (·)x diffbar in 0⇐⇒ U(·)x = e −ω·V (·)x diffbar in 0 x ∈ D(A),und in diesem Fall ist(V (·)x) ′ (0) = ωe ω0 U(0)x + e ω0 U(0)Ax = ωx + Ax,also ist ω + A der Erzeuger von V .Definition 6.22 (ω-Kontraktionshalbgruppe). Sei ω ∈ R. Eine C 0 -Halbgruppe U heißt ω-Kontraktionshalbgruppe, falls ‖U(t)‖ ≤ e ωt für alle t ∈ R ≥0 ist.Die obigen Beobachtungen führen zu der folgendenBemerkung 6.23. Sei ω ∈ R und V eine C 0 -Halbgruppe sowie A ein Operator in X. Dann giltV ist ω-Kontraktionshalbgruppe ⇐⇒ e −ω·V (·) ist Kontraktionshalbgruppe ,und in diesem Fall giltA erzeugt V ⇐⇒ A − ω erzeugt e −ω·V (·).

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN55Hiermit erhält man leicht die folgende Verallgemeinerung des Satzes von Hille-Yosida.Satz 6.24 (Satz von Hille-Yosida für ω-Kontraktionshalbgruppen). Sei A ein dicht definierterOperator in X und ω ∈ R. Dann sind äquivalent:(1) A erzeugt eine ω-Kontraktionshalbgruppe,(2) A ist abgeschlossen, und es giltR >ω ⊆ ρ(A) und ‖R(λ, A)‖ ≤ 1λ − ω für alle λ ∈ R >ω. (6.5)Beweis. Dies folgt leicht aus dem Satz von Hille-Yosida für Kontraktionshalbgruppen 6.21 zusammenmit Bemerkung 6.23 und wird daher dem Leser zur Übung überlassen.In Hinblick auf die von uns geplante Anwendung bringen wir schließlich noch eine Variante desSatzes von Hille-Yosida für den Spezialfall, daß der zugrunde liegende Banachraum sogar einHilbertraum ist.Satz 6.25 (Satz von Hille-Yosida für ω-Kontraktionshalbgruppen in Hilberträumen). Seien Hein Hilbertraum, A ein dicht definierter Operator in H und ω ∈ R. Dann sind äquivalent:(1) A erzeugt eine ω-Kontraktionshalbgruppe,(2) A ist abgeschlossen, und es gilt(i) ∀ x ∈ D(A) : Re〈Ax|x〉 ≤ ω‖x‖ 2 ,(ii) ∀ λ ∈ R >ω : Bild(λ Id X −A) = X.Beweis. Indem man A durch A − ω ersetzt, kann man nach Bemerkung 6.23 o.B.d.A ω = 0annehmen. Außerdem halten wir für beide Beweisrichtungen vorab fest, daß für alle λ ∈ R undx ∈ D(A) gilt‖λx − Ax‖ 2 = 〈λx − Ax|λx − Ax〉 = λ 2 ‖x‖ 2 − λ〈Ax|x〉 − λ 〈x|Ax〉 +‖Ax‖ 2} {{ }=〈Ax|x〉= λ 2 ‖x‖ 2 − 2λ Re〈Ax|x〉 + ‖Ax‖ 2 . (∗)” ⇒ “: Sei also A der Erzeuger einer Kontraktionshalbgruppe. Sei λ ∈ R >0. Nach dem bereitsgezeigtem Satz von Hille-Yosida 6.21 ist la ∈ ρ(A), also ist λ Id X −A bijektiv und damit insbesonderesurjektiv, also gilt (ii). Sei nun x ∈ D(A). Wiederum nach dem Satz von Hille-Yosidagilt dannλ‖x‖ = λ‖R(λ, A)(λx − Ax)‖ ≤ λ‖R(λ, A)‖ ‖λx − Ax‖ ≤ ‖λx − Ax‖,} {{ }≤1nach (∗) gilt daher2λ Re〈Ax|x〉 = −‖λx − Ax‖ 2 + λ 2 ‖x‖ 2} {{ }≤‖λx−Ax‖ 2 +‖Ax‖ 2 ≤ ‖Ax‖ 2 .

