Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN39Fall 1. Gelte zunächst P (D) = ∆. Wähle ein ε ∈ R >0 mit T + ε < 14λ . Sei y ∈ Rn fest. Für alleδ ∈ R >0 definierev δ (t, x) := u(t, x) − δ h T +ε−t (x − y) für alle (t, x) ∈ I × R n .Da h die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung ist, folgt(∂ t − ∆)v δ = (∂ t − ∆)u ≤ 0.Sei r ∈ R >0 und Ω r := K C (y, r). Durch Anwenden des schwachen Maximumprinzips für beschränkteGebiete 4.19 erhält manv δ (t, x) ≤ max v δ (∂ ∗ Ω r T ) für alle (t, x) ∈ Ω r T .Im folgenden soll max v δ (∂ ∗ Ω r T) abgeschätzt werden. Zunächst giltv δ (0, x) ≤ u(0, x) ≤ M für alle x ∈ R n .Sei nun x ∈ ∂Ω r , also gilt |x − y| = r. Dann gilt( )v δ (t, x) ≤ C exp(λ‖x‖ 2 1|x − y|2) − δ(4π(T + ε − t)) n/2 exp 4(T + ε − t)(≤ C exp(λ(r + ‖y‖) 2 1) − δ(4π(T + ε)) n/2 exp r 2 ).4(T + ε)1Nach Voraussetzung ist λ 0 so groß wählen, daß die rechteSeite kleiner als M wird.Damit folgt insgesamtv δ (t, x) ≤ max v δ (∂ ∗ Ω r T ) ≤ M für alle (t, x) ∈ Ω r T .Insbesondere gilt1u(t, y) − δ(4π(T + ε − t)) n/2 = u(t, y) − δh T +ε−t(y − y) = v δ (t, y) ≤ M.Mit δ ↘ 0 folgt die Behauptung.Allgemeiner Fall. Sei nun P (D) mit c = 0 beliebig. In diesem Fall definiereũ(t, x) := u(t, a 1/2 x − tb) für alle (t, x) ∈ I × R n .Nach dem Transformationssatz für Lösungen gilt dann(∂ t − ∆)ũ = ((∂ t − P (D))u) e ≤ 0.Außerdem giltsupx∈R n ũ(0, x) = supy∈R n u(0, y) = M.