Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 25Satz 3.25 (Approximationssatz). Sei (ϕ ε ) ε∈ ]0,ε0 [ eine approximierende Eins.(1) Ist f ∈ C b (R n ), so konvergiert f ∗ ϕ ε lokal gleichmäßig gegen f für ε → 0.(2) Ist p ∈ [1, +∞[ und f ∈ L p (R n ), so konvergiert f ∗ ϕ ε in L p (R n ) gegen f für ε → 0.Wir beweisen an dieser Stelle nur Aussage (1) des Approximationssatzes, da für (2) weitereHilfsmittel aus der L p -Theorie benötigt würden, nämlich die Minkowski-Integralungleichung.Mit dieser läuft der Beweis von (2) analog wie der hier präsentierte Beweis von (1).∫Beweis von 3.25 (1). Setze C := sup ε∈ ]0,ε0 [ |ϕε | und M := ‖f‖ ∞ . Zunächst gilt für alle x ∈ R n∫f ∗ ϕ ε (x) − f(x) =∫∫f(x − y)ϕ ε (y) dy − f(x) · ϕ ε (y) dy = (f(x − y) − f(x))ϕ ε (y) dy.} {{ }=1Sei nun x 0 ∈ R n , und sei r ∈ R >0 vorgegeben. Wähle ein δ ∈ R >0 so, daß für alle x ∈ K R n(x 0 , δ)gilt∀ y ∈ R n : ‖y‖ < δ ⇒ |f(x − y) − f(x)| δ |ϕ ε(x)| dx ε→0 −→ 0 findet man ein ε 1 ∈ ]0, ε 0 [ mit∫‖x‖≥δ|ϕ ε (x)| dx < r4M .Sei nun x ∈ K R n(x 0 , δ) und ε ∈ ]0, ε 1 [ . Dann folgt:∫∫|f ∗ ϕ ε (x) − f(x)| ≤ |f(x − y) − f(x)| |ϕ ε (y)| dy +≤K(0,δ)r2C∫K(0,δ)< r2C · C + 2M ·∫|ϕ ε (y)| dy + 2Mr4M = r.‖y‖≥δ‖y‖≥δ|ϕ ε (y)| dy|f(x − y) − f(x)| |ϕ ε (y)| dyIndem man eine approximative Eins in C ∞ 0 (Rn ) wählt, erhält man unmittelbar das folgendeKorollar 3.26.(1) Jedes f ∈ C b (R n ) ist lokal-gleichmäßiger Grenzwert von C ∞ 0 -Funktionen,(2) C ∞ 0 (Rn ) liegt dicht in C ∞ (R n ),(3) Für alle p ∈ [1, +∞[ liegt C ∞ 0 (Rn ) dicht in L p (R n ).Zum Abschluß dieses Einschubes wird nun mithilfe des Approximationssatzes der ausstehendeBeweis der Fourierumkehrformel 3.7 geführt.