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN56Es folgt Re〈Ax|x〉 ≤ 12λ ‖Ax‖2 für alle λ ∈ R >0 , also ist Re〈Ax|x〉 ≤ 0.⇐ “: Es gelten (i) und (ii). Es reicht zu zeigen, daß die Bedingungen des Satzes von Hille-Yosida”6.21 erfüllt werden. Sei also λ ∈ R >0 . Nach (∗) und (i) gilt dann für alle x ∈ D(A)‖λx − Ax‖ 2 = λ 2 ‖x‖ 2 − 2λ Re〈Ax|x〉 +‖Ax‖ 2 ≥ λ 2 ‖x‖ 2 + ‖Ax‖ 2 ≥ λ 2 ‖x‖ 2 .} {{ }(i)≤0Also ist λ Id X −A injektiv und nach (ii) auch surjektiv, folglich ist λ ∈ ρ(A). Außerdem folgtfür alle y ∈ X mit x := R(λ, A)y ∈ D(A):‖R(λ, A)y‖ = ‖x‖ ≤ 1 λ ‖(λ − A)x‖ = 1 λ ‖y‖.

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN576.3 Anwenden auf elliptische Operatoren 2. Ordnung in L 2 (R n )Generalvoraussetzung 6.26. Sei n ∈ N fest. Zur einfacheren Formulierung beschränken wiruns in diesem Abschnitt auf den Fall K = R. Wie schon zuvor bedienen wir uns außerdem derüblichen Konvention, Restklassen in L 2 (R n ) und Repräsentanten aus L 2 (R n ) zu identifizieren,sofern dies zu keinen Problemen führt.Auch wenn viele Argumente in diesem Abschnitt gültig bleiben, wenn man R n durch ein GebietΩ ⊆ R n ersetzt, werden wir der Einfachheit halber hier nur den Fall Ω = R n betrachten, umtechnische Komplikationen zu vermeiden.L sei ein formaler Differentialoperator in der sogenannten DivergenzformLu := −n∑j,k=1∂ k (a jk ∂ j u) +n∑b j ∂ j u + cuj=1mit a jk = a kj ∈ C 1 (R n ) ∩ L ∞ (R n ) mit ∂ m a kj ∈ L ∞ (R n ) und b j , c ∈ L ∞ (R n ) für alle j, k, m ∈N ≤n . Es wird sich später zeigen, daß diese Darstellung von L besser geeignet ist als die bisherige.Sie läßt sich aber leicht in die bisherige Form überführen, da formal nach der Kettenregel giltLu =n∑(−a jk )∂ k ∂ j u +j,k=1n∑ (n∑ )− ∂ k a jk + b j ∂j u + cu.j=1k=1Außerdem sei L gleichmäßig stark elliptisch, das heißt, es gebe ein θ ∈ R >0 so, daß gilt∀ x ∈ Ω ∀ ξ ∈ R n :n∑j,k=1a jk (x)ξ j ξ k ≥ θ‖ξ‖ 2 . (6.6)Im folgenden soll der Operator A := −L auf einem geeigneten Definitionsbereich D(A) ≤ L 2 (R n )definiert werden, um anschließend mit Hilfe des Satzes von Hille-Yosida zu zeigen, daß dieserOperator A eine C 0 -Halbgruppe erzeugt. Mit dem Lösungssatz 6.12 für das abstrakte Cauchy-Problem erhält man dann für die parabolische Gleichung∂ t u(t, x) = −u(0, x) = g(x)n ∑j,k=1∑∂ k (a jk ∂ j u)(x) + n b j (x)∂ j u(x) + c(x)u(x),j=1die folgende Existenz- und Eindeutigkeitsaussage:∀ g ∈ D(A) ∃ 