Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

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7 STOCHASTISCHE DARSTELLUNG VON LÖSUNGEN PARABOLISCHER GLEICHUNGEN66besitzt. Da W t − W 0 N(0, t)-verteilt ist, folgt daher für die Lösung u mit der Feynman-Kac-Formelu(t, x) = e −rt E x (g(S t )) = e −rt E(g(S t ) | S 0 = x)( () )) ∣∣∣W0= e −rt E g exp((r − σ2t + σW t = log x )2σ( ()) ))= e −rt E g exp((r − σ2t + σ(W t − W 0 ) + log x= e −rt ∫(g exp((r − σ222)) )t + σz + log x ϕ 0,t (z) dz.Durch Substitution gewinnt man hieraus ebenfalls die bereits hergeleitete Darstellung (5.2).
LITERATUR 67Literatur[EN00] Engel, K.-J., Nagel, R.; One-Parameter Semigroups for linear Evolution Equations.Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2000.[Ev98] Evans, L.C.; Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence,Rhode Island, 1998.[Hu96] Hull, J.; Options, Futures and Other Derivative Securities, 3. Auflage. Prentice-Hall,Englewood Cliffs, 1996.[Ir03] Irle, A.; Finanzmathematik, 2. Auflage. Teubner Verlag, Wiesbaden, 2003.[Jo95] John, F.; Partial Differential Equations, 4. Auflage. Springer-Verlag, Berlin HeidelbergNew York, 1995.[Jo98] Jost, J.; Partielle Differentialgleichungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York,1998.[Øk05] Øksendal, B.; Stochastic Differential Equations, 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin HeidelbergNew York, 2005.[Pa83] Pazy, A.; Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial DIfferential Equations,2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1983.[St01] Steele, J.M.; Stochastical Calculus and Financial Applications. Springer-Verlag, BerlinHeidelberg New York, 2001.[We00] Werner, D.; Funktionalanalysis, 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg NewYork, 2000.
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