Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

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3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 20Beweis. ∂ α f ∈ S folgt unmittelbar aus der Definition, und x α f ∈ S läßt sich leicht mit derLeibnizformel für höhere Ableitungen verifizieren. Sei nun ξ ∈ R n .(1) Durch Vertauschen der Differentiation mit dem Integral, was bei Schwartzfunktionen offensichtlichzulässig ist, folgt∫∫∫∂ α ̂f(ξ) = ∂αξ f(x)e −ixξ dx = f(x)∂ξ α e−ixξ dx = f(x)(−ix) α e −ixξ dx = (−i) |α| ̂xα f(ξ).(2) Mit partieller Integration erhält man∫∫̂∂ α f(ξ) = ∂ α f(x)e −ixξ dx = (−1) |α|f(x)(−iξ) α e −ixξ dx = i |α| ̂xα f(ξ).Aus (1) und (2) folgt x α ∂ β ̂f = (−i)|α|+|β| · ̂ ∂α (x β f), und da ∂ α (x β f) ∈ S ⊆ L 1 (R n ) ist, ist∂ α ̂(x β f) beschränkt, genauer gilt ‖ ∂ α ̂ (x β f)‖ ∞ ≤ ‖∂ α (x β f)‖ 1 ). Also ist auch ̂f ∈ S.Korollar 3.13 (Fouriertransformation auf S). Die Fouriertransformation F| S ist ein bijektiverOperator auf S mit der UmkehrabbildungF −1 g(x) = 1 ∫(2π) n g(ξ)e ixξ dξ für alle x ∈ R n , f ∈ S.Beweis. folgt direkt aus Satz 3.12 sowie dem Umkehrsatz 3.7.Damit ist die Fouriertransformation auf dem Raum S ⊆ L 1 (R n ) erklärt. Andererseits ist S ⊆L 2 (R n ) ebenfalls ein dichter Teilraum. Im folgenden soll kurz gezeigt werden, wie sich die Fouriertransformationauch auf den Raum L 2 (R n ) bzw. L 2 (R n ) fortsetzen läßt. Zentral ist dafür derfolgendeSatz 3.14 (Plancherel-Formel). Seien f, g ∈ S. Dann gilt〈 ̂f | ĝ〉 L2 = (2π) n 〈f | g〉 L2 . (3.1)Folglich läßt sich die Fouriertransformation zu einem stetigen Operator F 2 : L 2 (R n ) → L 2 (R n )fortsetzen; genauer ist (2π) −n/2 F 2 eine Isometrie auf L 2 (R n ).Zum Beweis verwenden wir die folgende, auch für sich interessante Formel.Lemma 3.15. Seien f, g ∈ L 1 (R n ). Dann gilt∫ ∫̂fg = fĝ. (3.2)Beweis. Da f ⊗ g integrierbar ist, folgt mit dem Satz von Fubini∫ ∫ ∫∫ ∫∫̂fg = f(x)e −ixξ g(ξ) dx dξ = f(x) e −ixξ g(ξ) dξ dx =fĝ. (3.3)
3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 21Beweis von Satz 3.14. Es gilt∫∫̂ĝ(x) = ĝ(ξ)e −ixξ dξ =ĝ(ξ)e ixξ dξ 3.13 = (2π) n g(x) = (2π) n g(x) für alle x ∈ R n ,also folgt∫〈 ̂f | ĝ〉 L2 =̂fĝ (3.2)=∫f̂ĝ = (2π) n ∫f g = (2π) n 〈f | g〉 L2 .Bemerkung 3.16. Für alle f ∈ L 1 (R n ) ∩ L 2 (R n ) gilt F 2 [f] = [ ̂f]. Wenn hierdurch keineUnklarheiten entstehen, wird zukünftig auch ̂f := F 2 [f] für f ∈ L 2 (R n )\L 1 (R n ) geschrieben.Hierbei ist jedoch Vorsicht geboten, für f ∈ L 2 (R n )\L 1 (R n ) ist F 2 [f] im allgemeinen nichtdurch die Integraldarstellung der Fouriertransformation gegeben, es gilt aber[ ∫f(x)e −ix· dx‖x‖≤R]L 2−→ F2 f für R → ∞.Beweis. Siehe [We00], Satz V.2.9.Wir kommen nun zur nächsten wichtigen Integraloperation in der Analysis, nämlich der Faltungzweier Funktionen. Hierbei handelt es sich um diejenige Multiplikation ∗ auf L 1 (R n ), so daßF : (L 1 (R n ), ∗) → (C ∞ (R n ), ·) multiplikativ und damit ein Algebrenhomomorphismus wird.Definition 3.17 (Faltung). Seien f, g : R n → K meßbar. Für alle x ∈ R n mit f(x − ·)g(·) ∈L 1 (R n ) setze∫f ∗ g(x) := f(x − y)g(y) dy.f ∗ g(x) heißt die Faltung von f mit g im Punkte x. Falls f ∗ g(x) für fast alle x ∈ R n existiert,so heißt die durch{ f ∗ g(x) falls f ∗ g(x) existiert,x ↦→0 sonstdefinierte Funktion f ∗ g die Faltung von f mit g.Bemerkung 3.18 (Kommutativität der Faltung). Für alle x ∈ R n ist f(x − ·)g(·) meßbar, alsof(x − ·)g(·) ∈ L 1 (R n ) ⇐⇒ ∫ |f(x − y)g(y)| dy < +∞. In diesem Fall ist auch f(·)g(x − ·) ∈L 1 (R n ), und es gilt f ∗ g(x) = g ∗ f(x).Beweis. Die Meßbarkeit von f(x − ·)g(·) ist klar, und der Zusatz folgt mit der Transformationy → x − y sofort aus der Transformationsformel.Es stellt sich damit die Frage, unter welchen Voraussetzungen an f und g die Faltung f ∗ g(x)für fast alle x ∈ R n existiert, und welche Eigenschaften f ∗ g in diesem Fall besitzt. Tatsächlichläßt sich der folgende Satz als Stetigkeitsaussage für die Faltung als bilineare Abbildung aufverschiedenen L p -Räumen interpretieren.
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