1 u ∈ C 1 (R ≥0 , L 2 (R n )) : u ′ = −Lu ∧ u(0) = g. (6.7)Als erstes ist klären, was ein geeigneter Definitionsbereich für A ist. Es zeigt sich, daß dies genaudiejenigen Elemente aus L 2 (R n ) sind, die im schwachen (L 2 )-Sinne zweimal differenzierbar sind.Dafür betrachten wir zunächst die folgende Motivation:Ist u ∈ S ⊆ L 2 (R n ) und v ∈ L 2 (R n ) sowie α ∈ N n 0 , so erhält man mit partieller Integration∫∫∂ α u = v ⇐⇒ ∀ ϕ ∈ C0 ∞ (R n ) : 〈v|ϕ〉 L2 = ∂ α u · ϕ = (−1) |α| u · ∂ α ϕ = (−1) |α| 〈u|∂ α ϕ〉 . L 2Dies motiviert die folgende

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN58Definition/Bemerkung 6.27 (schwache Ableitung). Sei u ∈ L 2 (R n ) und α ∈ N n 0 . Wir sagen,u besitzt eine α-te schwache Ableitung (in L 2 (R n )), falls ein v ∈ L 2 (R n ) existiert so, daß für alleϕ ∈ C0 ∞(Rn ) gilt〈v|ϕ〉 L2 = (−1) |α| 〈u|∂ α ϕ〉 . L 2Da C ∞ 0 (Rn ) in L 2 (R n ) dicht liegt, ist dieses v eindeutig bestimmt, und wir nennen ∂ α u := vdie α-te schwache Ableitung von u. Wir verwenden daher auch die Sprechweise ∂ α u existiert (inL 2 (R n )).Mithilfe partieller Integration kann man zeigen, daß sich viele bekannte Regeln der Differentialrechnungauf die schwachen Ableitungen übertragen lassen, vgl. hierzu etwa [Ev98], Abschnitt5.2. Insbesondere bilden die bis zu einer bestimmten Ordnung schwach differenzierbaren Funktioneneinen Untervektorraum von L 2 (R n ).Definition 6.28 (Sobolev-Räume). Sei m ∈ N 0 . Wir definierenH m (R n ) := {u ∈ L 2 (R n ) | ∀ α ∈ N n 0 , |α| ≤ m : ∂α u existiert in L 2 (R n )},( ∑ ) 1/2‖u‖ H m :=|α|≤m ‖∂α u‖ 2 L 2für alle u ∈ H m (R n ).(Im Fall m = 1 ist die Sobolev-Norm ‖u‖ H 1 = ‖u‖ 2 L 2+ ∑ ) 1/2nj=1 ‖∂ ju‖ 2 L 2 offenbar äquivalentzu der von uns im folgenden verwendeten Norm⎛⎞1/2n∑‖u‖ 1 := ‖u‖ L2 + ⎝ ‖∂ j u‖ 2 ⎠L 2= ‖u‖ L2 + ‖∇u‖ L2 .j=1Die folgende Aussage läßt sich leicht verifizieren:Satz 6.29. Für alle m ∈ N 0 ist (H m (R n ), ‖ · ‖ H m) ein Hilbertraum mit Skalarprodukt (u, v) ↦→∑|α|≤m 〈∂α u | ∂ α v〉 L2 .Beweis. siehe [Ev98], Anschnitt 5.2, Theorem 2.Für jedes u ∈ H 2 (R n ) läßt sich damitLu = −n∑j,k=1∂ k (a jk ∂ j u) +n∑b j ∂ j u + cuj=1im schwachen Sinn definieren, wir setzen daherD(A) := H 2 (R n ).Für den so definierten Operator A im Hilbertraum L 2 (R n ) sollen nun die Bedingungen (i)und (ii) des Satzes von Hille-Yosida 6.25 verifizieren. Dazu muß für u, v ∈ D(A) = H 2 (R n )der Ausdruck 〈Au | u〉 = −〈Lu | u〉 L2 untersucht werden. Man kann leicht zeigen, daß auch für

