Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

5 DIE BLACK-SCHOLES FORMEL 44(2) Implizite Volatilität: Bei gegenwärtigem Marktpreis p der Option am Markt und den vorliegendenDaten x, t, K löse die Gleichungp(t, x, K, σ) = pnach σ = σ auf.Die zweite Methode liefert in der Praxis die folgende Beobachtung: Obwohl im Black-Scholes-Modell die Volatilität als konstant angenommen wird, ergibt sich beim Berechnen der implizitenVolatilität eine umso höhere Volatilität, je weiter der Aktienpreis x von dem Basispreis K abweicht.Grafik einfügen: Smile-Effekt.Motiviert durch diese Grafik nennt man dieses Phänomen auch den Smile-Effekt.
6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN456 Parabolische Gleichungen 2. Ordnung mit variablen Koeffizienten6.1 EinleitungIm Gegensatz zur Wärmeleitungsgleichung sollen in diesem Kapitel parabolische Gleichungen2. Ordnung auf R n mit im allgemeinen nicht konstanten Koeffizienten betrachtet werden. Zumeinen ist die nicht transformierte Black-Scholes-Gleichung (2.14) eine Gleichung mit variablen,aber zeitunabhängigen Koeffizienten. Zum anderen kann man sich vorstellen, daß allgemeinereModelle auf Gleichungen ähnlich der Black-Scholes-Gleichung führen, es jedoch auch nachTransformationen nicht möglich ist, diese in eine Gleichung mit konstanten Koeffizienten zuüberführen. Es sollen also im allgemeinsten Fall Gleichungen der Gestaltn∑n∑∂ t u(t, x) = a jk (t, x)∂ j ∂ k u(t, x) + b j (t, x)u(t, x) + c(t, x)u(t, x),u(0, ·) = gj,k=1j=1betrachtet werden. Dabei soll der Einfachheit halber nur der Fall betrachtet werden, daß dieKoeffizienten alle von t oder alle von x unabhängig sind. Der zweite Fall stellt allerdings nureine Variante der bereits in Kapitel 4 vorgestellten Methode dar und wird daher dem Leser alsÜbung überlassen. Daher soll im folgenden der Fall zeitunabhängiger Koeffizienten untersuchtwerden.Generalvoraussetzung 6.1. Seien a jk , b j , c : R n → R für alle j, k ∈ N ≤n meßbare Funktionen.Definiere außerdem den formalen Differentialoperatorn∑n∑L := − a jk (x)∂ j ∂ k + b j (x) + c(x).j,k=1j=1(Die Wahl des negativen Vorzeichens vor der Doppelsumme hat formale Gründe und wird sichspäter als sinnvoll erweisen).In dieser Situation ist es eine geeignete und übliche Methode, die konkrete Gleichung als einesogenannte abstrakte parabolische Gleichung aufzufassen und sie so funktionalanalytischenMethoden zugänglich zu machen.6.2 Abstrakte parabolische GleichungenZiel dieses Abschnittes ist die Entwicklung einer Lösungstheorie für die Gleichung∂ t u(t, x) = −Lu(t, x),u(0, ·) = g.Bevor die technischen Details erläutert werden, soll im folgenden die Idee skizziert werden, inwelcher Art und Weise diese Gleichung behandelt werden soll, um eine einfache Lösungstheoriezu erhalten. Da der Operator ∂ t nur in der t-Variable und L nur in der x-Variable operiert,erscheint es sinnvoll, die Funktion u nicht mehr als gemeinsam von t und x abhängige Funktionanzusehen, sondern als Funktion auf R ≥0 mit Werten im Funktionenraum R RnR ≥0 → R Rn , t ↦→ u(t, ·),
Seite 1 und 2: Partielle Differentialgleichungen i
Seite 3 und 4: INHALTSVERZEICHNIS 3EinleitungZiel
Seite 5 und 6: 1 GRUNDBEGRIFFE DER FINANZMATHEMATI
Seite 7 und 8: 2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 72 Das B
Seite 9 und 10: 2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 9Stattde
Seite 11 und 12: 2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 11für d
Seite 13 und 14: 2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 13Beispi
Seite 15 und 16: 2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 15Wir we
Seite 17 und 18: 3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION U
Seite 27 und 28: 4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNU
Seite 41 und 42: 5 DIE BLACK-SCHOLES FORMEL 415 Die
Seite 43: 5 DIE BLACK-SCHOLES FORMEL 43(1) p(
Seite 65 und 66: 7 STOCHASTISCHE DARSTELLUNG VON LÖ
Seite 67: LITERATUR 67Literatur[EN00] Engel,

Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?