Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN56Es folgt Re〈Ax|x〉 ≤ 12λ ‖Ax‖2 für alle λ ∈ R >0 , also ist Re〈Ax|x〉 ≤ 0.⇐ “: Es gelten (i) und (ii). Es reicht zu zeigen, daß die Bedingungen des Satzes von Hille-Yosida”6.21 erfüllt werden. Sei also λ ∈ R >0 . Nach (∗) und (i) gilt dann für alle x ∈ D(A)‖λx − Ax‖ 2 = λ 2 ‖x‖ 2 − 2λ Re〈Ax|x〉 +‖Ax‖ 2 ≥ λ 2 ‖x‖ 2 + ‖Ax‖ 2 ≥ λ 2 ‖x‖ 2 .} {{ }(i)≤0Also ist λ Id X −A injektiv und nach (ii) auch surjektiv, folglich ist λ ∈ ρ(A). Außerdem folgtfür alle y ∈ X mit x := R(λ, A)y ∈ D(A):‖R(λ, A)y‖ = ‖x‖ ≤ 1 λ ‖(λ − A)x‖ = 1 λ ‖y‖.