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN59schwache Ableitungen in H 1 (R n ) immer noch die Formel für partielle Integration gilt. Damitfolgt für alle u ∈ H 2 (R n ), v ∈ H 1 (R n ):∫ ⎛ ⎞n∑n∑〈Lu | v〉 L2 = ⎝− ∂ k (a jk ∂ j u) · v + b j ∂ j u · v + cu · v⎠=part. Int.==n∑j,k=1n∑j,k=1∫ ⎛ ⎝∫−∫j,k=1n∑j,k=1j=1∂ k (a jk ∂ j u) · v +∫ ⎛ ⎝a jk ∂ j u · ∂ k v +∫ ⎛ ⎝a jk ∂ j u · ∂ k v +⎞n∑b j ∂ j u · v + cu · v⎠j=1⎞n∑b j ∂ j u · v + cu · v⎠j=1⎞n∑b j ∂ j u · v + cu · v⎠ .Offensichtlich läßt der letzte Ausdruck auch noch für u, v ∈ H 1 (R n ) formulieren.Definition/Bemerkung 6.30 (zu L gehörige Form). Definiere die Bilinearform B auf H 1 (R n )durch∫ ⎛ ⎞n∑n∑B L (u, v) := ⎝ a jk ∂ j u · ∂ k v + b j ∂ j u · v + cu · v⎠ für alle u, v ∈ H 1 (R n ).j,k=1j=1B := B L heißt die zu L gehörige Form. Ist u ∈ H 2 (R n ) und v ∈ H 1 (R n ), so gilt nach dem obenGezeigtem B(u, v) = 〈Lu | v〉.Zentrales Hilfsmittel zum Herleiten der Bedingungen aus dem Satz von Hille-Yosida ist derfolgendeSatz 6.31 (Gårdingsche Ungleichung). Es gibt α, β ∈ R >0 und ω ∈ R ≥0 so, daß für alleu, v ∈ H 1 (R n ) gilt(1) |B(u, v)| ≤ α‖u‖ 1 · ‖v‖ 1 ,(2) β‖u‖ 2 1 ≤ B(u, u) + ω‖u‖2 L 2.Für den Beweis verwenden wir die sogenannte Cauchy-Ungleichung:j=1∀ a, b, ε ∈ R >0 : ab ≤ εa 2 + 1 4ε b2 . (6.8)Beweis von (6.8). Seien a, b, ε ∈ R >0 . Mit der AGM-Ungleichung folgt dannab = √ √b2εa 2 2·2ε ≤ 1 2 · 2εa2 + 1 2 · b22ε = εa2 + 1 4ε b2 .

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN60Beweis der Gårdingschen Ungleichung 6.31. Seien u, v ∈ H 1 (R n ).(1) Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgtn∑∫n∑∫|B(u, v)| ≤ ‖a jk ‖ ∞ |∂ j u| · |∂ k v| + ‖b j ‖ ∞j,k=1} {{ }α 1 :=∫∫≤ α 1 · |∇u| · |∇v| + α 2 ·j=1} {{ }α 2 :=∫|∇u| · |v| + ‖c‖ ∞ ·|∂ j u| · |v| + ‖c‖ ∞∫|u| · |v||u| · |v|≤α 1 · ‖∇u‖ 2 ‖∇v‖ 2 + α 2 · ‖∇u‖ 2 ‖v‖ 2 + ‖c‖ ∞ · ‖u‖ L2 ‖v‖ L2mit α := max{α 1 , α 2 , ‖c‖ ∞ }.≤ α ( ‖u‖ L2 + ‖∇u‖ L2) (‖v‖L2 + ‖∇v‖ L2)= α ‖u‖1 ‖v‖ 1(2) Sei ε ∈ R >0 . Aus der Elliptizitätsbedingung (6.6) angewendet auf den Vektor ξ := ∇u ergibtsich∫∫ n∑∫ ⎛ ⎞n∑∫θ |∇u| 2 ≤ a jk · ∂ j u ∂ k u = B(u, u) − ⎝ b j · ∂ j u v⎠ − cu 2j,k=1≤ B(u, u) +n∑∫‖b j ‖ ∞j=1j=1|∇u| |v| + ‖c‖ ∞∫|u| 2(6.8)≤ B(u, u) + α 2∫ (ε|∇u| 2 + 1 4ε |u|2 )+ ‖c‖ ∞∫= B(u, u) + εα 2∫Wähle nun ε < 1 θα 2 2, dann folgtθ( α2)2 ‖∇u‖2 L 2≤ B(u, u) +4ε + ‖c‖ ∞(|∇u| 2 α2)+4ε + ‖c‖ ∞ ‖u‖ 2 L 2.