Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 9Stattdessen giltW j = H t j · S j+1 − H t j−1 · S j + H t j−1 · S j − H t j · S j = ∆V j + δ j .Für unsere Zwecke sind solche Handelsstrategien von Interesse, in denen außer zum Anfangsundzum Endzeitpunkt keine Entnahme stattfindet. Wir nennen die Handelsstrategie H daherselbstfinanzierend, falls δ j = 0 ist für alle j ∈ N ≤T −1 . In diesem Fall ergibt sich also:δ 0 = −H t 0 · S 0 Investition in 0,H t j−1 · S j = H t j · S j für j = 1, . . . , T − 1 vollständige Reinvestition in j,V T = H t T −1 · S T Endwert.Außerdem gilt in diesem Fall für alle n ∈ {0, 1, . . . , T } mit den obigen Bezeichnungen:n−1∑V n =j=0n−1∑∆V j = (−δ 0 + W 0 ) +j=1n−1∑W j = H0 t · S 0 +j=0H t j · (S j+1 − S j ).(∗)Im kontinuierlichen Modell sollen nun die diskreten Zeitpunkte j = 0, 1, . . . , T durch den kontinuierlichenZeitparameter t ∈ [0, T ] ersetzt werden. Der Wertprozeß wird dann zu einem kontinuierlichenstochastischen Prozeß (V t ) t∈[0,T ] , und die Gleichung (∗) geht über in eine IntegralgleichungV t = V 0 +∫ t0H τ · dS τ .(∗∗)Die Integralgleichung (∗∗) wird oft auch in differentieller Form alsdV t = H t · dS tnotiert, die in diesem Fall aber nur eine Notation bzw. einen Kalkül für die Gleichung (∗∗)darstellt.Diese heuristischen Überlegungen benötigen also einen Integralbegriff, wobei der Integrator einstochastischer Prozeß ist. Dies führt zur Theorie der stochastischen Integration. Diese in allerAusführlichkeit darzustellen, würde den Rahmen dieser Vorlesung sprengen, daher soll imnächsten Abschnitt nur kurz ein möglicher Zugang skizziert werden.2.4 Das stochastische Integral und die Itô-FormelIn diesem Abschnitt sollen die zentralen Hilfsmittel aus der Theorie der stochastischen Integrationheuristisch dargestellt werden. Dabei sollen nur die zentralen Ideen vermittelt werden,weswegen auf sämtliche technischen Details verzichtet wird. Grundlage für diesen Abschnitt istim wesentlichen die Darstellung in [Øk05].Der stochastische Prozeß S im Black-Scholes Modell soll die Darstellung dS t = µS t dt + σS t dW tbesitzen. Stellt man sich diese Gleichung“ als Gleichheit der entsprechenden Integratoren vor,”so sollte also geltenS t − S 0 =∫ t0dS τ =∫ t0µS τ dτ +∫ t0σS τ dW τ .