Partielle Differentialgleichungen in der Finanzmathematik Vorlesung ...

2 DAS BLACK-SCHOLES MODELL 72 Das Black-Scholes Modell2.1 Einführung des ModellsBei dem Black-Scholes-Modell handelt es sich um ein kontinuierliches Finanzmarktmodell mitendlichem Zeithorizont T ∈ R >0 für zwei Basisfinanzgüter, nämlich einer festverzinslichen Wertanlageund einer Aktie.Finanzgut 1 Hierbei handelt es sich um eine festverzinsliche Wertanlage mit konstantem Zinssatzr ∈ R >0 . Der Wert zum Zeitpunkt t ∈ [0, T ] werde mit R t bezeichnet, wobei zum Zeitpunktt = 0 der Wert R 0 = 1 angenommen wird. Die Annahme einer kontinuierlichen Verzinsung ergibtR t = e rt . 1 Damit erfüllt R die Differentialgleichung R ′ = rR, in differentieller Schreibweise:dR tR t= r dt. (2.1)Gleichung (2.1) besagt, daß die relative Änderung von R t die konstante Rate r besitzt.Finanzgut 2 Hierbei handelt es sich um eine Aktie. Der Wert zum Zeitpunkt t ∈ [0, T ] wirdals zufällig angenommen, also dargestellt durch eine Zufallsgröße S t . Genauer ist (Ω, A, P ) einWahrscheinlichkeitsraum undS : [0, T ] × Ω → R, (t, ω) ↦→ S t (ω)eine meßbare Funktion. Es wird angenommen, daß sich die relative Änderung von S t in Analogiezu (2.1) aus einem deterministischen Anteil (Trend) und einer stochastischen Komponente(Schwankung) zusammensetzt:dS tS t= µ dt + σ dW t , (2.2)mit µ, σ ∈ R >0 . µ heißt der Drift und σ die Volatilität der Aktie. ”dW t “beschreibe in geeigneterWeise die stochastische Komponente. Dies soll in den folgenden Abschnitten näher beschriebenwerden.Grafik einfügen: Aktienkurs.2.2 Der WienerprozeßDefinition 2.1 (Wienerprozeß). Eine Familie (W t ) t∈R≥0 von Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum(Ω, A, P ) heißt Wienerprozeß (oder auch Brownsche Bewegung), falls gilt:(i) W 0 = 0,(ii) Für alle s, t ∈ R ≥0 mit s < t ist W t − W s stochastisch unabhängig von W r für alle r ∈ [0, s]und N(0, t − s)-verteilt,(iii) W besitzt stetige Pfade, das heißt, für alle ω ∈ Ω ist die Funktion W·(ω) : R ≥0 → R, t ↦→W t (ω) stetig.1 Dies kommt folgendermaßen zustande: Wird bis zum Zeitpunkt t > 0 genau n-mal die Verzinsung nachgleichen Zeiträumen ausgezahlt, so ergibt sich durch Zinseszins der Wert (1 + rtn )n . Im Fall einer kontinuierlichenVerzinsung nimmt man n → ∞ an, damit konvergiert dieser Ausdruck gegen e rt .