‖u‖ 2 L 2.Mit β := min{1, θ 2 } und ω := 1 + α 24ε + ‖c‖ ∞ folgt (2).Hieraus folgt für alle u ∈ D(A) = H 2 (R n ):〈Au | u〉 = −〈Lu | u〉 L2 = −B(u, u) ≤ ω‖u‖ 2 L 2− β‖u‖ 2 H 1 ≤ ω‖u‖ 2 L 2, (6.9)also Bedingung (i) aus dem Satz von Hille-Yosida für Hilberträume 6.25. Es bleibt (ii) zu zeigen,also die Surjektivität von A − λ = −(L + λ) für alle λ ∈ R >ω , also ist zu zeigen:∀ f ∈ L 2 (R n ) ∃ u ∈ H 2 (R n ) : Lu + λu = f.Es ist also eine Existenzaussage für die zu L + λ gehörige elliptische Gleichung (L + λ)u = fherzuleiten. Ähnlich wie bei der schwachen Ableitung wollen wir dafür zunächst das Konzepteiner schwachen Lösung von (L + λ)u = f entwickeln. Dafür beobachten wir:(L + λ)u = f ⇐⇒ ∀ v ∈ H 1 (R n ) : 〈(L + λ)u|v〉 L2} {{ }=B(u,v)+λ〈u | v〉 L2= 〈f|v〉 . L 2Wir nehmen dies zum Anlaß für die folgende|u| 2

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN61Definition 6.32 (schwache Lösung der elliptischen Gleichung). Sei f ∈ L 2 (R n ) und λ ∈ R.Dann definiere B λ (u, v) := B(u, v) + 〈u | v〉 L2 für alle u, v ∈ H 1 (R n ). Eine schwache Lösung derelliptischen GleichungLu + λu = fist ein u ∈ H 1 (R n ) mit B λ (u, v) = 〈f | v〉 L2 für alle v ∈ H 1 (R n ).Wir zeigen nun, daß für jedes f ∈ L 2 (R n ) und λ ∈ R >ω eine schwache Lösung der GleichungLu + λu = f existiert. Sei dazu f ∈ L 2 (R n ) und λ ∈ R >ω fest. Dann definiert F (v) := 〈f | v〉 L2wegen|F (v)| = |〈f | v〉 L2 |Cauchy-Schwarz≤ ‖f‖ L2 ‖v‖ L2 ≤ ‖f‖ L2 ‖v‖ 1ein stetiges Funktional auf H 1 (R n ). Nach dem Darstellungssatz von Riesz, angewendet auf denHilbertraum H 1 (R n ) existiert daher ein (eindeutig bestimmtes) w ∈ H 1 (R n ) mit F = 〈· | w〉 H 1.Satz 6.33 (Satz von Lax-Milgram). Sei H ein R-Hilbertraum und b : H × H → R eine Bilinearform.Es gebe α, β ∈ R >0 mit(1) ∀ x, y ∈ H : |b(x, y)| ≤ α ‖x‖ ‖y‖ (Stetigkeit),(2) ∀ x ∈ H : β‖x‖ 2 ≤ b(x, x) (Koerzivität).Dann existiert ein stetiger Isomorphismus T ∈ GL(H) mit∀ x, y ∈ H : b(x, y) = 〈x | T y〉.Beweis. Nach (1) ist die Abbildungb : H → H ′ , y ↦→ b(·, y)stetig. Weiter sei Φ : H → H ′ , y ↦→ 〈·, y〉 der Riesz-Isomorphismus. Definiere T := Φ −1 ◦ b. Dannist T ∈ L(H), und für alle x, y ∈ H gilt〈x | T y〉 = 〈x | Φ −1 (by)〉 = (by)(x) = b(x, y).Es bleibt also zu zeigen, daß T bijektiv ist. Für alle x ∈ H gilt nach (2)alsoβ‖x‖ 2 ≤ b(x, x) = 〈x | T x〉Cauchy-Schwarz≤ ‖T x‖ ‖x‖,β‖x‖ ≤ ‖T x‖.(∗)T injektiv. Aus T x = 0 folgt mit (∗) x = 0. Somit ist T injektiv.T surjektiv. Die Stetigkeit von T zusammen mit (∗) zeigt, daß T (H) vollständig ist, also insbesondereein abgeschlossener Teilraum von H. Sei x ∈ T (H) ⊥ , dann folgt0 = 〈x | T x〉 = b(x, x) (2)≥ β‖x‖ 2 ,also x = 0. Also ist T (H) ⊥ = {0} und damit T (H) = T (H) = H.

