Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 23Beweis. Gelte zunächst g ∈ L 1 (R n ). Nach dem Satz von Fubini gilt dann für alle ξ ∈ R n∫∫ ∫̂f ∗ g(ξ) = f ∗ g(x)e −ixξ dx = f(x − y)g(y)e −ixξ dy dx∫ ∫∫ ∫= f(x − y)g(y)e e −iyξ dx dy =} {{ }f(z)e −izξ dz g(y)e −iyξ dy∫z:== ̂f(ξ) g(y)e −iyξ dy = ̂f(ξ) · ĝ(ξ).Gelte nun g ∈ L 2 (R n )\L 1 (R n ). Wähle ϕ ∈ C ∞ 0 (Rn ) N mit ϕ n → g in L 2 (R n ). Da F 2 nach Satz3.14 stetig ist, folgt ̂ϕ n → ĝ in L 2 (R n ). Da außerdem ̂f ∈ C ∞ (R n ) ⊆ L ∞ (R n ) ist, folgt wegenC ∞ 0 (Rn ) ⊆ L 1 (R n ) nach dem bereits bewiesenen Teil̂f ∗ ϕ n = ̂f L· ̂ϕ2n −→ ̂f · ĝ für n → ∞.Andererseits folgt f ∗ ϕ n → f ∗ g in L 2 (R n ) aus dem Stetigkeitssatz für die Faltung 3.19 (3),und damit auchL̂f ∗ ϕ2n −→ ̂f ∗ g für n → ∞.Also ist ̂f ∗ g = ̂f · ĝ in L 2 (R n ).Satz 3.22 (Differenzierbarkeit der Faltung mit Schwartzfunktionen). Sei p ∈ [1, +∞] und seienf ∈ S und g ∈ L p (R n ). Dann ist f ∗ g ∈ C ∞ (R n ), und es gilt∀ α ∈ N n 0 : ∂ α (f ∗ g) = (∂ α f) ∗ g.Beweis. Wir zeigen zunächst, daß f ∗ g stetig ist. Definiere F (x, y) := f(x − y)g(y) für allex, y ∈ R n . Wähle q ∈ [1, +∞] mit 1/p + 1/q = 1, dann ist F (x, ·) wegen f(x − ·) ∈ S ⊆ L q (R n )nach der Hölderschen Ungleichung integrierbar für alle x ∈ R n . Weiter gilt∫f ∗ g(x) = F (x, y) dy.Es reicht daher, für jedes Kompaktum K eine gleichmäßige Majorante für die FunktionenF (x, ·), x ∈ K anzugeben, da dann die Behauptung aus dem Satz über die Stetigkeit parameterabhängigerIntegrale folgt. Sei U die abgeschlossene Kugel mit Radius 2 · sup x∈K ‖x‖,dann ist U kompakt, und für alle x ∈ K und y ∈ R n \U gilt ‖y‖ ≥ 2‖x‖. Da f ∈ S ist, findetman eine Konstante C ∈ R >0 mit∀ z ∈ R n : |f(z)| ≤ C1(1 + ‖z‖) n+1 .Insbesondere ist M := sup{|f(x − y)| | x ∈ K, y ∈ U} < +∞. Für alle x ∈ K und y ∈ R n \U giltaußerdem‖x − y‖ ≥ ∣ ∣ |‖x‖ − ‖y‖∣ ∣ = ‖y‖ − ‖x‖ ≥ ‖y‖ − ‖y‖/2 = ‖y‖/2,also|f(x − y)| ≤ C1(1 + ‖x − y‖) n+1 ≤ C 1(1 + ‖y‖/2) n+1 .