Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 14Indem wir b := σ und a + b2 2= µ, also a := µ − σ22Lösung für den Aktienpreisprozeß S t , nämlich) )S t := exp((µ − σ2t + σW t S 0 .2!setzen, erhalten wir damit insbesondere eine2.5 Herleitung der Black-Scholes-GleichungDamit sind alle Hilfsmittel eingeführt, um zumindest heuristisch die Black-Scholes-Gleichungherzuleiten. Wir arbeiten dazu weiter in dem in Abschnitt 2.1 eingeführten Black-Scholes-Modellmit den ModellgleichungendR t = rR t dt,dS t = µS t dt + σS t dW t .(2.4)Wie bereits festgestellt, hat dies zur Folge, daßR t = e rt R 0 (2.5)und somit unter der zusätzlichen Annahme R 0 := 1 gilt R t = e rt .Gegeben sei ein Claim C : Ω → R. Dieser wird interpretiert als die (zufällige) Auszahlung desDerivates zum Zeitpunkt T . Standardbeispiel ist der Claim C := (S T − K) + zur europäischenPut-Option.Gesucht wird nun ein replizierendes Portfolio, ein sogenannter Hedge. Gesucht ist also eineHandelsstrategie H t = (g t , h t ), deren Wertprozeßerfüllt:V t := g t R t + h t S t = g t e rt + h t S tdV t = g t dR t + h t dS t Selbstfinanzierung,V T = C Hedge für den Claim C.Dann ist V 0 der gesuchte faire Preis des Claimes C und H ein zugehöriges replizierendes Portfolio.Wir machen den Ansatz, daß V t , g t , h t von der Gestalt V t = f(t, S t ), g t = g(t, S t ) und h t = h(t, S t )für geeignete C 1,2 -Funktionen f, g, h : [0, T ] × R → R sind. Dann gilt nach Definitionalsof(t, x) = g(t, x)e rt + h(t, x)x, (2.6)g(t, x) = e −rt (f(t, x) − h(t, x)x). (2.7)Es reicht also, f und h zu bestimmen und anschließend g durch Gleichung (2.7) zu definieren.Anschaulich bedeutet (2.7), daß bei bekanntem Wertverlauf und Portfolioanteil der Aktie derAnteil der Wertanlage stets die (auf den entsprechenden Zeitpunkt abdiskontierte) Gegenpositionbilden muß.