Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN60Beweis der Gårdingschen Ungleichung 6.31. Seien u, v ∈ H 1 (R n ).(1) Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgtn∑∫n∑∫|B(u, v)| ≤ ‖a jk ‖ ∞ |∂ j u| · |∂ k v| + ‖b j ‖ ∞j,k=1} {{ }α 1 :=∫∫≤ α 1 · |∇u| · |∇v| + α 2 ·j=1} {{ }α 2 :=∫|∇u| · |v| + ‖c‖ ∞ ·|∂ j u| · |v| + ‖c‖ ∞∫|u| · |v||u| · |v|≤α 1 · ‖∇u‖ 2 ‖∇v‖ 2 + α 2 · ‖∇u‖ 2 ‖v‖ 2 + ‖c‖ ∞ · ‖u‖ L2 ‖v‖ L2mit α := max{α 1 , α 2 , ‖c‖ ∞ }.≤ α ( ‖u‖ L2 + ‖∇u‖ L2) (‖v‖L2 + ‖∇v‖ L2)= α ‖u‖1 ‖v‖ 1(2) Sei ε ∈ R >0 . Aus der Elliptizitätsbedingung (6.6) angewendet auf den Vektor ξ := ∇u ergibtsich∫∫ n∑∫ ⎛ ⎞n∑∫θ |∇u| 2 ≤ a jk · ∂ j u ∂ k u = B(u, u) − ⎝ b j · ∂ j u v⎠ − cu 2j,k=1≤ B(u, u) +n∑∫‖b j ‖ ∞j=1j=1|∇u| |v| + ‖c‖ ∞∫|u| 2(6.8)≤ B(u, u) + α 2∫ (ε|∇u| 2 + 1 4ε |u|2 )+ ‖c‖ ∞∫= B(u, u) + εα 2∫Wähle nun ε < 1 θα 2 2, dann folgtθ( α2)2 ‖∇u‖2 L 2≤ B(u, u) +4ε + ‖c‖ ∞(|∇u| 2 α2)+4ε + ‖c‖ ∞ ‖u‖ 2 L 2.‖u‖ 2 L 2.Mit β := min{1, θ 2 } und ω := 1 + α 24ε + ‖c‖ ∞ folgt (2).Hieraus folgt für alle u ∈ D(A) = H 2 (R n ):〈Au | u〉 = −〈Lu | u〉 L2 = −B(u, u) ≤ ω‖u‖ 2 L 2− β‖u‖ 2 H 1 ≤ ω‖u‖ 2 L 2, (6.9)also Bedingung (i) aus dem Satz von Hille-Yosida für Hilberträume 6.25. Es bleibt (ii) zu zeigen,also die Surjektivität von A − λ = −(L + λ) für alle λ ∈ R >ω , also ist zu zeigen:∀ f ∈ L 2 (R n ) ∃ u ∈ H 2 (R n ) : Lu + λu = f.Es ist also eine Existenzaussage für die zu L + λ gehörige elliptische Gleichung (L + λ)u = fherzuleiten. Ähnlich wie bei der schwachen Ableitung wollen wir dafür zunächst das Konzepteiner schwachen Lösung von (L + λ)u = f entwickeln. Dafür beobachten wir:(L + λ)u = f ⇐⇒ ∀ v ∈ H 1 (R n ) : 〈(L + λ)u|v〉 L2} {{ }=B(u,v)+λ〈u | v〉 L2= 〈f|v〉 . L 2Wir nehmen dies zum Anlaß für die folgende|u| 2