Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

5 DIE BLACK-SCHOLES FORMEL 415 Die Black-Scholes FormelWir knüpfen an dieser Stelle wieder an Kapitel 2 an. Dort wurde gezeigt, daß das Problem,den fairen Preis einer Option zu berechnen, sich darauf zurückführen läßt, die Black-Scholes-Differentialgleichung (2.14) zu lösen. Wie bereits gesehen, läßt sich diese durch die Euler-Transformation in die folgende einfachere Gestalt bringen:(∂ t u = σ22 ∂2 xu +u(0, ·) = c ◦ exp .r − σ22)∂ x u − ru,Aus technischen Gründen setzen wir voraus, daß c : R >0 → R eine stetige Funktion ist, für die esKonstanten C, λ ∈ R >0 und ρ ∈ R 0 ,a a(wobei h t (x) := √ 14πtexp− x24teindeutige Lösung von (5.1) lautet alsou(t, x) := k t ∗ (c ◦ exp)(x) = e−rtσ/ √ 2(5.1))für alle (t, x) ∈ R >0 × R den Wärmeleitungskern bezeichnet. Die∫ ∞−∞⎛ ( )h t⎝ x − y + ⎞r − σ22tσ/ √ ⎠ c (e y ) dy. (5.2)2Ein nützliches Hilfsmittel zur Auswertung dieses Integral für konkretes c ist das folgendeLemma 5.1. Seien α, β ∈ R und t ∈ R > 0. Dann gilt∫ α( ) α + 2tβh t (v)e −βv dv = e tβ2 Φ √ , (5.3)2t−∞wobei Φ(t) = ∫ t1−∞ϕ(s) ds mit ϕ(s) = √2πe − s2 2Beweis. Es gilt:∫ α−∞h t (v)e −βv dv ===∫1 α√4πt−∞∫1 1 α√ √2π 2t∫1 α√2π−∞= etβ2√2π∫ α−∞e − v24t e −βv dv(−∞exp= e tβ2 1 √2π∫ α ′exp(− 1 2(exp − 1 ( v2−∞expdie Standard-Normalverteilung bezeichnet.( ( ) ))v2√ + 2βv dv2t− 1 2( v√ + β √ ) 22t + 1 (β √ )) 22t2t 2√2t+ β √ 2t} {{ }s:=) 2 ) dv√2t) (− s2ds = e tβ2 Φ(α ′ )2dv√2t