Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

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4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN34Der Beweis, daß die Anfangsbedingung erfüllt wird, läßt sich analog wie im Approximationssatzführen: Sei x 0 ∈ R n . Sei δ ∈ ]0, 1[ und x ∈ R n mit ‖x − x 0 ‖ < δ und t ∈ I \{0} mit t ≤ 1 12 4λ ,dann gilt∫1(|u t (x) − g(x 0 )| ≤(4πt) n/2 exp − ‖y‖2 )|g(x − y) − g(x 0 )| dy4t=≤1(4πt) n/2 ∫‖y‖≤δ+π −n/2 ∫sup‖y‖≤δ‖y‖≥ δ2 √ texp(− ‖y‖24t)|g(x − y) − g(x 0 )| dye −‖y‖2 ‖g(x 0 ) − g(x − 2 √ t)y‖ dy|g(x − y) − g(x 0 )| + Cπ −n/2 ∫‖y‖≥ δ2 √ te −‖y‖2 (eλ‖x 0 ‖ 2 + e λ‖x−2√ ty‖ 2 )dy} {{ }Wegen der Stetigkeit von g wird der erste Summand für hinreichend kleines δ beliebig klein.Daher wird im folgenden nur noch der Integralterm I weiter abgeschätzt. Mit M := 1 + ‖x 0 ‖folgt∫( (I ≤ e −‖y‖2 e λ‖x 0‖ 2 + exp λ ‖(x − x 0 ) + x 0 − 2 √ ty‖ 2) ) dy≤=∫∫‖y‖≥ δ2 √ t‖y‖≥ δ2 √ t‖y‖≥ δ2 √ t( (e −‖y‖2 e λ‖x 0‖ 2 + exp λ ( 1 + ‖x 0 ‖ + √ 1 ‖y‖ ) )2)dy2λ( (e −‖y‖2 e λ‖x 0‖ 2 + exp λM 2 + √ 2λM‖y‖ + 1 ) )2 ‖y‖2 dyDamit ist die Funktion unter dem Integral integrierbar und unabhängig von t. Somit wird auchdieser Term beliebig klein für t → 0. Damit ist die Behauptung bewiesen.4.3 Eindeutigkeit von Lösungen und das MaximumsprinzipIm folgenden soll die Frage nach der Eindeutigkeit von Lösungen parabolischer Gleichungengeklärt werden. Das folgende Beispiel, welches [Jo95] entnommen wurde, zeigt, daß ohne weitereVoraussetzungen im allgemeinen keine Eindeutigkeit der Lösung vorliegt.Beispiel 4.17 (Nichteindeutigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung). Sei α ∈ R >1 . Definiere{ exp(−tg(t) :=−α ) für t > 00 für t ≤ 0 .Dann wird durch∞∑(t, x) ↦→m=0g (m) (t)(2m)! x2m (4.6)eine stetige Funktion u : R ≥0 × R → R definiert, die C ∞ im Inneren ist underfüllt.∂ t u = ∆u in R >0 × R,u(0, ·) ≡ 0I:=
4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN35Beweis. Als erstes soll gezeigt werden, daß durch (4.6) eine auf ganz R ≥0 × R konvergentePotenzreihenfunktion definiert wird. Dazu werden die Koeffizienten g(m) (t)(2m)!mit Hilfe der Cauchy-Formel abgeschätzt. Für alle z ∈ C\R ≤0 bezeichne z α := exp(α log(z)) den Hauptzweig derPotenzfunktion, wobei log den Hauptzweig des Logarithmus bezeichnet, und entsprechend werdeg durch z ↦→ exp(−z −α ) zu einer holomorphen Funktion auf C\R ≤0 fortgesetzt. Sei t ∈ R >0 ,und sei r ∈ ]0, 1[ . Durch Integration von g über ∂K C (t, rt) ⊆ C\R ≤0 folgt für alle m ∈ N 0 mitder Cauchyschen Integralformel:|g (m (t)| ==∫m!∣2πi|z−t|=rt∣g(z) ∣∣∣∣(z − t) m+1 dz ≤ m!(rt) m sup | exp(−z −α )||z−t|=rtm!(rt) m sup exp(− Re(z −α )).|z−t|=rtIm folgenden soll das Supremum abgeschätzt werden, das in der obigen Ungleichung auftritt.Sei dazu z ∈ C mit |z − t| = rt, dann existiert ein φ ∈ [−π, π] mit z = t + rte iφ = t(1 + re iφ ).Damit folgt− Re(z −α ) = − Re((t(1 + re iφ )) −α ) = − Re(t −α (1 + re iφ ) −α ) = −t −α Re((1 + re iφ ) −α ).Da durch (ρ, ϕ) ↦→ Re((1 + ρe iϕ ) −α ) eine stetige Abbildung κ : [0, 1/2] × [−π, π] → R mitκ| {0}×[−π,π] ≡ 1 definiert wird, kann man ein r ∈ R >0 wählen mit κ| [0,r]×[−π,π] ≥ 1/2. Für diesesr folgt− Re(z −α ) = −t −α Re((1 + re iφ ) −α ) ≤ − 1 2 t−α .Dies liefert insgesamt als Abschätzung für die Koeffizienten:|g (m (t)| ≤ m! ((rt) m exp − 1 )2 t−α .Sei nun t ∈ R >0 und x ∈ R. Dann gilt:∣∞∑g (m) (t) ∣∣∣∣ ∞∑ |x| 2m(∣ (2m)! x2m ≤(m!) 2 · m!(rt) m exp − 1 )2 t−α =m=0m=0( ) |x|2= exp exp(− 1 )rt 2 t−α = exp(|x| 2r− 12t α−1 ))∞∑1m! ·( ) |x|2 mexp(− 1 )2 t−αrtm=0( ( 1 |x|2t r − 1 ))2t α−1 .(Da die Funktion t ↦→ exp 1tauf ganz R ≥0 beschränkt ist, folgt hieraus, daß fürjede beschränkte Teilmenge B ⊆ R die Reihe (4.6) gleichmäßig auf R ≥0 × B konvergiert undsomit eine stetige Funktion auf R ≥0 × R definiert, für die u| {0}×R ≡ 0 gilt. Da u(t, ·) für festest ∈ R ≥0 eine Potenzreihenfunktion ist, ist u(t, ·) unendlich oft differenzierbar. Für alle k ∈ N 0und (t, x) ∈ R ≥0 × R gilt außerdem:(∂ x ) 2k u(t, x) ==∞∑m=0∞∑j=0g (m) (t)(2m)!g (j+k) (t)(2j))!( ) d 2k(x 2m ) =dxx 2j =∞∑ g (m) (t)(2(m − k))! x2(m−k)m=k∞∑( ( )dkgdt) (j) (t)x 2j(2j)!j=0
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