Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

7 STOCHASTISCHE DARSTELLUNG VON LÖSUNGEN PARABOLISCHER GLEICHUNGEN65erfüllt, wobei σ : R n → R n×m und µ : R n → R n vorgegeben seien. Dann heißt der DifferentialoperatorL := 1 2n∑(σσ t ) jk ∂ j ∂ k +j,k=1n∑µ j ∂ jj=1der (formale) Erzeuger von X. Mit der Itô-Formel läßt sich leicht für alle g ∈ C ∞ 0 (Rn ) undx ∈ R n zeigen:E x (g(X t )) − g(x)Lg(x) = lim.t→0 tDies rechtfertigt die Bezeichnung Erzeuger. Unter geeigneten Anforderungen an σ und µ (dieinsbesondere die Elliptizität des Differentialoperators L zur Folge haben) läßt sich als Verallgemeinerungvon (∗) der folgende fundamentale Satz zeigen.Feynman-Kac-Formel. Sei c ∈ C(R n ). Ist u eine Lösung der parabolischen Gleichung∂ t u = Lu + cu,u(0, ·) = g,so besitzt u die Darstellung(∫ t) )u(t, x) = E(expx c(X s ) ds · g(X t ) . (7.2)0Bei Kenntnis des stochastischen Prozesses (X t ) t≥0 kann man mit dieser Formel unter Umständenauch eine explizite Darstellung der Lösung u gewinnen.Als Beispiel hierfür soll zum Abschluß dieses Kapitels gezeigt werden, wie man mithilfe derFeynman-Kac-Formel die Black-Scholes-Formel alternativ herleiten kann. Es sei dazu an dasBlack-Scholes-Modell aus §2 erinnert: Der Preisprozeß (S t ) t≥0 erfüllt die stochastische DifferentialgleichungdS t = rS t dt + σS t dW t .Der Erzeuger von (S t ) t≥0 ist also der Differentialoperator L := 1 2 σ2 x 2 ∂ 2 x + rx∂ x . Die Black-Scholes-Differentialgleichung (nach Zeitumkehr) läßt sich damit schreiben als∂ t u = 1 2 σ2 x 2 ∂xu 2 + rx∂ x u − ru = Lu − ru,u(0, ·) = g.Außerdem wurde gezeigt, daß S t die explizite Darstellung) )S t = exp((r − σ2t + σW t .2