Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN51Beweis. ”⇒ “Sei A abgeschlossen. Seien x ∈ D(A) N und x 0 ∈ X mit x n −→ x 0 für n → ∞. DaA stetig ist, ist A◦x eine Cauchy-Folge, setze also y 0 := lim n→∞ Ax n . Aus der Abgeschlossenheitvon A folgt dann insbesondere x 0 ∈ D(A).” ⇐ “Sei D(A) abgeschlossen. Seien x ∈ D(A)N und x 0 , y 0 ∈ X mit x n −→ x 0 und Ax n → y 0für n → ∞. Wegen der Abgeschlossenheit von D(A) ist x 0 ∈ D(A), wegen der Stetigkeit von Afolgt daher y 0 = lim n→∞ Ax n = Ax 0 .Im Fall, daß D(A) abgeschlossen ist, folgt aus der Stetigkeit von A also die Abgeschlossenheit.Ein tiefliegender Satz der Funktionalanalysis, den wir ohne Beweis zitieren, sagt aus, daß auchdie Umkehrung richtig ist.Satz 6.15 (Graphensatz). Sei A : X ≥ D(A) → X ein linearer Operator und D(A) abgeschlossen.Dann giltA stetig ⇐⇒ A abgeschlossen .Beweis. siehe [We00], Theorem IV.4.5.Ist D(A) nicht abgeschlossen, so folgt aus der Abgeschlossenheit im allgemeinen nicht die Stetigkeitvon A. Diese Situation trifft in der Regel für Differentialoperatoren zu. Wir bringen dazuein einfachesBeispiel 6.16. Setze X := C([0, 1]), D(A) := C 1 ([0, 1]) und definiere A : D(A) → X, f ↦→ f ′ .Dann ist A abgeschlossen, aber nicht stetig.Beweis. Definiere f n := cos(n·)| [0,1] . Dann ist ‖f n ‖ ∞ = sup t∈[0,1] | cos(nt)| = 1 für alle n ∈ N,aber ‖Af n ‖ ∞ = ‖f ′ n‖ ∞ = sup t∈[0,1] |n sin(nt)| = n → ∞ für n → ∞. Also ist A nicht stetig.Ist hingegen f ∈ C 1 ([0, 1]) N und sind f 0 , g 0 ∈ C([0, 1]) so, daß f gleichmäßig gegen f 0 und (f ′ n) n∈Ngleichmäßig gegen g 0 konvergiert, so gilt nach einem Satz der Analysis schon f 0 ∈ C 1 ([0, 1]) undf ′ 0 = g 0. Also ist A abgeschlossen.Ein näheres Studium des abgeschlossenen Operators A erfolgt über die sogenannte Resolventenmenge(im endlich-dimensionalen Fall ist dies die Menge der Nicht-Eigenwerte) und die Resolventenabbildung.Definition/Bemerkung 6.17 (Resolventenmenge, Resolvente und Resolventenabbildung). SeiA : X ≥ D(A) → X ein abgeschlossener Operator.(i) ρ(A) := {λ ∈ K | λ Id X −A : D(A) → X ist bijektiv} heißt die Resolventenmenge von A.(ii) Nach dem Graphensatz ist R(λ, A) := (λ Id X −A) −1 ∈ L(X) für alle λ ∈ ρ(A).(iii) Die Operatoren R(λ, A) für λ ∈ ρ(A) nennt man Resolventen von A, und die AbbildungR(·, A) : C ⊇ ρ(A) → L(X), λ ↦→ R(λ, A)heißt Resolventenabbildung.