Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 173 Einschub: Fouriertransformation und FaltungIn diesem Einschub werden einige grundlegende Fakten zur Fouriertransformation und Faltungbereitgestellt. Beides sind fundamentale analytische Hilfsmittel zur Behandlung von partiellenDifferentialgleichungen, insbesondere für solche mit konstanten Koeffizienten.Generalvoraussetzung 3.1. Sei n ∈ N und K ∈ {R, C}Notationen 3.2. Seien x, y ∈ R n und α ∈ N n 0 sowie U ⊆ Rn offen, Ω ⊆ R n meßbar undp ∈ [1, +∞]. Für das Skalarprodukt und die euklidische Norm werden die folgenden Notationenverwendet:n∑xy := x · y := 〈x|y〉 := x j y j , ‖x‖ := ‖x‖ 2 = √ x · x.j=1Weiter wird die Multiindexschreibweise verwendet:n∏n∑x α := x α jj , |α| := α j .j=1j=1Für die Ableitung wird die Notation∂ j :=∂∂x j, ∂ α := ∂ α x :=n∏j=1∂ α jjverwendet. Für f : Ω → K Lebesgue-meßbar definiere‖f‖ p :={ (∫|f|p ) 1/pinf{sup{|f(x)| | x ∈ Ω\N} | N ⊆ Ω Nullmenge}falls p < +∞,falls p = +∞.Weiter seienL p (Ω) := {f : Ω → K | f Lebesgue-meßbar und ‖f‖ p < +∞}und L p (Ω) := L p (Ω)/N Ωdie Lebesgue-Räume, wobei N Ω := {f : Ω → K | f Lebesgue-meßbar und f −1 (K\{0}) Nullmenge}.Im Fall p = 2 sei außerdem∫〈f, g〉 := 〈f, g〉 L2 := fgfür alle f, g ∈ L 2 (R n ) das Standard-Skalarprodukt, welches offenbar die ‖ · ‖ 2 -Norm induziert.An vielen Stellen werden wir uns der üblichen Konvention anschließen, Restklassen und Repräsentantennicht zu unterscheiden, sofern dies zu keinen Problemen führt. Außerdem seiC ∞ (R n ) := {f ∈ C(R n ) | f(ξ) → 0 für ‖ξ‖ → +∞}ausgestattet mit der ‖·‖ ∞ -Norm der Banachraum der im Unendlichen verschwindenden stetigenFunktionen undC ∞ 0 (U) := {f ∈ C ∞ (U) | f −1 (K\{0}) ist kompakt}der Raum der C ∞ -Funktionen mit kompakten Träger.