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN62Nach der Gårdingschen Ungleichung 6.31 erfüllt die Bilinearform B λ die Voraussetzungen desSatzes von Lax-Milgram, wähle also ein entsprechendes T ∈ L(H 1 (R n )). Dann folgtF (v) = 〈v | w〉 H 1 = B λ (v, T −1 w) = B λ (u, v)mit u := T −1 w. Zusammenfassend beweist dies den folgendenSatz 6.34 (Existenzsatz für schwache Lösungen der elliptischen Gleichung). Sei f ∈ L 2 (R n )und λ ∈ R >ω . Dann existiert eine schwache Lösung der elliptischen GleichungLu + λu = f.Die schwache Lösung u der Gleichung Lu + λu = f ist zunächst nur ein Element von H 1 (R n ).Man kann zeigen, daß in dieser Situation sogar u ∈ H 2 (R n ) ist:Satz 6.35 (elliptische Regularität). Unter der Voraussetzung a ∈ C 1 (R n ) ∩ L ∞ (R n ) und Da ∈L ∞ (R n ) gilt für alle f ∈ L 2 (R n ) und λ ∈ R >ω : Ist u ∈ H 1 (R n ) mit (L + λ)u = f, so folgtu ∈ H 2 (R n ).Beweis. Für beschränkte Gebiete Ω anstelle von R n findet sich dieses Aussage in [Ev98], Abschnitt6.3, Theorem 4. Für einen Beweis der vorliegenden (einfacheren) Situation Ω = R n siehezum Beispiel [EN00], Theorem VI.5.22.Damit ist auch Bedingung (ii) des Satzes von Hille-Yosida erfüllt. Es folgt der zentrale Satzdieses Abschnittes:Satz 6.36. Der Operator A erzeugt eine ω-Kontraktionshalbgruppe in L 2 (R n ). Somit gilt:∀ g ∈ H 2 (R n ) ∃ 1 u ∈ C 1 (R ≥0 , L 2 (R n )) : u ′ = −Lu und u(0) = g. (6.10)Mit diesem Ergebnis schließen wir den kurzen Einblick in die Theorie elliptischer und parabolischerDifferentialgleichungen ab. Als kleinen Ausblick werden im folgenden noch einige weiterführendeErgebnisse notiert, die die bisherigen Resultate ergänzen.• Die bisherigen Ergebnisse stimmen im allgemeinen Fall für alle C 0 -Halbgruppen. Tatsächlicherzeugt A aufgrund der sogenannten Parabolizitätsbedingungsup ‖(λ − ω)R(λ, A)‖ < +∞.λ∈R >ωsogar eine analytische Halbgruppe. Für diese gelten stärkere Resultate als im allgemeinenFall. Zum Beispiel erhält die Analytizität der Lösung u, und die Aussage (6.10) bleibtrichtig für alle g ∈ L 2 (R n ).

