Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN29Herleitung einer Lösungsformel. Wir machen den Ansatz, daß g ∈ S n ist und u eine zugehörigeLösung von (4.3) mit u(t, ·) ∈ S n für alle t ∈ I und führen eine partielle Fouriertransformationin der x-Variable durch:û(t, ξ) := ( Fu(t, ·) ) (ξ).Nach Lemma 4.9 gilt dann̂ P (D)u(t, ξ) = P (iξ) · û(t, ξ).Wir nehmen weiter an, daß die partiellen Ableitungen nach der ersten Variablen ∂ t u(t, ·) lokalgleichmäßige Majoranten besitzen, so daß die folgende Differentiation unter dem Integralgerechtfertigt ist:∂ t û(t, ξ) = d ∫∫u(t, x)e −ix·ξ dx = ∂ t u(t, x)e −ix·ξ dx =dt̂∂ t u(t, ξ).Die transformierte Gleichung lautet damit∂ t û(t, ξ) = P (iξ) û(t, ξ),û(0, ξ) = ĝ(ξ).Für festes ξ ∈ R n handelt es sich hierbei um eine gewöhnliche Differentialgleichung für û(·, ξ),deren eindeutige Lösung gegeben ist durchû(t, ξ) = exp(tP (iξ)) · ĝ(ξ). (4.4)Es gilt exp(tP (iξ)) = exp(−t〈aξ|ξ〉) · exp(it〈b|ξ〉) · exp(tc), und wegen | exp(it〈b|ξ〉)| = 1 und| exp(−t〈aξ|ξ〉)| = exp(−t〈aξ|ξ〉) ≤ exp(−tθ‖ξ‖ 2 )erkennt man leicht, daß exp(tP (i · )) für jedes t ∈ R >0 eine Schwartzfunktion ist, also istk t := F −1 exp(tP (i · )) für alle t ∈ R >9 wohldefiniert, und aus Gleichung (4.4) folgt mit demFaltungssatz 3.21:u(t, x) = k t ∗ g(x).für alle (t, x) ∈ ]0, T [ ×R n .Berechnung des Faltungskernes k t . Da a symmetrisch und positiv definit ist, besitzt agenau eine symmetrische positiv definite Wurzel a 1/2 mit ( a 1/2) 2= a. Dieses Ergebnis erhältman leicht mithilfe des Funktionalkalküls, der Vollständigkeit wird aber auch ein elementarerBeweis angegeben.Lemma 4.10 (Existenz und Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Matrizen). Sei a ∈ R n×nsymmetrisch und positiv definit. Dann existiert genau eine symmetrische positiv definite Matrixa 1/2 mit ( a 1/2) 2= a.