Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

1 GRUNDBEGRIFFE DER FINANZMATHEMATIK 6Dies ergibt den risikolosen Profit H 1 − H 2 > 0.Das Äquivalenzprinzip ist das fundamentale Werkzeug zur Preisbestimmung von Derivaten:Stellt man aus den Basisgütern eine Handelsstrategie zusammen, die in der Zukunft denselbenWertverlauf wie das Derivat annimmt, so muß nach dem Äquivalenzprinzip der Preis desDerivates zum gegenwärtigen Zeitpunkt gleich dem gegenwärtigen Wert der Handelsstrategiesein. Diese Idee wird im nächsten Abschnitt ausführlich erörtert. Als weiteres Beispiel für dieAnwendung des Äquivalenzprinzip bringen wir die1.7 Put-Call-ParitätSeien C bzw. P die Preise einer Call- bzw. Put-Option auf dasselbe Basisgut mit identischemBasispreis K und Verfallszeitpunkt T . Seien S 0 bzw. S T der gegenwärtige bzw. zukünftige Preisdes Basisgutes. Außerdem gebe es die Möglichkeit einer risikolosen Kapitalanlage mit kontinuierlicherVerzinsung r, alsox EURO im Zeitpunkt 0 −→ e rT x EURO im Zeitpunkt T .Dann gilt:S 0 + P − C = Ke −rT .Begründung. Sei H die Handelsstrategie long Basisgut & long put & short call. Dann hat Hzum Zeitpunkt 0 den Wert S 0 + P − C. Der Wert zum Zeitpunkt T istS T + (K − S T ) + − (S T − K) + = K.Die Kapitalanlage mit Wert Ke −rT hat zum Zeitpunkt T ebenfalls den Wert K, also folgt dieBehauptung aus dem Äquivalenzprinzip.Die Put-Call-Parität ist auch aus technischen Gründen hilfreich, da die Auszahlungsfunktionx ↦→ (K − x) + der Put-Option beschränkt ist im Gegensatz zur Auszahlungsfunktion x ↦→(x − K) + der Call-Option.