Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

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3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 22Satz 3.19 (Stetigkeit der Faltung zwischen L p -Räumen). (1) Sind f, g ∈ L 1 (R n ), so existiertf ∗ g(x) für fast alle x ∈ R n , und es ist f ∗ g ∈ L 1 (R n ) mit ‖f ∗ g‖ 1 ≤ ‖f‖ 1 ‖g‖ 1 .(2) Sind p, q ∈ [1, +∞] mit 1 p + 1 q = 1 und sind f ∈ L p(R n ) und g ∈ L q (R n ), so existiertf ∗ g(x) für alle x ∈ R n , und es ist f ∗ g ∈ L ∞ (R n ) mit ‖f ∗ g‖ ∞ ≤ ‖f‖ p ‖g‖ q .(3) Ist p ∈ [1, +∞] und sind f ∈ L 1 (R n ) und g ∈ L p (R n ), so existiert f ∗ g(x) für fast allex ∈ R n , und es ist f ∗ g ∈ L p (R n ) mit ‖f ∗ g‖ p ≤ ‖f‖ 1 ‖g‖ p (Youngsche Ungleichung).Beweis. (1) Da die Abbildung f ⊗ g : R n × R n → K, (x, y) ↦→ f(x) · g(y) integrierbar undT : (R n ) 2 → (R n ) 2 , (x, y) ↦→ (x − y, y) ein linearer Diffeomorphismus ist, ist nach dem Transformationssatzdie Abbildung (f ⊗ g) ◦ T : R n → K, (x, y) ↦→ f(x − y)g(y) integrierbar. Daher folgtmit dem Satz von Fubini, daß f ∗ g(x) für fast alle x ∈ R n existiert und daß f ∗ g ∈ L 1 (R n ) ist.Weiter folgt∫ ∣∫∫ ∫∣∣∣ ‖f ∗ g‖ 1 = f(x − y)g(y) dy∣ dx ≤ |f(x − y)g(y)| dy dx∫ (∫)∫ (∫ )∫= |f(x − y)| dx |g(y)| dy = |f(x)| dx |g(y)| dy = ‖f‖ 1 |g(y)| dy= ‖f‖ 1 ‖g‖ 1 .(2) folgt aus der Hölderschen Ungleichung.(3) ist ein tieferliegendes Ergebnis, das hier nicht bewiesen werden soll. Siehe zum Beispiel [We00]Satz II.4.4 für einen Beweis der Youngschen Ungleichung für den Torus T anstelle von R n .Anhand der Definition der Faltung sieht man leicht, daß diese bilinear ist in den Funktionen,für die sie existiert, zum Beispiel auf L 1 (R n ). Wir leiten im folgende weitere algebraische Eigenschaftenher.Lemma 3.20 (Assoziativität der Faltung). Seien f, g, h ∈ L 1 (R n ). Dann gilt(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).Beweis. Die analoge Argumentation wie im Beweis von 3.19 (1) zeigt, daß die Funktion (y, z) ↦→f(z)g(x − z − y)h(y) für fast alle x ∈ R n integrierbar ist, und für diese x folgt∫∫ (∫)(f ∗ g) ∗ h(x) = f ∗ g(x − y)h(y) dy = f(z)g(x − y − z) dz h(y) dy∫ ∫∫ (∫)= f(z)g(x − z − y)h(y) dy dz = f(z) g(x − z − y)h(y) dy dz∫= f(z)g ∗ h(x − z) dz = f ∗ (g ∗ h)(x).Satz 3.21 (Multiplikativität der Fouriertransformation bzgl. der Faltung). Seien f ∈ L 1 (R n )und g ∈ L 1 (R n ) ∪ L 2 (R n ). Dann gilt̂f ∗ g = ̂f · ĝ.
3 EINSCHUB: FOURIERTRANSFORMATION UND FALTUNG 23Beweis. Gelte zunächst g ∈ L 1 (R n ). Nach dem Satz von Fubini gilt dann für alle ξ ∈ R n∫∫ ∫̂f ∗ g(ξ) = f ∗ g(x)e −ixξ dx = f(x − y)g(y)e −ixξ dy dx∫ ∫∫ ∫= f(x − y)g(y)e e −iyξ dx dy =} {{ }f(z)e −izξ dz g(y)e −iyξ dy∫z:== ̂f(ξ) g(y)e −iyξ dy = ̂f(ξ) · ĝ(ξ).Gelte nun g ∈ L 2 (R n )\L 1 (R n ). Wähle ϕ ∈ C ∞ 0 (Rn ) N mit ϕ n → g in L 2 (R n ). Da F 2 nach Satz3.14 stetig ist, folgt ̂ϕ n → ĝ in L 2 (R n ). Da außerdem ̂f ∈ C ∞ (R n ) ⊆ L ∞ (R n ) ist, folgt wegenC ∞ 0 (Rn ) ⊆ L 1 (R n ) nach dem bereits bewiesenen Teil̂f ∗ ϕ n = ̂f L· ̂ϕ2n −→ ̂f · ĝ für n → ∞.Andererseits folgt f ∗ ϕ n → f ∗ g in L 2 (R n ) aus dem Stetigkeitssatz für die Faltung 3.19 (3),und damit auchL̂f ∗ ϕ2n −→ ̂f ∗ g für n → ∞.Also ist ̂f ∗ g = ̂f · ĝ in L 2 (R n ).Satz 3.22 (Differenzierbarkeit der Faltung mit Schwartzfunktionen). Sei p ∈ [1, +∞] und seienf ∈ S und g ∈ L p (R n ). Dann ist f ∗ g ∈ C ∞ (R n ), und es gilt∀ α ∈ N n 0 : ∂ α (f ∗ g) = (∂ α f) ∗ g.Beweis. Wir zeigen zunächst, daß f ∗ g stetig ist. Definiere F (x, y) := f(x − y)g(y) für allex, y ∈ R n . Wähle q ∈ [1, +∞] mit 1/p + 1/q = 1, dann ist F (x, ·) wegen f(x − ·) ∈ S ⊆ L q (R n )nach der Hölderschen Ungleichung integrierbar für alle x ∈ R n . Weiter gilt∫f ∗ g(x) = F (x, y) dy.Es reicht daher, für jedes Kompaktum K eine gleichmäßige Majorante für die FunktionenF (x, ·), x ∈ K anzugeben, da dann die Behauptung aus dem Satz über die Stetigkeit parameterabhängigerIntegrale folgt. Sei U die abgeschlossene Kugel mit Radius 2 · sup x∈K ‖x‖,dann ist U kompakt, und für alle x ∈ K und y ∈ R n \U gilt ‖y‖ ≥ 2‖x‖. Da f ∈ S ist, findetman eine Konstante C ∈ R >0 mit∀ z ∈ R n : |f(z)| ≤ C1(1 + ‖z‖) n+1 .Insbesondere ist M := sup{|f(x − y)| | x ∈ K, y ∈ U} < +∞. Für alle x ∈ K und y ∈ R n \U giltaußerdem‖x − y‖ ≥ ∣ ∣ |‖x‖ − ‖y‖∣ ∣ = ‖y‖ − ‖x‖ ≥ ‖y‖ − ‖y‖/2 = ‖y‖/2,also|f(x − y)| ≤ C1(1 + ‖x − y‖) n+1 ≤ C 1(1 + ‖y‖/2) n+1 .
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