Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

6 PARABOLISCHE GLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT VARIABLEN KOEFFIZIENTEN49Definiere die Hilfsfunktion ψ(z) := ez −1zein, daß ψ(z) ∈ [−1, 0] gilt für alle z ∈ R ≤0 . Weiter gilt für alle ξ ∈ R n(ht ∗ f − fF− ∆ft− 1 = ∑ ∞n=1)(ξ) = ĥt(ξ) · ̂f(ξ) − ̂f(ξ) − (−ξ 2 )t̂f(ξ) == ψ(−tξ 2 ) · g(ξ).z n(n+1)!für alle z ∈ C. Dann sieht man leicht(e −tξ2 − 1−tξ 2 − 1)· (−ξ 2 ) ̂f(ξ) } {{ }g(ξ):=Es folgt ψ(−tξ 2 ) · g(ξ) −→ 0 punktweise für t → 0. Außerdem ist |ψ(−tξ 2 ) · g(ξ)| ≤ |g(ξ)|, undwegen f ∈ S ist g ∈ L 2 (R n ) eine Majorante in L 2 (R n ), also folgt ‖ ht∗f−ft− ∆f‖ 2 → 0 fürt → 0.Eine Analyse des obigen Beweises zeigt, daß auch alle f ∈ L 2 (R n ) mit −ξ 2 f ∈ L 2 (R n ) in D(A)liegen. Tatsächlich kann man zeigen, daß D(A) gleich dem sogenannten Sobolevraum W 2 2 (Rn ) ={f ∈ L 2 (R n ) | − ξ 2 f ∈ L 2 (R n )} ist.Generalvoraussetzung 6.10. Im folgenden sei U ∈ L(X) R ≥0 eine lokal beschränkte C 0-Halbgruppe.Satz 6.11 (Differenzierbarkeitseigenschaften von U). Sei x ∈ D(A). Dann gilt für alle t ∈ R ≥0(1) U(t)x ∈ D(A), und es gilt AU(t)x = U(t)Ax,(2) Die Abbildung U(·)x : R ≥0 → X ist stetig differenzierbar mit ( U(·)x ) ′ (t) = AU(t)x.Beweis. (1) Es gilt:U(s)(U(t)x) − U(t)xs=U(s + t)x − U(t)xsfür s → 0, da U(t) ∈ L(X) ist. Also ist U(t)x ∈ D(A), und es giltU(s)(U(t)x) − U(t)xAU(t)x = lim= U(t)Ax.s→0 s( U(s)x − x)= U(t)−→ U(t)Ax,} {{ s }s→0−→Ax(2) Für t = 0 folgt die Behauptung aus der Definition des Erzeugers, sei also t > 0. Wähleh 0 ∈ ]0, t[ mit M := sup |h|