Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

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4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN36Also konvergiert auch die Reihe der k-ten Ableitung nach t lokal gleichmäßig, nach dem Satzüber das Differenzieren von Grenzfunktionen folgt damit, daß u in R >0 × R auch in t unendlichoft differenzierbar ist, und für alle k ∈ N 0 und (t, x) ∈ R >0 × R gilt(∂ t ) k u(t, x) =∞∑( (dkdt)j=0Insbesondere gilt ∂ t u = ∆u.g (j) (t)(2j)!)x 2j = (∂ x ) 2k u(t, x).Dieses Beispiel zeigt, daß im allgemeinen keine Eindeutigkeit für Lösungen parabolischer Gleichungenauf R n gilt. Diese Situation ändert sich, wenn man anstelle von R n beschränkte Gebietein R n betrachtet, oder wenn man im allgemeinen Fall weitere Wachstumsbedingungen an dieAnfangsbedingung bzw. Lösung stellt, wie es bereits im Existenzsatz notwendig war.Ein Standard-Hilfsmittel zum Beweis von Eindeutigkeitssätzen sind sogenannte Maximumprinzipien.Dies sind, grob gesprochen, Aussagen darüber, daß bestimmte Funktionen ihr Maximum ineiner Teilmenge des Randes annehmen. Solche Maximumprinzipien ergeben sich für Differentialoperatorenzweiter Ordnung zum Beispiel daraus, daß solche Differentialoperatoren Bedingungenan die Ableitungen erster und zweiter Ordnung stellen, die wiederum das Vorliegen von lokalenExtremwertstellen charakterisieren.Diese Methode wird im folgenden angewendet, um das sogenannte schwache Maximumprinzipherzuleiten, zunächst für beschränkte Gebiete und im Anschluß unter zusätzlichen Wachstumsbedingungenauch für den ganzen R n . Daraus wird dann der Eindeutigkeitssatz für die Lösungenparabolischer Gleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten gefolgert. Das weitereVorgehen lehnt sich an die Ausführungen in [Jo98] an.Notationen 4.18. Für Ω ⊆ R n setze Ω T := ]0, T [×Ω und ∂ ∗ Ω T := ({0} × Ω) ∪ (I × ∂Ω). ∂ ∗ Ω Theißt reduzierter oder auch parabolischer Rand von Ω T .Satz 4.19 (schwaches Maximumprinzip für beschränkte Gebiete). Es gelte c = 0. Sei Ω ⊆ R noffen und beschränkt und u : Ω T → R stetig und C 1,2 . Giltso folgt∂ t u − P (D)u ≤ 0 in Ω T ,sup u(Ω T ) = sup u(∂ ∗ Ω T ).Beweis. O.B.d.A. gelte T < +∞ (sonst ersetze sup u(Ω T ) durch sup sup u(Ω τ )).Fall 1: ∂ t u − P (D)u < 0 in Ω T . Sei ε ∈ ]0, T [ . Da Ω T −ε kompakt und u stetig ist, existiert einPunkt (t 0 , x 0 ) ∈ Ω T mitu(t 0 , x 0 ) = max u(Ω T ).Annahme: (t 0 , x 0 ) /∈ ∂ ∗ Ω T . In diesem Fall nimmt die Funktion u(t 0 , ·) ein lokales Maximum iminneren Punkt x 0 ∈ Ω an, also gilt∇ x u(t 0 , x 0 ) = 0 und ∇ 2 xu(t 0 , x 0 ) ≤ 0τ
4 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN37(hierbei bezeichnet ∇ x den Gradienten bezüglich x und ∇ 2 x die Hesse-Matrix bezüglich x). Dadie Matrix h := ∇ 2 xu(t 0 , x 0 ) negativ semi-definit ist, folgtn∑a jk ∂ j ∂ k u(t 0 , x 0 ) = Spur(ah) = Spur(a −1/2 aha 1/2 ) = Spur(a 1/2 ha 1/2 )j,k=1=n∑〈a 1/2 ha 1/2 e j | e j 〉 =j=1n∑〈ha 1/2 e j | a 1/2 e j 〉 ≤ 0,} {{ }≤0wobei e j den j-ten Einheitsvektor des R n bezeichne. Außerdem nimmt die auf ]0, T − ε] differenzierbareFunktion u(·, x 0 ) im Punkt t 0 ein lokales Maximum an, also gilt∂ t u(t 0 , x 0 ) ≥ 0(wobei ∂ t u(t 0 , x 0 ) = 0 gilt, falls t 0 < T − ε ist). Damit folgt insgesamt∂ t u(t 0 , x 0 ) − P (D)u(t 0 , x 0 ) = ∂ t u(t 0 , x 0 ) − Spur(a∇ 2} {{ }xu(t 0 , x 0 )) − ∇} {{ } x u(t 0 , x 0 ) ·b ≥ 0} {{ }≥0≤0=0im Widerspruch zur Voraussetzung.Fall 2: Betrachte jetzt den allgemeinen Fall ∂ t u − P (D)u ≤ 0 in Ω T . Setze u ε (t, x) := u(t, x) − εtfür alle (t, x) ∈ Ω T . Wegen c = 0 folgt P (D)u ε = P (D)u und damit∂ t u ε − P (D)u ε = (∂ t u − ε) − P (D)u ≤ 0 − ε < 0in Ω T , also gilt nach Fall 1:max u(Ω t ) = max{e ε (t, x) + tε | (t, x) ∈ Ω T } ≤ max u ε (Ω T ) + εTMit ε ↘ 0 folgt die Behauptung.j=1Fall 1= max u ε (∂ ∗ Ω T ) + εT ≤ max u(∂ ∗ Ω T ) + εT.Satz 4.20 (schwaches Maximumprinzip für R n ). Es gelte c = 0. Sei u : I × R n → R stetig undC 1,2 , und es gebe C, λ ∈ R >0 mitGiltso folgt∀ (t, x) ∈ I × R n : u(t, x) ≤ C exp(λ‖x‖ 2 ).∂ t u − P (D)u ≤ 0 in ]0, T [ ×R n ,sup u(I × R n ) = supx∈R n u(0, x).Bevor Satz 4.20 bewiesen wird, soll als entscheidendes Korollar die Eindeutigkeit für Lösungenparabolischer Gleichungen (auch im Fall c ≠ 0) gefolgert werden.
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