Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN48Beispiele 6.9. (1) Sei A ∈ L(X) und U(t) := exp(tA) für alle t ∈ R ≥0 . Dann ist U eine C 0 -Halbgruppe mit Erzeuger A.(2) Sei X = L 2 (R n ). Wir werden im folgenden uns der üblichen Konvention anschließen,Restklassen und Repräsentanten zu identifizieren, wo dies zu keinen Unklarheiten führt. Sei1h t (x) = exp ( )− ‖x‖2(4πt) n/2 4t der Wärmeleitungskern. Definiere U(t) := ht ∗ f für alle t ∈ R >0und f ∈ L 2 (R n ) sowie U(0) := Id L2 (R n ). Dann ist U eine Kontraktionshalbgruppe, die sogenannteWärmeleitungshalbgruppe auf L 2 (R n ).Beweis. Wir bemerken zunächst, daß die Familie (h t ) t>0 wegen ∫ h 1 = 1 und h t 2 = 1 (th ·n 1 t)füralle t ∈ R >0 nach Beispiel 3.24 (h t ) t>0 eine approximierende Eins ist.Nach der Youngschen Ungleichung 3.19 (3) gilt ‖U(t)f‖ 2 = ‖h t ∗ f‖ 2 ≤ ‖h t ‖ 1 ‖f‖ 2 für allef ∈ L 2 (R n ), wegen ‖h t ‖ 1 = ∫ h t = 1 folgt daher U(t) ∈ L(L 2 (R n )) mit ‖U(t)‖ ≤ 1.Nach Definition gilt U(0) = 0. Seien t, s ∈ R >0 0. Dann gilt für alle ξ ∈ R nĥ t+s (ξ) = exp(−(t + s)‖ξ‖ 2 ) = exp(−t‖ξ‖ 2 ) exp(−s‖ξ‖ 2 ) = ĥt · ĥs(ξ) = ĥ t ∗ h s (ξ),also nach dem Fourierumkehrsatz 3.7 auch h t+s = h t ∗ h s . Damit folgt für alle f ∈ SU(t + s)f = h t+s ∗ f = (h t ∗ h s ) ∗ f = h t ∗ (h s ∗ f) = U(t)U(s)f,und da U(t + s), U(t)U(s) stetig sind und S dicht in L 2 (R n ), gilt dies auch für alle f ∈ L 2 (R n ).Da (h t ) t>0 eine approximierende Eins ist, folgt schließlich für alle f ∈ L 2 (R n )in L 2 (R n ).U(t)f = h t ∗ f → f für t → 0Es stellt sich die Frage, wie der Erzeuger von U aussieht. Nach unseren bisherigen Erkenntnissenerwarten wir, daß A = ∆ ist, wobei zunächst unklar ist, wie der Definitionsbereich D(∆) aussieht.Wir zeigen aber zumindest das folgende Teilergebnis:S n ⊆ D(A) und Af = ∆f für alle f ∈ S n .Beweis. Sei f ∈ S n und x ∈ R n . Da h t ∗f Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist, ist t ↦→ h t ∗f(x)differenzierbar mit∂ t (h t ∗ f)(x) = ∆(h t ∗ f)(x) = h t ∗ (∆f)(x) → ∆f(x) für t → 0,also gilt punktweiseU(t)f − f(x) = h t ∗ f(x) − f(x)→ ∆f(x) für t → 0.ttUm auch die Konvergenz in L 2 (R n ) nachzurechnen, verwenden wir die Fouriertransformation.Nach der Plancherel-Formel 3.14 gilt‖ h ( )t ∗ f − f− ∆f‖ 2 = (2π) −n/2 ht ∗ f − f‖F− ∆f ‖ 2 .tt