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN63• Mithilfe des Sobolevschen Einbettungssatz kann man aus der Existent bestimmter schwacherLösungen wieder die Existenz klassischer Lösungen schließen:Seien m, k ∈ N 0 mit m > k + n 2 . Dann ist [u] ∩ Ck (R n ) ≠ ∅, und die dadurch induzierteEinbettungist stetig.H m (R n ) ↩→ C k (R n )Damit läßt sich zum Beispiel herleiten, daß für Anfangsbedingungen f ∈ S die Lösung derparabolischen Gleichung sogar C ∞ sein muß.

7 STOCHASTISCHE DARSTELLUNG VON LÖSUNGEN PARABOLISCHER GLEICHUNGEN647 Stochastische Darstellung von Lösungen parabolischer GleichungenIn diesem abschließenden Kapitel soll ein kurzer informeller Ausblick auf die stochastische Darstellungvon Lösungen parabolischer Gleichungen und der damit im engen Zusammenhang stehendenFeynman-Kac-Formel gegeben werden.Zur Motivation betrachten wir zunächst wieder die leicht modifizierte Wärmeleitungsgleichung∂ t u = 1 2∆u + c u,u(0, ·) = g(7.1)mit c ∈ R n und g ∈ C(R). Mit dem Kern( )k t (x) := e ct 1(2πt) n/2 exp − ‖x‖22tfür alle (t, x) ∈ R >0 × R ndefiniert u(t, x) := k t ∗ g(x) die eindeutige Lösung von (7.1). In Hinblick auf §6 läßt sich dieseAussage auch so formulieren: In einem geeigneten Banachraum, wie z.B. L 2 (R n ), ist die Lösungshalbgruppegegeben durch den Faltungsoperatore t( 1 2 ∆+c) = k t ∗ ·.) (− ‖x‖22t1Im folgenden sei ϕ 0,t (x) := exp(2πt) n/2Normalverteilung N(0, t) mit Mittelwert 0 und Standardabweichung t. Dann giltu(t, x) = e ct 1(2πt) n/2 ∫∫= e ct 1(2πt)∫n/2= e ct‖y − x‖2exp(−2texp(− ‖z‖22tg(x + z)ϕ 0,t (z) dz.Da W t − W 0 N(0, t)-verteilt ist, folgt damitfür alle (t, x) ∈ R >0 × R n die Dichte der)g(y) dy (Transformationz := y − x))g(x + z) dzu(t, x) = e ct E(g(x + W t − W 0 )) = e ct E(g(W t + (x − W 0 ))) = e ct E(g(W t )|W 0 = x)=: e ct E x (g(W t )).Damit haben wir die folgende stochastische Darstellung der Lösung u gewonnen:u(t, x) = E x (e ct g(W t )).(∗)Dies hat als Ursache, daß der Wienerprozeß (W t ) t≥0 die stochastische DifferentialgleichungdX t = 1 · dW t löst. Im folgenden soll das allgemeine Konzept skizziert werden, daß diesemPhänomen zugrunde liegt.Seien dazu W 1 , . . . , W m Wienerprozesse und X ein (geeigneter) stochastischer Prozeß mit Wertenin R n , der die stochastische DifferentialgleichungdX t = µ(X t ) dt + σ(X t ) dW t

7 STOCHASTISCHE DARSTELLUNG VON LÖSUNGEN PARABOLISCHER GLEICHUNGEN65erfüllt, wobei σ : R n → R n×m und µ : R n → R n vorgegeben seien. Dann heißt der DifferentialoperatorL := 1 2n∑(σσ t ) jk ∂ j ∂ k +j,k=1n∑µ j ∂ jj=1der (formale) Erzeuger von X. Mit der Itô-Formel läßt sich leicht für alle g ∈ C ∞ 0 (Rn ) undx ∈ R n zeigen:E x (g(X t )) − g(x)Lg(x) = lim.t→0 tDies rechtfertigt die Bezeichnung Erzeuger. Unter geeigneten Anforderungen an σ und µ (dieinsbesondere die Elliptizität des