Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN55Hiermit erhält man leicht die folgende Verallgemeinerung des Satzes von Hille-Yosida.Satz 6.24 (Satz von Hille-Yosida für ω-Kontraktionshalbgruppen). Sei A ein dicht definierterOperator in X und ω ∈ R. Dann sind äquivalent:(1) A erzeugt eine ω-Kontraktionshalbgruppe,(2) A ist abgeschlossen, und es giltR >ω ⊆ ρ(A) und ‖R(λ, A)‖ ≤ 1λ − ω für alle λ ∈ R >ω. (6.5)Beweis. Dies folgt leicht aus dem Satz von Hille-Yosida für Kontraktionshalbgruppen 6.21 zusammenmit Bemerkung 6.23 und wird daher dem Leser zur Übung überlassen.In Hinblick auf die von uns geplante Anwendung bringen wir schließlich noch eine Variante desSatzes von Hille-Yosida für den Spezialfall, daß der zugrunde liegende Banachraum sogar einHilbertraum ist.Satz 6.25 (Satz von Hille-Yosida für ω-Kontraktionshalbgruppen in Hilberträumen). Seien Hein Hilbertraum, A ein dicht definierter Operator in H und ω ∈ R. Dann sind äquivalent:(1) A erzeugt eine ω-Kontraktionshalbgruppe,(2) A ist abgeschlossen, und es gilt(i) ∀ x ∈ D(A) : Re〈Ax|x〉 ≤ ω‖x‖ 2 ,(ii) ∀ λ ∈ R >ω : Bild(λ Id X −A) = X.Beweis. Indem man A durch A − ω ersetzt, kann man nach Bemerkung 6.23 o.B.d.A ω = 0annehmen. Außerdem halten wir für beide Beweisrichtungen vorab fest, daß für alle λ ∈ R undx ∈ D(A) gilt‖λx − Ax‖ 2 = 〈λx − Ax|λx − Ax〉 = λ 2 ‖x‖ 2 − λ〈Ax|x〉 − λ 〈x|Ax〉 +‖Ax‖ 2} {{ }=〈Ax|x〉= λ 2 ‖x‖ 2 − 2λ Re〈Ax|x〉 + ‖Ax‖ 2 . (∗)” ⇒ “: Sei also A der Erzeuger einer Kontraktionshalbgruppe. Sei λ ∈ R >0. Nach dem bereitsgezeigtem Satz von Hille-Yosida 6.21 ist la ∈ ρ(A), also ist λ Id X −A bijektiv und damit insbesonderesurjektiv, also gilt (ii). Sei nun x ∈ D(A). Wiederum nach dem Satz von Hille-Yosidagilt dannλ‖x‖ = λ‖R(λ, A)(λx − Ax)‖ ≤ λ‖R(λ, A)‖ ‖λx − Ax‖ ≤ ‖λx − Ax‖,} {{ }≤1nach (∗) gilt daher2λ Re〈Ax|x〉 = −‖λx − Ax‖ 2 + λ 2 ‖x‖ 2} {{ }≤‖λx−Ax‖ 2 +‖Ax‖ 2 ≤ ‖Ax‖ 2 .