Differentialoperators L zur Folge haben) läßt sich als Verallgemeinerungvon (∗) der folgende fundamentale Satz zeigen.Feynman-Kac-Formel. Sei c ∈ C(R n ). Ist u eine Lösung der parabolischen Gleichung∂ t u = Lu + cu,u(0, ·) = g,so besitzt u die Darstellung(∫ t) )u(t, x) = E(expx c(X s ) ds · g(X t ) . (7.2)0Bei Kenntnis des stochastischen Prozesses (X t ) t≥0 kann man mit dieser Formel unter Umständenauch eine explizite Darstellung der Lösung u gewinnen.Als Beispiel hierfür soll zum Abschluß dieses Kapitels gezeigt werden, wie man mithilfe derFeynman-Kac-Formel die Black-Scholes-Formel alternativ herleiten kann. Es sei dazu an dasBlack-Scholes-Modell aus §2 erinnert: Der Preisprozeß (S t ) t≥0 erfüllt die stochastische DifferentialgleichungdS t = rS t dt + σS t dW t .Der Erzeuger von (S t ) t≥0 ist also der Differentialoperator L := 1 2 σ2 x 2 ∂ 2 x + rx∂ x . Die Black-Scholes-Differentialgleichung (nach Zeitumkehr) läßt sich damit schreiben als∂ t u = 1 2 σ2 x 2 ∂xu 2 + rx∂ x u − ru = Lu − ru,u(0, ·) = g.Außerdem wurde gezeigt, daß S t die explizite Darstellung) )S t = exp((r − σ2t + σW t .2

7 STOCHASTISCHE DARSTELLUNG VON LÖSUNGEN PARABOLISCHER GLEICHUNGEN66besitzt. Da W t − W 0 N(0, t)-verteilt ist, folgt daher für die Lösung u mit der Feynman-Kac-Formelu(t, x) = e −rt E x (g(S t )) = e −rt E(g(S t ) | S 0 = x)( () )) ∣∣∣W0= e −rt E g exp((r − σ2t + σW t = log x )2σ( ()) ))= e −rt E g exp((r − σ2t + σ(W t − W 0 ) + log x= e −rt ∫(g exp((r − σ222)) )t + σz + log x ϕ 0,t (z) dz.Durch Substitution gewinnt man hieraus ebenfalls die bereits hergeleitete Darstellung (5.2).

LITERATUR 67Literatur[EN00] Engel, K.-J., Nagel, R.; One-Parameter Semigroups for linear Evolution Equations.Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2000.[Ev98] Evans, L.C.; Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence,Rhode Island, 1998.[Hu96] Hull, J.; Options, Futures and Other Derivative Securities, 3. Auflage. Prentice-Hall,Englewood Cliffs, 1996.[Ir03] Irle, A.; Finanzmathematik, 2. Auflage. Teubner Verlag, Wiesbaden, 2003.[Jo95] John, F.; Partial Differential Equations, 4. Auflage. Springer-Verlag, Berlin HeidelbergNew York, 1995.[Jo98] Jost, J.; Partielle Differentialgleichungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York,1998.[Øk05] Øksendal, B.; Stochastic Differential Equations, 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin HeidelbergNew York, 2005.[Pa83] Pazy, A.; Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial DIfferential Equations,2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1983.[St01] Steele, J.M.; Stochastical Calculus and Financial Applications. Springer-Verlag, BerlinHeidelberg New York, 2001.[We00] Werner, D.; Funktionalanalysis, 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg NewYork, 2000.